高等數學（下冊） 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

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張誌海，範傑，賈瑞娟，袁洪芬 著

圖書標籤:

• 高等數學
• 數學
• 微積分
• 理工科
• 教材
• 大學
• 下冊
• 函數
• 極限
• 導數

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030448293

版次：1

商品編碼：11758377

包裝：平裝

叢書名： 普通高等教育”十二五“規劃教材普通高等學校數學教學叢書

開本：16開

齣版時間：2015-08-01

頁數：336

正文語種：中文

編輯推薦

《高等數學(下冊)》是作者多年教學經驗的總結, 可作為非數學專業學生高等數學的教材, 也可作為相關人員的參考書.

內容簡介

《高等數學(下冊)》分上、下兩冊, 上冊內容包括函數與極限、導數與微分、微分中值定理與導數的應用、空間解析幾何、多元函數微分法及其應用. 下冊內容包括不定積分、定積分、定積分的應用、重積分、麯綫積分與麯麵積分、無窮級數、微分方程初步. 《高等數學(下冊)》每節都配有習題,每章配有總習題和曆年考研題. 《高等數學(下冊)》配套的輔助教材有《高等數學典型問題與應用案例剖析(上、下冊)》.

目錄

前言
第六章 不定積分 1
第一節 不定積分的概念與性質 1
一、原函數與不定積分的概念 1
二、不定積分的性質與基本積分錶 4
三、直接積分法 5
習題 6-1 7
第二節 換元積分法 8
一、第一類換元法 8
二、第二類換元法 15
習題 6-2 20
第三節 分部積分法 21
習題 6-3 26
第四節 有理函數的積分 27
習題 6-4 31
第五節 可化為有理函數的積分舉例 32
一、三角函數有理式的積分舉例 32
二、簡單無理式的積分舉例 33
習題 6-5 35
總習題六 35
曆年考研題六 36
第七章 定積分 37
第一節 定積分的概念與性質 37
一、引齣定積分概念的典型問題 37
二、定積分定義 39
三、定積分的近似計算 42
四、定積分的性質 44
習題 7-1 46
第二節 微積分基本公式 48
一、變速直綫運動中路程函數與速度函數之間的聯係 48
二、積分上限函數及其導數 49
三、牛頓-萊布尼茨公式 52
習題 7-2 54
第三節 定積分的換元法和分部積分法 55
一、定積分的換元法 55
二、定積分的分部積分法 61
習題 7-3 64
第四節 反常積分 64
一、無窮區間上的反常積分 65
二、無界函數的反常積分 67
三、反常積分的審斂法 70
習題 7-4 72
總習題七 72
曆年考研題七 74
第八章 定積分的應用 77
第一節 元素法 77
第二節 定積分在幾何上的應用 78
一、平麵圖形的麵積 78
二、兩種特殊立體的體積 83
三、平麵麯綫的弧長 87
習題 8-2 90
第三節 定積分在物理學上的應用 91
一、變力做功問題 91
二、水壓力 93
三、引力 93
習題 8-3 95
總習題八 95
曆年考研題八 96
第九章 重積分 98
第一節 二重積分的概念與性質 98
一、二重積分的概念 98
二、二重積分的性質 102
習題 9-1 104
第二節 二重積分的計算 105
一、利用直角坐標係計算二重積分 105
二、利用極坐標計算二重積分 110
三、二重積分的換元法 114
習題 9-2 117
第三節 三重積分 120
一、三重積分的概念 120
二、三重積分的計算 121
習題 9-3 128
第四節 重積分的應用 130
一、麯麵的麵積 130
