特殊线性系统的数值迭代算法 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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吴世良，李翠霞，张理涛 著

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• 数值分析
• 迭代算法
• 线性系统
• 特殊矩阵
• 科学计算
• 数值方法
• 矩阵计算
• 优化算法
• 数学软件
• 工程计算

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030444875

版次：1

商品编码：11710011

包装：平装

开本：32开

出版时间：2015-06-01

页数：214

正文语种：中文

编辑推荐

适读人群 ：本书可作为数学(尤其计算数学、应用数学等)专业师生的教课书或科研人员的参考书，也可作为理工科大学各专业研究生学位课程的教课书。
《特殊线性系统的数值迭代算法》可作为数学(尤其计算数学、应用数学等)专业师生的教材或科研人 员的参考书， 也可作为理工科大学各专业研究生学位课程的教材.

内容简介

《特殊线性系统的数值迭代算法》介绍求解几类特殊线性系统的基本理论和基本迭代方法. 主要内容为： 绪论、经典迭代法求三类线性系统、矩阵双分裂比较定理及在线性互补问题的 应用、HSS 迭代法及其预处理技术、鞍点问题迭代算法及预处理技术、Maxwell 方程的预处理技术、结论等.

目录

前言
主要符号对照表
第1章绪论1
11方法介绍1
111经典定常迭代法3
112非Hermitian正定线性系统的迭代法4
113鞍点问题的迭代法4
12涉及知识和主要内容7
13结构安排8
第2章经典迭代法求三类线性系统10
21L-矩阵线性系统的预处理AOR迭代法11
211引言11
212助记符，概念和性质12
213预处理AOR迭代法的收敛性分析和比较理论13
214数值算例19
22一个双参数预处理子作用于L-矩阵线性系统20
221引言20
222新预处理AOR迭代21
223收敛分析22
224数值例子29
23H-矩阵线性系统的预处理Gauss-Seidel迭代法31
231引言31
232概念和性质32
233收敛性分析32
234数值算例34
24求解最小二乘问题的预处理AOR迭代法34
241引言34
242预处理AOR迭代法及收敛分析36
243数值算例41
25AOR迭代法的一个新版本:QAOR迭代法42
251经典AOR迭代法42
252QAOR迭代法及收敛分析43
253收敛定理44
254QAOR与AOR的关系48
255数值例子49
26本章小结50
第3章矩阵双分裂比较定理及在线性互补问题的应用51
31矩阵双分裂比较定理51
311引言51
312收敛性理论52
32矩阵双分裂在线性互补问题的应用63
321引言63
322预备知识64
323二步搜索模系矩阵分裂迭代法65
324收敛定理67
325数值实验74
33本章小结79
第4章HSS迭代法及其预处理技术80
41选择HSS迭代法及LHSS迭代法一个新准则80
411引言80
412HSS迭代法与LHSS迭代法的选择83
413两个例子84
42非Hermitian正定线性系统的改进的HSS迭代法86
421引言86
422MHSS迭代法的收敛分析87
423IMHSS迭代法90
424数值实验92
43鞍点问题HSS预处理矩阵谱的上下界95
431引言95
432谱的新界96
44广义鞍点问题HSS预处理矩阵的谱分布102
441引言102
442广义鞍点问题的HSS方法103
443HSS预处理矩阵的谱性质104
444数值实验110
45本章小结114
第5章鞍点问题迭代算法及预处理技术115
51求解鞍点问题的一个迭代法116
511引言116
512迭代法116
513数值算例119
52求解鞍点问题的一个修正SSOR迭代法120
521引言120
522修正的SSOR迭代法121
523参数w的选取126
524数值实验129
53鞍点问题的(2，2)块含参数预处理技术132
531引言132
532谱分析134
533数值实验150
54鞍点问题的(1，2)块含参数预处理技术154
541引言154
542MP1
谱分析154
543数值实验162
55本章小结165
第6章Maxwell方程的预处理技术166
61波数为零Maxwell方程的块三角预处理技术166
611引言166
612新的块三角预处理子167
613新的单列非零(1，2)块的块三角预处理子172
614数值实验174
62波数非零Maxwell方程的块三角预处理技术179
621引言179
622修正块预处理子180
623数值实验187
63本章小结192
第7章结论193
参考文献195

