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张志海，范杰，贾瑞娟，袁洪芬 著

图书标签:

• 高等数学
• 数学
• 微积分
• 理工科
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• 下册
• 函数
• 极限
• 导数

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030448293

版次：1

商品编码：11758377

包装：平装

丛书名： 普通高等教育”十二五“规划教材普通高等学校数学教学丛书

开本：16开

出版时间：2015-08-01

页数：336

正文语种：中文

编辑推荐

《高等数学(下册)》是作者多年教学经验的总结, 可作为非数学专业学生高等数学的教材, 也可作为相关人员的参考书.

内容简介

《高等数学(下册)》分上、下两册, 上册内容包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、空间解析几何、多元函数微分法及其应用. 下册内容包括不定积分、定积分、定积分的应用、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数、微分方程初步. 《高等数学(下册)》每节都配有习题,每章配有总习题和历年考研题. 《高等数学(下册)》配套的辅助教材有《高等数学典型问题与应用案例剖析(上、下册)》.

目录

前言
第六章 不定积分 1
第一节 不定积分的概念与性质 1
一、原函数与不定积分的概念 1
二、不定积分的性质与基本积分表 4
三、直接积分法 5
习题 6-1 7
第二节 换元积分法 8
一、第一类换元法 8
二、第二类换元法 15
习题 6-2 20
第三节 分部积分法 21
习题 6-3 26
第四节 有理函数的积分 27
习题 6-4 31
第五节 可化为有理函数的积分举例 32
一、三角函数有理式的积分举例 32
二、简单无理式的积分举例 33
习题 6-5 35
总习题六 35
历年考研题六 36
第七章 定积分 37
第一节 定积分的概念与性质 37
一、引出定积分概念的典型问题 37
二、定积分定义 39
三、定积分的近似计算 42
四、定积分的性质 44
习题 7-1 46
第二节 微积分基本公式 48
一、变速直线运动中路程函数与速度函数之间的联系 48
二、积分上限函数及其导数 49
三、牛顿-莱布尼茨公式 52
习题 7-2 54
第三节 定积分的换元法和分部积分法 55
一、定积分的换元法 55
二、定积分的分部积分法 61
习题 7-3 64
第四节 反常积分 64
一、无穷区间上的反常积分 65
二、无界函数的反常积分 67
三、反常积分的审敛法 70
习题 7-4 72
总习题七 72
历年考研题七 74
第八章 定积分的应用 77
第一节 元素法 77
第二节 定积分在几何上的应用 78
一、平面图形的面积 78
二、两种特殊立体的体积 83
三、平面曲线的弧长 87
习题 8-2 90
第三节 定积分在物理学上的应用 91
一、变力做功问题 91
二、水压力 93
三、引力 93
习题 8-3 95
总习题八 95
历年考研题八 96
第九章 重积分 98
第一节 二重积分的概念与性质 98
一、二重积分的概念 98
二、二重积分的性质 102
习题 9-1 104
第二节 二重积分的计算 105
一、利用直角坐标系计算二重积分 105
二、利用极坐标计算二重积分 110
三、二重积分的换元法 114
习题 9-2 117
第三节 三重积分 120
一、三重积分的概念 120
二、三重积分的计算 121
习题 9-3 128
第四节 重积分的应用 130