二、質心 134
三、轉動慣量 136
四、引力 138
習題 9-4 139
總習題九 140
曆年考研題九 143
第十章 麯綫積分與麯麵積分 146
第一節 對弧長的麯綫積分與對麵積的麯麵積分 146
一、對弧長的麯綫積分及對麵積的麯麵積分的概念與性質 146
二、對弧長的麯綫積分的計算方法 148
三、對麵積的麯麵積分的計算方法 150
習題 10-1 153
第二節 對坐標的麯綫積分 154
一、對坐標的麯綫積分的概念與性質 154
二、對坐標的麯綫積分的計算方法 158
三、兩類麯綫積分之間的聯係 162
習題 10-2 163
第三節 對坐標的麯麵積分 164
一、預備知識 164
二、引例流嚮麯麵一側的流量 165
三、對坐標的麯麵積分的概念及性質 167
四、對坐標的麯麵積分的計算方法 169
五、兩類麯麵積分之間的聯係 172
習題 10-3 174
第四節 多元函數積分間聯係的三大公式 175
一、格林公式及其應用 175
二、高斯公式 184
三、斯托剋斯公式 187
習題 10-4 189
第五節 場論初步 192
一、場的概念 192
二、嚮量場的散度與鏇度 193
習題 10-5 196
總習題十 197
曆年考研題十 199
第十一章 無窮級數 202
第一節 常數項級數的概念和性質 202
一、常數項級數的概念 202
二、級數的基本性質 205
三、級數收斂的必要條件 207
習題 11-1 208
第二節 正項級數的審斂法 208
一、正項級數概念和基本審斂法則 209
二、比較審斂法 209
三、比值審斂法 212
四、根值審斂法 214
習題 11-2 214
第三節 一般項級數的審斂法 215
一、交錯級數審斂法 215
二、任意項級數的絕對收斂與條件收斂 217
三、絕對收斂級數的性質 218
習題 11-3 219
第四節 冪級數 219
一、函數項級數的概念 219
二、冪級數及其收斂性 220
三、冪級數的運算 224
四、冪級數的性質 225
習題 11-4 226
第五節 函數的冪級數展開 227
一、泰勒 (Taylor) 級數 227
二、函數的冪級數展開式 229
習題 11-5 234
第六節 傅裏葉級數 235
一、三角級數和三角函數係 235
二、以 2 為周期的函數的傅裏葉級數 236
三、以 2l 為周期的函數的傅裏葉級數 241
四、正弦級數和餘弦級數 243
習題 11-6 245
總習題十一 246
曆年考研題十一 247
第十二章 微分方程初步 251
第一節 微分方程及其相關概念 251
習題 12-1 255
第二節 可分離變量方程 256
習題 12-2 258
第三節 齊次方程 258
一、齊次方程 258
二、可化為齊次的方程 260
習題 12-3 263
第四節 一階綫性微分方程 264
一、綫性方程 264
二、伯努利方程 266
習題 12-4 269
第五節 全微分方程 270
習題 12-5 274
第六節 可降階的高階微分方程 274
一、y(n) = f(x) 型的微分方程 275
二、y00 = f(x; y0) 型的微分方程 275
三、y00 = f(y; y0) 型的微分方程 277
習題 12-6 279
第七節 綫性微分方程解的結構 280
一、二階齊次綫性微分方程解的結構 280
二、二階非齊次綫性微分方程解的結構 281
三、二階非齊次綫性微分方程通解的求法 282
習題 12-7 284
第八節 二階常係數齊次綫性微分方程 285
習題 12-8 291
第九節 二階常係數非齊次綫性微分方程 292
習題 12-9 298
第十節 歐拉方程 299
習題 12-10 301
總習題十二 301
曆年考研題十二 302
部分習題答案與提示 304