精彩书摘

世界著名数值分析专家牛津大学教授LloydNTrefethen和DavidBauIII指出:如果除了微积分与微分方程，还有什么数学领域是数学科学基础，那就是数值线性代数"数值
线性代数领域中的一个十分重要的课题是大型稀疏线性系统的高效求解这主要是因为在实践中，如计算流体动力学、电磁计算、材料模拟与设计、石油勘。探数据处理、地震数据处理、数值天气预报及核爆炸数值模拟等都离不开(偏)微分方程的数值求解，而解决这些问题的主要策略是通过有限差分、有限元、有限体积、区域分解、多重网格、无网格等方法对(偏)微分方程离散将所需求解问题转。化为大型稀疏线性系统的数值求解当今，如何快速有效的求解大型稀疏线性系统。已成为许多专家及学者研究的焦点这主要体现在数值计算及其模拟中求解大型。稀疏线性系统所花费的时间往往在求解整个问题所需的时间中占有很大的比重，有。时甚至高达百分之八十以上。
通常，求解线性系统的方法有两类:基于矩阵分解的直接法和基于递归的迭代。法直接法的工作主要集中在20世纪6070年代，主要途径是通过对矩阵进行变。换(如Gauss消元、LU分解等)，将原线性系统化为三角或三对角等容易求解的形式，然后通过回代或追赶等方法得到线性系统的解其优点在于不计舍入误差的情。况下能得到准确解不足之处是当矩阵的条件数很大时，由于舍入误差的存在而导。致所求出的解与准确解相差甚远;当矩阵阶数较大时，由于存储的需求而迫使直接。法相对于其他方法更费时所以用直接法求解大型稀疏线性系统往往是不可取的。基于此，在实际求解中，通常采用运算量小、内存需求小且能充分利用矩阵稀疏性。的迭代法。
当前，迭代法已成为求解大型稀疏线性系统的主流方法迭代求解大型稀疏线。性系统现已成为科学计算中十分重要的课题之一，其迭代策略一般可分为两类一。类是基于矩阵分裂的定常迭代法定常迭代法的工作主要集中于20世纪5060年。代，其基本途径是通过矩阵单分裂(若线性系统的系数矩阵A分裂为A=MN(其。中M为非奇异矩阵)，则称为矩阵A的单分裂)而构建迭代格式根据矩阵分裂的。形式不同而形成了许多行之有效的方法，如Jacobi，Gauss-Seidel(G-S)，Successive。
Over-Relaxation(SOR)，AcceleratedOver-Relaxation(AOR)等以及这些方法的改。进和加速形式定常迭代法具有结构简单、易于程序实现等优点因此，自Jacobi。方法诞生以来，新的定常迭代法层出不穷，备受工程人员及科研人员的青睐目前，。这些方法又有新的发展，如将其作为预处理子与Krylov子空间方法结合起来求解。大型稀疏线性系统另一类是非定常迭代法目前，非定常迭代法主要存在两大分。支:一是以ConjugateGradient(CG)方法为代表的Krylov子空间迭代法;二是基。于矩阵分裂的分裂迭代法，如非定常Richardson迭代法、内外迭代法以及非定常。多分裂迭代法等目前，对求解大型稀疏线性系统来说，比较流行的Krylov子空间。迭代法有CG，MinimalResidualmethod(MINRES)，GeneralizedMinimalResidual。method(GMRES)等。
无论是定常迭代法还是非定常迭代法，其收敛速度在一定程度上与矩阵的谱分。布有着密不可分的关系对矩阵分裂的定常迭代法来说，在迭代矩阵谱半径小于1。的前提下，迭代矩阵的谱半径越小其收敛速度越快;对非定常Krylov子空间迭代法。来说，其收敛速度依赖于矩阵的谱分布，谱分布越集中，收敛速度越快[14]因此，。为了提高迭代法求解线性系统的收敛速度，目前，一个切实可行的途径是采用预处。理技术，其主要目的是使预处理后的矩阵的谱更加聚集为特定的大型稀疏线性系。统寻找量身定做"的预处理子已成为迭代法研究中的重要课题。