一、曲面的面积 130
二、质心 134
三、转动惯量 136
四、引力 138
习题 9-4 139
总习题九 140
历年考研题九 143
第十章 曲线积分与曲面积分 146
第一节 对弧长的曲线积分与对面积的曲面积分 146
一、对弧长的曲线积分及对面积的曲面积分的概念与性质 146
二、对弧长的曲线积分的计算方法 148
三、对面积的曲面积分的计算方法 150
习题 10-1 153
第二节 对坐标的曲线积分 154
一、对坐标的曲线积分的概念与性质 154
二、对坐标的曲线积分的计算方法 158
三、两类曲线积分之间的联系 162
习题 10-2 163
第三节 对坐标的曲面积分 164
一、预备知识 164
二、引例流向曲面一侧的流量 165
三、对坐标的曲面积分的概念及性质 167
四、对坐标的曲面积分的计算方法 169
五、两类曲面积分之间的联系 172
习题 10-3 174
第四节 多元函数积分间联系的三大公式 175
一、格林公式及其应用 175
二、高斯公式 184
三、斯托克斯公式 187
习题 10-4 189
第五节 场论初步 192
一、场的概念 192
二、向量场的散度与旋度 193
习题 10-5 196
总习题十 197
历年考研题十 199
第十一章 无穷级数 202
第一节 常数项级数的概念和性质 202
一、常数项级数的概念 202
二、级数的基本性质 205
三、级数收敛的必要条件 207
习题 11-1 208
第二节 正项级数的审敛法 208
一、正项级数概念和基本审敛法则 209
二、比较审敛法 209
三、比值审敛法 212
四、根值审敛法 214
习题 11-2 214
第三节 一般项级数的审敛法 215
一、交错级数审敛法 215
二、任意项级数的绝对收敛与条件收敛 217
三、绝对收敛级数的性质 218
习题 11-3 219
第四节 幂级数 219
一、函数项级数的概念 219
二、幂级数及其收敛性 220
三、幂级数的运算 224
四、幂级数的性质 225
习题 11-4 226
第五节 函数的幂级数展开 227
一、泰勒 (Taylor) 级数 227
二、函数的幂级数展开式 229
习题 11-5 234
第六节 傅里叶级数 235
一、三角级数和三角函数系 235
二、以 2 为周期的函数的傅里叶级数 236
三、以 2l 为周期的函数的傅里叶级数 241
四、正弦级数和余弦级数 243
习题 11-6 245
总习题十一 246
历年考研题十一 247
第十二章 微分方程初步 251
第一节 微分方程及其相关概念 251
习题 12-1 255
第二节 可分离变量方程 256
习题 12-2 258
第三节 齐次方程 258
一、齐次方程 258
二、可化为齐次的方程 260
习题 12-3 263
第四节 一阶线性微分方程 264
一、线性方程 264
二、伯努利方程 266
习题 12-4 269
第五节 全微分方程 270
习题 12-5 274
第六节 可降阶的高阶微分方程 274
一、y(n) = f(x) 型的微分方程 275
二、y00 = f(x; y0) 型的微分方程 275
三、y00 = f(y; y0) 型的微分方程 277
习题 12-6 279
第七节 线性微分方程解的结构 280
一、二阶齐次线性微分方程解的结构 280
二、二阶非齐次线性微分方程解的结构 281
三、二阶非齐次线性微分方程通解的求法 282
习题 12-7 284
第八节 二阶常系数齐次线性微分方程 285
习题 12-8 291
第九节 二阶常系数非齐次线性微分方程 292
习题 12-9 298
第十节 欧拉方程 299
习题 12-10 301
总习题十二 301
历年考研题十二 302
部分习题答案与提示 304