精彩書摘

第六章 不定積分
第六、七、八章的內容統稱為一元函數的積分學.積分學與微分學密切聯係，共同組成瞭分析學的基本內容.積分學的産生與發展源於一些實際問題的解決，如兩韆多年前的希臘數學傢阿基米德(Archimedes)用窮竭法計算齣瞭拋物綫弓形的麵積，我國南北朝時期的祖衝之和他的兒子祖也曾推導齣某些圖形的麵積和體積，這些都是用無限小過程處理特殊形狀的麵積的例子.雖然求積問題自古以來就被直觀地、經驗地理解著，並且得到瞭正確的計算結果，但這隻是個彆問題的解決，始終缺乏一般的計算方法，與一門係統學科的形成還相距甚遠.
直到十七世紀，由於天文、航海以及生産技術的發展，大量的問題亟待解決，這些問題大緻歸為以下四類:第一類是已知距離求速度與加速度以及已知加速度，求速度與距離;第二類是求麯綫的切綫;第三類是求函數的最大、最小值;第四類是求麯綫的長度、麯綫圍成的麵積、麯麵圍成的體積以及兩個物體之間的引力.雖然在一些數學傢的努力下，有關微分學問題解決得比較圓滿，積分學中的某些問題也得到瞭一些好的結果，但是當時所使用的方法要麼不具有普遍性，要麼有的方法本身雖然孕育著有普遍性的含義，但卻沒有人能充分理解微分與積分這兩類問題之間的相互關係的重要意義，因而都沒有創立微積分.最終，牛頓和萊布尼茨在總結前的方法的基礎上，都各自獨立地看到瞭積分問題是微分的逆問題，並建立起成熟的具有普遍意義的方法.由於牛頓和萊布尼茨各自研究的角度不同，牛頓是利用導數與反導數，即不定積分來解決微積分問題，而萊布尼茨則強調微分及微分的和"，因而就形成瞭不定積分與定積分.
第一節不定積分的概念與性質
一、原函數與不定積分的概念
在一元函數微分學中，我們研究瞭已知函數f(x)，如何求齣它的導數f0(x)的問題.在實際問題中，經常會遇到已知函數F(x)的導數f(x)，反過來需求函數F(x)的情況，如已知直綫運動的速度函數v(t)，求路程函數s(t)，這個問題可歸結為微分的逆運算，即不定積分的問題.下麵引入原函數的概念.
定義1設函數定義在區間I上，如果存在函數F(x)，對任一x2I，都有
F0(x)=f(x);即dF(x)=f(x)dx;￠2￠第六章不定積分
那麼函數F(x)就稱為f(x)在區間I上的一個原函數.
關於原函數的存在性問題，這裏先給齣一個結論.
原函數存在定理如果函數f(x)在區間I上連續，那麼在區間I上存在可導函數F(x)，使對任一x2I，都有F0(x)=f(x).
即連續函數一定有原函數.
例如，當x2(.1;+1)時，因為(x2)0=2x，所以x2是2x在(.1;+1)上的一個原函數.
需注意的是，在區間不連續的函數也可能有原函數.
例如，函數
在區間的一個原函數，而f(x)在x=0處間斷.
但是，若函數在區間上有第一類間斷點，則函數在該區間上一定沒有原函數.
例如，設函數f(x)在區間I上有原函數F(x)，且x=x0是f(x)的第一類間
斷點，則因F(x)在x=x0處連續、可導，且
所以，無論f(x0+0);f(x0.0)是否相等，都不能等於f(x0)，這與F0(x)=f(x)在區間上成立矛盾.
根據定義不難獲知:
(1)原函數概念首先與考察的區間有關，即同一個函數在不同區間上的原函數不一定相同.
例如，設f(x)=jxj，則在(0+1)內，f(x)的一個原函數為
(2)一個函數的原函數若存在，則它的原函數肯定不是唯一的.
事實上，若f(x)有原函數F(x)，則對任意常數C，F(x)+C也是f(x)的一個原函數.
因此，若找到f(x)的一個原函數F(x)，按F(x)+C的方法可寫齣它的無限多個原函數，將其組閤到一起便構成f(x)的一個原函數族，那麼此函數族是否包含瞭f(x)的所有原函數呢？為說明該問題，我們考察f(x)的任意兩個原函數之間的差彆.
若F(x)與G(x)同為f(x)的原函數，則
F0(x)=f(x);G0(x)=f(x);
因而有
故有
即G(x)=F(x)+C.
上麵的討論說明:f(x)的任意兩個原函數之間僅差一個常數；函數族實際上是由f(x)的全體原函數構成的.
定義2函數f(x)在區間I上的全體原函數稱為f(x)(或f(x)dx)在區間I上的不定積分，記為Zf(x)dx，其中記號Z稱為積分號，f(x)稱為被積函數，f(x)dx稱為被積錶達式，x稱為積分變量.
因此，如果F(x)是f(x)在區間I上的一個原函數，且用F(x)+C(C是任意常數)來錶示函數族fF(x)+CjC2Rg，則F(x)+C就是f(x)的不定積分，即
不定積分的幾何意義:函數f(x)的任意一個原函數F(x)的圖形稱為f(x)的一條積分麯綫，而函數f(x)的不定積分F(x)+C的圖形稱為f(x)的積分麯綫族.積分麯綫族中的任意一條麯綫都可以由麯綫y=F(x)沿y軸平移得到，因此，積分麯綫族中的所有麯綫在橫坐標相同的點處具有平行的切綫(圖6-1).
例1求解由於
是x3的一個原函數，因此
例3設麯綫通過點(1;2)，且其上任一點處的切綫斜率等於這點橫坐標的兩倍，求此麯綫的方程.
二、不定積分的性質與基本積分錶
性質1設函數f(x)及g(x)的原函數存在，則
性質1對於有限個函數都是成立的.
性質2設函數f(x)的原函數存在，k為非零常數，則
既然積分運算是微分運算的逆運算，那麼很自然地可以從導數公式得到相應的積分公式.下麵把一些基本的積分公式列成一個錶，這個錶通常稱為積分錶.在不定積分計算中，因為積分結果是被積函數的原函數，所以隻要對積分結果求導，看它的導數是否等於被積函數，就能判斷積分的求解正確與否.
三、直接積分法
所謂直接積分法就是在函數基本運算下先將不定積分的被積函數用已知不定積分錶達式的函數錶示齣來，而後利用不定積分的性質和已知積分錶達式的函數的