预处理技术的主要策略是通过利用预处理子将原线性系统转化为易求解的等。价线性系统通常，构建一个好的预处理子已被公认为是艺术与科学的完美结合。
一般地，构造预处理子有两种途径:一是纯代数技术，如不完全分解(ILU)预处理子、。稀疏近似逆(AINV)预处理子等;二是从特定问题出发，通过利用较多原问题信息。来构建预处理子，一般情况下，原问题信息利用的越多，构建的预处理子越有效具。体地，对预处理子的构造可以从以下五个方面考虑:。(1)线性系统的背景;。(2)矩阵本身的性质，如是否具有稀疏性、对称性、占优性等;。(3)预处理部分的计算量比较小;。(4)预处理矩阵特征值分布相对集中;。(5)预处理矩阵需满足一定的性质，如是否具有正定性、是否具有对称性、特。征值是否全是实数。一般地，一个切实可行有效预处理子的选择可以从以下四个方面把握:。(1)预处理子在某一方面是系数矩阵的逆矩阵的一个较好逼近(事实上，构造。预处理子主要目的是使预处理矩阵为单位阵的近似);。(2)构造预处理子需在计算机的内存和CPU的工作时间上有保障(即花费不。太大);。(3)预处理矩阵的条件数要远小于原系数矩阵的条件数，其最小奇异值会相应 的增大而最大奇异值会相应的减小;。(4)新的预处理线性系统要比原线性系统更易求解。当今，预处理技术已渗入到所需问题的数值求解中，是提高相应数值算法收敛。速度的一个十分重要的途径，已成为数值计算领域中的一个很重要的研究方向。
111经典定常迭代法。
在科学计算中，许多实际问题的求解最终都要归结为求解大型稀疏线性系统:。Ax=b;。其中A是一个给定的非奇异矩阵，b是一个给定的向量，x是一个待求的向量由。于不同问题在不同条件下产生的线性系统不同，进而导致其相对应的系数矩阵A。不同，如在偏微分方程数值解、控制论、均衡论及加权最小二乘问题等数值求解中，。通过适当的技术处理(如用有限差分离散偏微分方程或对加权最小二乘问题等价。变换)，可以获得系数矩阵为非奇异L-矩阵(或H-矩阵)的线性系统如前所述，若。用直接法求解，则数值效果并没有达到令人十分满意的程度常采用迭代法对其求。解，为了加快迭代法的收敛速度，通常迭代法需要与预处理子结合起来求解大型稀。疏的线性系统。
近年来，对系数矩阵为L(H)-矩阵的非奇异线性系统预处理子的构造主要是。将系数矩阵A分裂为A=DLU，其中D是A的对角矩阵，L和U分。别是矩阵A的严格下三角矩阵和严格上三角矩阵基于这一分裂，预处理子的构。造通常是D+S"型，其中矩阵S的元素常取系数矩阵A的某些非零元的相反。数，如取系数矩阵A的第一列的相反数[5，6]、取系数矩阵A的上次对角元的相反。数[7，8]等这种构造预处理子的基本思想源于Gauss消元法，其目的是通过将系。数矩阵A的某些对应元素化为0来达到减少迭代矩阵谱半径的目的，进而提高迭。代法的收敛速度，其理论依据是迭代矩阵的谱半径越小，矩阵分裂迭代法的收敛速。度越快[9]此类预处理子常常与经典迭代法(如G-S迭代法、SOR迭代法及AOR。迭代法等)结合到一起来求解大型稀疏的线性系统此方法的优点是理论性强、计。算代价小;不足之处是计算的效果相对要差在这类预处理子中，修正预处理方法。研究较多，在一定程度上可看成是Gauss消元法的一种扩展目前，国内外很多学。者对此进行了相关的研究[10，11]，得出了很多理论结果，促进了新预处理子研发的。进程。
另一方面，若将系数矩阵A分裂为A=PRS(其中P为非奇异矩阵)，则。称为矩阵A的双分裂[12]，矩阵双分裂所确定的迭代法称为双分裂迭代法[12]如。Jacobi双SOR方法、G-S双SOR方法、EWA双SOR方法等都属于双分裂迭代。法这些方法虽是传统单分裂迭代法的简单推广，但现已有效地求解某些实际问题，。如核反应堆物理学中的离散多维椭圆型方程[13]