精彩书摘

第六章 不定积分
第六、七、八章的内容统称为一元函数的积分学.积分学与微分学密切联系，共同组成了分析学的基本内容.积分学的产生与发展源于一些实际问题的解决，如两千多年前的希腊数学家阿基米德(Archimedes)用穷竭法计算出了抛物线弓形的面积，我国南北朝时期的祖冲之和他的儿子祖也曾推导出某些图形的面积和体积，这些都是用无限小过程处理特殊形状的面积的例子.虽然求积问题自古以来就被直观地、经验地理解着，并且得到了正确的计算结果，但这只是个别问题的解决，始终缺乏一般的计算方法，与一门系统学科的形成还相距甚远.
直到十七世纪，由于天文、航海以及生产技术的发展，大量的问题亟待解决，这些问题大致归为以下四类:第一类是已知距离求速度与加速度以及已知加速度，求速度与距离;第二类是求曲线的切线;第三类是求函数的最大、最小值;第四类是求曲线的长度、曲线围成的面积、曲面围成的体积以及两个物体之间的引力.虽然在一些数学家的努力下，有关微分学问题解决得比较圆满，积分学中的某些问题也得到了一些好的结果，但是当时所使用的方法要么不具有普遍性，要么有的方法本身虽然孕育着有普遍性的含义，但却没有人能充分理解微分与积分这两类问题之间的相互关系的重要意义，因而都没有创立微积分.最终，牛顿和莱布尼茨在总结前的方法的基础上，都各自独立地看到了积分问题是微分的逆问题，并建立起成熟的具有普遍意义的方法.由于牛顿和莱布尼茨各自研究的角度不同，牛顿是利用导数与反导数，即不定积分来解决微积分问题，而莱布尼茨则强调微分及微分的和"，因而就形成了不定积分与定积分.
第一节不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念
在一元函数微分学中，我们研究了已知函数f(x)，如何求出它的导数f0(x)的问题.在实际问题中，经常会遇到已知函数F(x)的导数f(x)，反过来需求函数F(x)的情况，如已知直线运动的速度函数v(t)，求路程函数s(t)，这个问题可归结为微分的逆运算，即不定积分的问题.下面引入原函数的概念.
定义1设函数定义在区间I上，如果存在函数F(x)，对任一x2I，都有
F0(x)=f(x);即dF(x)=f(x)dx;￠2￠第六章不定积分
那么函数F(x)就称为f(x)在区间I上的一个原函数.
关于原函数的存在性问题，这里先给出一个结论.
原函数存在定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x2I，都有F0(x)=f(x).
即连续函数一定有原函数.
例如，当x2(.1;+1)时，因为(x2)0=2x，所以x2是2x在(.1;+1)上的一个原函数.
需注意的是，在区间不连续的函数也可能有原函数.
例如，函数
在区间的一个原函数，而f(x)在x=0处间断.
但是，若函数在区间上有第一类间断点，则函数在该区间上一定没有原函数.
例如，设函数f(x)在区间I上有原函数F(x)，且x=x0是f(x)的第一类间
断点，则因F(x)在x=x0处连续、可导，且
所以，无论f(x0+0);f(x0.0)是否相等，都不能等于f(x0)，这与F0(x)=f(x)在区间上成立矛盾.
根据定义不难获知:
(1)原函数概念首先与考察的区间有关，即同一个函数在不同区间上的原函数不一定相同.
例如，设f(x)=jxj，则在(0+1)内，f(x)的一个原函数为
(2)一个函数的原函数若存在，则它的原函数肯定不是唯一的.
事实上，若f(x)有原函数F(x)，则对任意常数C，F(x)+C也是f(x)的一个原函数.
因此，若找到f(x)的一个原函数F(x)，按F(x)+C的方法可写出它的无限多个原函数，将其组合到一起便构成f(x)的一个原函数族，那么此函数族是否包含了f(x)的所有原函数呢？为说明该问题，我们考察f(x)的任意两个原函数之间的差别.
若F(x)与G(x)同为f(x)的原函数，则
F0(x)=f(x);G0(x)=f(x);
因而有
故有
即G(x)=F(x)+C.
上面的讨论说明:f(x)的任意两个原函数之间仅差一个常数；函数族实际上是由f(x)的全体原函数构成的.
定义2函数f(x)在区间I上的全体原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分，记为Zf(x)dx，其中记号Z称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量.
因此，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，且用F(x)+C(C是任意常数)来表示函数族fF(x)+CjC2Rg，则F(x)+C就是f(x)的不定积分，即
不定积分的几何意义:函数f(x)的任意一个原函数F(x)的图形称为f(x)的一条积分曲线，而函数f(x)的不定积分F(x)+C的图形称为f(x)的积分曲线族.积分曲线族中的任意一条曲线都可以由曲线y=F(x)沿y轴平移得到，因此，积分曲线族中的所有曲线在横坐标相同的点处具有平行的切线(图6-1).
例1求解由于
是x3的一个原函数，因此
例3设曲线通过点(1;2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程.
二、不定积分的性质与基本积分表
性质1设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则
性质1对于有限个函数都是成立的.
性质2设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则
既然积分运算是微分运算的逆运算，那么很自然地可以从导数公式得到相应的积分公式.下面把一些基本的积分公式列成一个表，这个表通常称为积分表.在不定积分计算中，因为积分结果是被积函数的原函数，所以只要对积分结果求导，看它的导数是否等于被积函数，就能判断积分的求解正确与否.
三、直接积分法
所谓直接积分法就是在函数基本运算下先将不定积分的被积函数用已知不定积分表达式的函数表示出来，而后利用不定积分的性质和已知积分表达式的函数的