前言/序言

經典文學巨著：《百年孤獨》 作者：加布裏埃爾·加西亞·馬爾剋斯 內容提要： 《百年孤獨》是哥倫比亞文學巨匠加西亞·馬爾剋斯的代錶作，一部氣勢恢宏、結構精巧的長篇小說。它以魔幻現實主義的手法，講述瞭布恩迪亞傢族七代人在虛構的馬孔多小鎮上，經曆的百年興衰榮辱、愛恨情仇與無法逃脫的孤獨宿命。 小說開篇，便以一個令人不安的預言奠定瞭全書的基調：傢族中的某人將因亂倫而生下長著豬尾巴的後代。隨後，故事圍繞著傢族的創始人何塞·阿爾卡蒂奧·布恩迪亞——一個充滿著冒險精神和科學幻想的理想主義者——展開。他帶領族人建立瞭與世隔絕的馬孔多，一個最初象徵著烏托邦和純潔的樂土。 隨著時間的推移，馬孔多這座小鎮經曆瞭從蠻荒到繁榮，再到被遺忘的完整生命周期。傢族的成員們，每個人都帶著獨特的性格和驅動力，不斷重演著祖輩的命運，陷入對愛情的執著、對權力的貪戀、對永恒的追尋以及無法擺脫的孤獨之中。 核心主題與敘事結構： 本書最引人入勝之處在於其對時間、記憶與孤獨的深刻探討。馬爾剋斯運用精湛的敘事技巧，模糊瞭現實與幻想的界限。雨可以連下四年十一個月零兩天；飛升天堂的女子裹挾著床單一同消失；而幽靈和先知在傢族生活中如同日常訪客。這種“魔幻現實主義”的筆觸，使馬孔多的曆史成為瞭拉丁美洲乃至全人類曆史的縮影。 小說中的時間並非綫性流逝，而是呈現齣一種循環往復的特質。布恩迪亞傢族的男性成員名字（奧雷裏亞諾和何塞·阿爾卡蒂奧）不斷重復，他們的性格和命運也似乎被某種宿命的力量牽引著，陷入相似的睏境： 奧雷裏亞諾係：通常繼承瞭創始人的沉思、孤獨和對知識的渴求，許多人成為瞭發動戰爭的將軍或沉迷於煉金術的隱士。 何塞·阿爾卡蒂奧係：往往性格更為外放、衝動、肉欲旺盛，他們的生命力旺盛卻又極易走嚮毀滅。 這種循環結構強調瞭傢族無法掙脫的孤獨感。無論是權力巔峰的七號上校奧雷裏亞諾·布恩迪亞，他在一生中發動瞭三十二次內戰卻一無所獲，最終在孤獨中製造並熔化黃金；還是沉溺於情欲的女性們，她們最終發現，最深刻的連接也無法抵禦內在的疏離。 傢族的興衰史詩： 小說詳細描繪瞭馬孔多從小鎮的建立到被現代文明的洪流——如鐵路、香蕉種植園的到來——所顛覆和最終遺棄的過程。香蕉公司的到來象徵著外來資本主義的入侵，帶來瞭短暫的繁榮、殘酷的剝削，以及最終的災難性屠殺（一場被政府徹底抹去記憶的事件）。當殖民勢力撤離後，小鎮徹底陷入停滯和遺忘，最終被螞蟻吞噬，完成瞭其宿命的終結。 愛情與禁忌： 貫穿全書的是對愛情的復雜描繪，尤其是亂倫的主題。傢族成員之間，無論是血緣上的親近還是精神上的共鳴，都難以找到真正的歸屬，他們對真愛的追求往往以悲劇收場。最後的結閤——一個純粹、超越世俗的愛情，卻也最終應驗瞭古老的預言，帶來瞭傢族血脈的終結。 文學價值： 《百年孤獨》不僅是拉丁美洲文學“爆炸”時期的標誌性作品，更因其對人類普遍境遇的深刻洞察而獲得世界性的贊譽。它探討瞭曆史的健忘、個人在宏大命運麵前的無力感、記憶的脆弱性以及人類對理解自身存在意義的永恒掙紮。馬爾剋斯通過這部史詩，構建瞭一個既遙遠又無比熟悉的微觀宇宙，讓讀者在奇幻的錶象之下，感受到最本質的人性悲歡。這部作品的閱讀體驗是獨一無二的，需要讀者沉浸其中，細細品味那份宏大敘事下的幽微之痛。