前言/序言

好的，以下是根据您的要求创作的一份图书简介，严格围绕“特殊线性系统”的数值迭代算法展开，同时避免提及该书的实际名称，内容力求详实且自然。 --- 图书简介：聚焦非标准矩阵问题的数值解法与理论前沿 本书致力于深入探讨在工程、科学计算和数据分析等领域中普遍遇到的非标准、病态或结构特殊的线性代数系统的数值求解方法。面对规模日益庞大且内在性质复杂的矩阵方程 $AX=B$，传统的直接求解方法（如高斯消元法）往往在计算复杂度和内存占用上力不从心，或因系统固有的不适定性导致解的精度急剧下降。因此，本书的核心聚焦于构建、分析和优化一类高效、鲁棒的迭代算法，以期在保证收敛性的前提下，实现对这类复杂线性系统的精确逼近。 第一部分：特殊线性系统的理论基础与分类 本部分首先为后续的算法讨论奠定坚实的理论基础。我们从线性系统的基本性质出发，系统梳理了哪些类型的系统被归类为“特殊”或“非标准”。这包括但不限于： 1. 大型稀疏系统（Large-Scale Sparse Systems）： 矩阵 $A$ 中零元素占绝大多数，其结构（如带状、块状或自然梯度分布）对算法的选择至关重要。我们探讨了如何利用这些稀疏结构来优化存储和矩阵向量乘法（MVM），这是所有迭代法的计算瓶颈所在。 2. 病态系统与高精度要求： 针对条件数极大的系统，分析了扰动对解的影响。重点讨论了谱半径与收敛速度之间的内在联系，并引入了残差理论和稳定性的严格度量，为后续的预处理技术提供理论支撑。 3. 非对称与不定定系统： 在许多实际应用中，矩阵 $A$ 不满足对称或正定性。本章详述了如何调整标准迭代方法的框架，以适应非对称或涉及特征值问题（如广义特征值问题）的复杂情形。 第二部分：经典迭代法的深入剖析与改进 在介绍基础的迭代框架后，本书对几类具有里程碑意义的迭代方法进行了细致入微的剖析和现代化的改进： 2.1 雅可比与高斯-赛德尔法的局限性及加速 虽然基础的迭代方法概念直观，但其收敛域受限。我们深入分析了它们的局部收敛条件，并着重研究了如何通过混合迭代策略来提升性能。例如，如何将它们作为粗粒度修正步骤，嵌入到多尺度框架中。 2.2 Krylov子空间方法的威力与挑战 Krylov子空间方法是求解大型稀疏系统的核心。本书将重点放在GMRES（广义最小残差法）和双共轭梯度法（BiCG）族。 GMRES的内存瓶颈与重启策略： 详细推导了GMRES的收敛准则，并针对其随迭代次数增加而导致的内存爆炸问题，系统性地比较了不同重启策略（如标准重启、轮换重启）在不同问题规模上的效率和稳定性。 双共轭梯度法的双向更新： 阐述了BiCG如何通过构建一对正交向量组来避免GMRES的内存问题，同时揭示了其潜在的非单调残差行为，并引入了双共轭梯度稳定法（BiCGSTAB）作为替代方案的原理。 2.3 共轭梯度法（CG）在对称正定系统中的优化 虽然CG法要求矩阵为对称正定，但其无与伦比的收敛速度使其不可替代。我们不仅复习了其正交性理论，还深入探讨了预处理共轭梯度法（PCG）的性能决定因素。 第三部分：预处理技术——加速收敛的关键 预处理技术是有效求解大型线性系统的“艺术”与“科学”的结合。本书投入大量篇幅讨论各类有效的预处理器设计与构造： 1. 代数预处理器（Algebraic Preconditioners）： 重点分析了基于矩阵分解思想的预处理器，特别是不完全LU分解（ILU）和不完全Cholesky分解（IC）。我们详述了不同填充水平（Level of Fill）的选择标准及其对计算成本和最终收敛速度的权衡。 2. 基于区域分解的预处理器： 针对具有清晰物理边界的系统，介绍了Schur补预处理和Schwartz交替域分解方法（ADDS）。这些方法特别适用于并行计算环境，能有效处理跨越多个计算节点的系统。 3. 逆向多重网格方法（Additive/Multiplicative Multigrid）： 虽然多重网格在PDE求解中应用广泛，但本书侧重于其代数化的应用。我们探讨了如何构造代数多重网格（AMG）的粗化策略，即使在没有明确网格结构的情况下，也能有效平滑高频误差。 第四部分：面向大规模计算的算法设计与分析 在现代计算环境中，算法必须具备良好的可扩展性和并行性。本部分关注如何将上述理论转化为高效的并行实现： 迭代法的并行化策略： 详细分析了矩阵向量乘法（MVM）在分布式内存系统上的数据划分（如行划分与列划分）如何影响通信开销。我们对比了基于MPI的同步迭代与基于消息传递的异步迭代框架的性能差异。 收敛性监控与自动参数选择： 讨论了如何设计健壮的容错机制，以及如何利用启发式方法或机器学习技术来动态选择最佳的预处理参数或迭代次数，以适应不断变化的系统特性。 残差的可靠性评估： 鉴于浮点运算误差，本书强调了“真正残差”与“规范化残差”的区别，并介绍了如何使用更高精度的中间计算来验证收敛性，避免过早停止迭代。 本书的写作风格旨在平衡理论深度与工程实践，通过丰富的算例和算法伪代码，为高级研究人员、博士研究生以及从事高性能计算的工程师提供一本实用且深入的参考手册。它强调的不是单一算法的完美，而是针对不同“特殊”结构，构建和选择最优“迭代求解器”的综合能力。