前言/序言

经典文学巨著：《百年孤独》 作者：加布里埃尔·加西亚·马尔克斯 内容提要： 《百年孤独》是哥伦比亚文学巨匠加西亚·马尔克斯的代表作，一部气势恢宏、结构精巧的长篇小说。它以魔幻现实主义的手法，讲述了布恩迪亚家族七代人在虚构的马孔多小镇上，经历的百年兴衰荣辱、爱恨情仇与无法逃脱的孤独宿命。 小说开篇，便以一个令人不安的预言奠定了全书的基调：家族中的某人将因乱伦而生下长着猪尾巴的后代。随后，故事围绕着家族的创始人何塞·阿尔卡蒂奥·布恩迪亚——一个充满着冒险精神和科学幻想的理想主义者——展开。他带领族人建立了与世隔绝的马孔多，一个最初象征着乌托邦和纯洁的乐土。 随着时间的推移，马孔多这座小镇经历了从蛮荒到繁荣，再到被遗忘的完整生命周期。家族的成员们，每个人都带着独特的性格和驱动力，不断重演着祖辈的命运，陷入对爱情的执着、对权力的贪恋、对永恒的追寻以及无法摆脱的孤独之中。 核心主题与叙事结构： 本书最引人入胜之处在于其对时间、记忆与孤独的深刻探讨。马尔克斯运用精湛的叙事技巧，模糊了现实与幻想的界限。雨可以连下四年十一个月零两天；飞升天堂的女子裹挟着床单一同消失；而幽灵和先知在家族生活中如同日常访客。这种“魔幻现实主义”的笔触，使马孔多的历史成为了拉丁美洲乃至全人类历史的缩影。 小说中的时间并非线性流逝，而是呈现出一种循环往复的特质。布恩迪亚家族的男性成员名字（奥雷里亚诺和何塞·阿尔卡蒂奥）不断重复，他们的性格和命运也似乎被某种宿命的力量牵引着，陷入相似的困境： 奥雷里亚诺系：通常继承了创始人的沉思、孤独和对知识的渴求，许多人成为了发动战争的将军或沉迷于炼金术的隐士。 何塞·阿尔卡蒂奥系：往往性格更为外放、冲动、肉欲旺盛，他们的生命力旺盛却又极易走向毁灭。 这种循环结构强调了家族无法挣脱的孤独感。无论是权力巅峰的七号上校奥雷里亚诺·布恩迪亚，他在一生中发动了三十二次内战却一无所获，最终在孤独中制造并熔化黄金；还是沉溺于情欲的女性们，她们最终发现，最深刻的连接也无法抵御内在的疏离。 家族的兴衰史诗： 小说详细描绘了马孔多从小镇的建立到被现代文明的洪流——如铁路、香蕉种植园的到来——所颠覆和最终遗弃的过程。香蕉公司的到来象征着外来资本主义的入侵，带来了短暂的繁荣、残酷的剥削，以及最终的灾难性屠杀（一场被政府彻底抹去记忆的事件）。当殖民势力撤离后，小镇彻底陷入停滞和遗忘，最终被蚂蚁吞噬，完成了其宿命的终结。 爱情与禁忌： 贯穿全书的是对爱情的复杂描绘，尤其是乱伦的主题。家族成员之间，无论是血缘上的亲近还是精神上的共鸣，都难以找到真正的归属，他们对真爱的追求往往以悲剧收场。最后的结合——一个纯粹、超越世俗的爱情，却也最终应验了古老的预言，带来了家族血脉的终结。 文学价值： 《百年孤独》不仅是拉丁美洲文学“爆炸”时期的标志性作品，更因其对人类普遍境遇的深刻洞察而获得世界性的赞誉。它探讨了历史的健忘、个人在宏大命运面前的无力感、记忆的脆弱性以及人类对理解自身存在意义的永恒挣扎。马尔克斯通过这部史诗，构建了一个既遥远又无比熟悉的微观宇宙，让读者在奇幻的表象之下，感受到最本质的人性悲欢。这部作品的阅读体验是独一无二的，需要读者沉浸其中，细细品味那份宏大叙事下的幽微之痛。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，一本好的数学书，不仅在于知识的深度，更在于它能否激发读者的兴趣，培养读者的数学思维。而这本《高等数学（下册）》恰恰在这方面做得非常出色。它并没有刻意去追求华丽的辞藻或者花哨的排版，而是以一种非常沉稳、扎实的方式呈现内容。让我印象深刻的是，书中在介绍一些定理或公式时，会穿插一些历史典故或者科学家的故事，这让原本严肃的数学知识顿时变得生动有趣起来。比如，在讲解牛顿和莱布尼茨如何独立发展微积分时，我仿佛看到了两位伟大的头脑在思想的碰撞中创造出改变世界的工具。这种人文关怀的融入，让我感觉数学不仅仅是冰冷的逻辑，更是人类智慧的结晶。而且，书中在讲解一些关键定理时，会反复从不同角度进行阐述，有时是几何直观解释，有时是代数推导，有时是物理类比，确保读者能够真正理解其精髓。我特别喜欢它在例题设计上的多样性，既有基础的巩固性练习，也有一些需要综合运用多个知识点的综合性题目，能够有效地锻炼我的解题能力和分析能力。总的来说，这本书在保持学术严谨性的同时，做到了足够的人性化和启发性，让我真正爱上了高等数学。