評分☆☆☆☆☆

不得不說，這本書真的在細節上做得非常到位，讓我這個數學領域的“菜鳥”也能感受到學習的樂趣和成就感。《高等數學（下冊）》在內容編排上，給我最大的感受是它的“潤物細無聲”。它不是那種強硬地灌輸知識的風格，而是像一個循循善誘的老師，在你準備好接受新知識的時候，恰到好處地呈現給你。我尤其贊賞它對“為什麼”的解釋，很多時候，我們學習數學隻是知道“是什麼”和“怎麼做”，而這本書則花瞭很多篇幅去解釋“為什麼這麼定義”、“為什麼這個定理成立”。比如，在講解重積分時，它會先從二重積分的幾何意義入手，然後逐步推導到其計算方法，讓你明白為什麼需要用兩次積分來計算體積，而不是直接給你一個公式。此外，書中在引入一些新的數學工具時，會非常清晰地說明它的作用和適用範圍，避免我們混淆。我非常喜歡它在練習題設計上的梯度，從最基礎的機械練習，到需要思考和分析的綜閤題，再到一些能拓展思維的應用題，這種遞進式的練習設計，讓我能夠循序漸進地提升自己的數學能力。而且，書中對一些常見錯誤和易混淆點的提示非常及時，這讓我在做題時能避免很多不必要的麻煩，也讓我對知識有瞭更深刻的理解。

評分☆☆☆☆☆

我一直認為，一本好的數學書，不僅在於知識的深度，更在於它能否激發讀者的興趣，培養讀者的數學思維。而這本《高等數學（下冊）》恰恰在這方麵做得非常齣色。它並沒有刻意去追求華麗的辭藻或者花哨的排版，而是以一種非常沉穩、紮實的方式呈現內容。讓我印象深刻的是，書中在介紹一些定理或公式時，會穿插一些曆史典故或者科學傢的故事，這讓原本嚴肅的數學知識頓時變得生動有趣起來。比如，在講解牛頓和萊布尼茨如何獨立發展微積分時，我仿佛看到瞭兩位偉大的頭腦在思想的碰撞中創造齣改變世界的工具。這種人文關懷的融入，讓我感覺數學不僅僅是冰冷的邏輯，更是人類智慧的結晶。而且，書中在講解一些關鍵定理時，會反復從不同角度進行闡述，有時是幾何直觀解釋，有時是代數推導，有時是物理類比，確保讀者能夠真正理解其精髓。我特彆喜歡它在例題設計上的多樣性，既有基礎的鞏固性練習，也有一些需要綜閤運用多個知識點的綜閤性題目，能夠有效地鍛煉我的解題能力和分析能力。總的來說，這本書在保持學術嚴謹性的同時，做到瞭足夠的人性化和啓發性，讓我真正愛上瞭高等數學。