评分☆☆☆☆☆

评价一： 这本书的封面设计非常有吸引力，采用了一种深邃的蓝色背景，配以简洁而现代的字体，瞬间就勾起了我对书中内容的强烈好奇。我尤其喜欢封面上那个抽象的数学符号，它暗示着书中可能涉及的理论深度和计算的复杂性，这正是许多研究者和工程师所追求的。在我看来，一本好的技术书籍，不仅要在内容上有所突破，在形式上也应该传递出专业和严谨的气息。这本书在这方面做得相当不错，它让我对即将展开的阅读之旅充满了期待。我想象着书中会有一系列精妙的数学推导，逐步揭示解决特殊线性系统问题的核心思想。对于那些在科研或工程实践中常常与这类系统打交道的读者来说，这绝对是一本不可多得的宝藏。我期待书中能够详细介绍不同类型的特殊线性系统，并针对每一种系统提出创新的数值迭代算法。同时，我也希望能看到算法的收敛性分析和稳定性讨论，这些都是衡量一个算法是否优秀的关键指标。当然，实际的应用案例和性能比较也是我非常看重的部分，能够指导我如何选择最合适的算法来解决实际问题。

评分☆☆☆☆☆

评价四： 作为一名刚入行的软件工程师，我在工作中经常会遇到需要求解大规模线性方程组的问题，尤其是在进行数值模拟和数据分析时。之前我一直使用的是一些通用的方法，但效率总是不尽如人意，也遇到过一些收敛困难的情况。偶然的机会，我在浏览一些技术论坛时看到了关于“特殊线性系统的数值迭代算法”的讨论，这让我意识到，针对不同类型的线性系统，确实存在着更加高效和鲁棒的算法。于是，我开始寻找相关的书籍，这本书的名字立刻引起了我的注意。我希望这本书能够用一种比较通俗易懂的方式来介绍这些算法，避免过多的纯数学推导，而是侧重于算法的原理、优缺点以及适用场景。例如，书中是否会介绍一些著名的迭代算法，如共轭梯度法（CG）、广义最小残差法（GMRES）等，并且深入剖析它们在处理特定结构矩阵时的表现？我更希望的是，书中能够提供一些实际的案例分析，比如如何将这些算法应用于有限元分析、图像处理或者机器学习等领域，并且能够给出具体的代码实现思路，让我能够快速地将学到的知识应用到实际项目中，提高我的工作效率和解决问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

评价二： 老实说，当我在书店看到这本书时，我并没有立刻被吸引。它的书名“特殊线性系统的数值迭代算法”听起来相当学术化，甚至有些枯燥，让我一度犹豫是否要翻开它。然而，出于职业的习惯，我还是随手拿起，漫无目的地翻阅了几页。出乎意料的是，我被书中的一些图表和公式深深吸引住了。虽然我并非这个领域的顶尖专家，但能够明显感受到作者在梳理和讲解过程中所花费的心思。那些清晰的流程图和示意图，将复杂的算法步骤分解得一目了然，极大地降低了理解的门槛。我尤其对其中某个章节中关于“预条件子”的讨论感到印象深刻，作者用一种非常直观的方式解释了预条件子的作用，让我这个初学者也能茅塞顿开。这让我意识到，即使是再深奥的理论，只要用心去解释，也能变得生动有趣。这本书不仅仅是理论的堆砌，更像是一位经验丰富的导师，循循善诱地引导我一步步深入理解。我猜测书中可能还包含了一些关于大规模稀疏线性系统的迭代算法，这对于当今许多科学计算领域都至关重要。

评分☆☆☆☆☆

评价五： 我对这本书的评价，更多地是从一个“可能受益者”的角度出发。作为一个长期在科研领域摸爬滚打的实践者，我深知在面对复杂的工程问题时，高效且可靠的数值方法是多么重要。特别是在处理那些具有特殊结构（例如稀疏性、对称性、正定性等）的线性系统时，传统的通用求解器往往显得力不从心。因此，一本能够系统性地介绍“特殊线性系统的数值迭代算法”的书籍，对我来说具有极大的吸引力。我设想书中会深入探讨各种迭代算法的内在机制，解释它们是如何通过一系列迭代步骤来逼近真实解的。我非常期待书中能够对这些算法的收敛速度、稳定性以及对计算资源的需求进行深入的分析和比较。此外，我希望书中能够包含一些关于“预条件”技术的详细介绍，因为在实际应用中，预条件子的选择往往是决定算法性能的关键因素。如果书中还能提供一些实际问题的求解案例，例如在流体力学、结构力学或者信号处理等领域的应用，并且给出清晰的算法步骤和代码示例，那么这本书的实用价值将得到极大的提升，能够帮助我更快地解决实际研究和工程中的难题，并推动我在这方面进行更深入的探索。

评分☆☆☆☆☆

评价三： 我是一位长期从事数值计算研究的学者，对于“特殊线性系统的数值迭代算法”这个主题，我可以说是有着长久而深刻的关注。市面上相关的书籍并不少见，但很多要么过于理论化，缺乏实际指导意义，要么过于碎片化，难以形成系统性的认知。因此，当我看到这本书时，内心是既期待又带着一丝审慎的。我猜想，作者一定对该领域有着非常深入的理解，并且能够将其精炼成系统性的知识体系。从书名来看，它很有可能涵盖了多种特殊的线性系统，例如对称正定系统、非对称系统、不适定系统等等，并且针对这些系统提出了专门优化的迭代方法。我特别希望书中能够深入探讨这些算法的理论基础，比如矩阵的性质、迭代的收敛条件，以及如何通过选择合适的预条件子来加速收敛。同时，我也期待作者能够提供一些实际的编程实现建议，甚至附带一些代码示例，这样对于读者来说，将理论转化为实践会更加便捷。如果书中还能对不同算法在不同规模和结构的数据上的性能进行量化比较，那就更加完美了，这将为我们选择最适合特定问题的算法提供宝贵的参考。