評分☆☆☆☆☆

這本書真是讓我大開眼界！作為一個平時對數理化概念總有點畏懼的普通上班族，這次抱著試試看的心態入手瞭這本《高等數學（下冊）》，原本以為會像以前讀書時一樣，麵對密密麻麻的公式和抽象的概念就頭疼不已，結果卻齣乎意料地順利。作者的講解方式非常注重邏輯性和條理性，就像偵探破案一樣，一步步引導你理解那些看似高深莫測的理論。尤其是在處理那些涉及到無窮、極限以及積分運算的部分，作者並沒有直接丟給你一堆定理公式，而是先從直觀的例子入手，比如用逼近的方式解釋無窮小，或者用纍加的概念來引入積分。這種循序漸進的學習路徑，極大地降低瞭理解門檻，讓我這個數學“小白”也能跟著思路走，甚至時不時地能體會到一點點“啊，原來是這樣！”的頓悟感。而且，書中穿插的許多現實生活中的應用案例，比如在經濟學、物理學甚至工程技術中的體現，也讓這些抽象的數學概念變得鮮活起來，不再是冰冷的符號，而是解決實際問題的有力工具。我特彆喜歡書中對一些復雜證明的詳細拆解，每一個小步驟都解釋得很清楚，讓你知道每一步的由來，而不是簡單地告訴你“由定理X可知”。這種嚴謹又不失通俗的講解，讓我不僅學會瞭知識點，更重要的是掌握瞭學習數學的方法和思維方式。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，我曾因為“高等數學”這個詞而對它敬而遠之，總覺得那是一片遙不可及的學術象牙塔。然而，當我真正開始閱讀這本《高等數學（下冊）》時，纔發現我的擔憂是多餘的。這本書的敘事方式非常獨特，它更像是在娓娓道來一個關於數學世界的美麗故事。作者並沒有一開始就拋齣令人望而生畏的定義和公理，而是先營造一種探索的氛圍。例如，在介紹級數這一章節時，它會先從一些生活中“無限”的概念開始，比如無限小數、無窮數列，然後巧妙地引齣級數的概念，讓你自然而然地産生“為什麼會有級數？它能解決什麼問題？”的好奇心。這種“提齣問題-分析問題-解決問題”的邏輯鏈條，讓我感覺自己不再是被動地接受知識，而是主動地參與到數學發現的過程中。書中對概念的解釋非常到位，而且常常會輔以圖示和圖形，幫助我理解那些抽象的數學對象。我尤其喜歡它在對一些證明的講解上，作者會層層剝繭，將復雜的證明分解為一係列更容易理解的步驟，並且每一步的邏輯推理都清晰可見。這種嚴謹又不失引導性的講解，讓我能夠深刻地理解每一個數學結論的由來，而不是僅僅記住公式。

評分☆☆☆☆☆

說實話，翻開《高等數學（下冊）》之前，我其實也沒抱太大的希望，畢竟“高等數學”這四個字本身就自帶一種“勸退”屬性。但這本書真的刷新瞭我對這個學科的認知。我最欣賞的一點是它在構建理論體係上的匠心獨運。它沒有把各個章節孤立起來，而是強調瞭不同知識點之間的內在聯係和遞進關係。比如，它在講解完基礎的函數和導數之後，非常自然地過渡到瞭定積分和不定積分，並且清晰地闡述瞭微積分基本定理如何將這兩者巧妙地聯係在一起。這種“承上啓下”的結構設計，讓我在學習過程中能夠清晰地看到知識的脈絡，理解每一個概念在整個高等數學體係中所處的位置。此外，書中在引入新概念時，總是會先給齣一些背景知識和動機，解釋為什麼我們需要學習這個概念，它能夠解決什麼樣的問題。這種“知其然，更知其所以然”的講解方式，讓學習過程不再是機械的記憶，而是充滿探索和發現的樂趣。我尤其喜歡它在處理一些易錯點和難點時的細緻提示，作者會提前預警，並給齣一些實用的解題技巧，避免我們在做題時走彎路。這種周全的考慮，讓這本書不僅僅是一本教材，更像是一位經驗豐富的老師，在你學習的道路上給予最及時的指導和幫助。