评分☆☆☆☆☆

不得不说，这本书真的在细节上做得非常到位，让我这个数学领域的“菜鸟”也能感受到学习的乐趣和成就感。《高等数学（下册）》在内容编排上，给我最大的感受是它的“润物细无声”。它不是那种强硬地灌输知识的风格，而是像一个循循善诱的老师，在你准备好接受新知识的时候，恰到好处地呈现给你。我尤其赞赏它对“为什么”的解释，很多时候，我们学习数学只是知道“是什么”和“怎么做”，而这本书则花了很多篇幅去解释“为什么这么定义”、“为什么这个定理成立”。比如，在讲解重积分时，它会先从二重积分的几何意义入手，然后逐步推导到其计算方法，让你明白为什么需要用两次积分来计算体积，而不是直接给你一个公式。此外，书中在引入一些新的数学工具时，会非常清晰地说明它的作用和适用范围，避免我们混淆。我非常喜欢它在练习题设计上的梯度，从最基础的机械练习，到需要思考和分析的综合题，再到一些能拓展思维的应用题，这种递进式的练习设计，让我能够循序渐进地提升自己的数学能力。而且，书中对一些常见错误和易混淆点的提示非常及时，这让我在做题时能避免很多不必要的麻烦，也让我对知识有了更深刻的理解。

评分☆☆☆☆☆

这本书真是让我大开眼界！作为一个平时对数理化概念总有点畏惧的普通上班族，这次抱着试试看的心态入手了这本《高等数学（下册）》，原本以为会像以前读书时一样，面对密密麻麻的公式和抽象的概念就头疼不已，结果却出乎意料地顺利。作者的讲解方式非常注重逻辑性和条理性，就像侦探破案一样，一步步引导你理解那些看似高深莫测的理论。尤其是在处理那些涉及到无穷、极限以及积分运算的部分，作者并没有直接丢给你一堆定理公式，而是先从直观的例子入手，比如用逼近的方式解释无穷小，或者用累加的概念来引入积分。这种循序渐进的学习路径，极大地降低了理解门槛，让我这个数学“小白”也能跟着思路走，甚至时不时地能体会到一点点“啊，原来是这样！”的顿悟感。而且，书中穿插的许多现实生活中的应用案例，比如在经济学、物理学甚至工程技术中的体现，也让这些抽象的数学概念变得鲜活起来，不再是冰冷的符号，而是解决实际问题的有力工具。我特别喜欢书中对一些复杂证明的详细拆解，每一个小步骤都解释得很清楚，让你知道每一步的由来，而不是简单地告诉你“由定理X可知”。这种严谨又不失通俗的讲解，让我不仅学会了知识点，更重要的是掌握了学习数学的方法和思维方式。

评分☆☆☆☆☆

说实话，翻开《高等数学（下册）》之前，我其实也没抱太大的希望，毕竟“高等数学”这四个字本身就自带一种“劝退”属性。但这本书真的刷新了我对这个学科的认知。我最欣赏的一点是它在构建理论体系上的匠心独运。它没有把各个章节孤立起来，而是强调了不同知识点之间的内在联系和递进关系。比如，它在讲解完基础的函数和导数之后，非常自然地过渡到了定积分和不定积分，并且清晰地阐述了微积分基本定理如何将这两者巧妙地联系在一起。这种“承上启下”的结构设计，让我在学习过程中能够清晰地看到知识的脉络，理解每一个概念在整个高等数学体系中所处的位置。此外，书中在引入新概念时，总是会先给出一些背景知识和动机，解释为什么我们需要学习这个概念，它能够解决什么样的问题。这种“知其然，更知其所以然”的讲解方式，让学习过程不再是机械的记忆，而是充满探索和发现的乐趣。我尤其喜欢它在处理一些易错点和难点时的细致提示，作者会提前预警，并给出一些实用的解题技巧，避免我们在做题时走弯路。这种周全的考虑，让这本书不仅仅是一本教材，更像是一位经验丰富的老师，在你学习的道路上给予最及时的指导和帮助。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我曾因为“高等数学”这个词而对它敬而远之，总觉得那是一片遥不可及的学术象牙塔。然而，当我真正开始阅读这本《高等数学（下册）》时，才发现我的担忧是多余的。这本书的叙事方式非常独特，它更像是在娓娓道来一个关于数学世界的美丽故事。作者并没有一开始就抛出令人望而生畏的定义和公理，而是先营造一种探索的氛围。例如，在介绍级数这一章节时，它会先从一些生活中“无限”的概念开始，比如无限小数、无穷数列，然后巧妙地引出级数的概念，让你自然而然地产生“为什么会有级数？它能解决什么问题？”的好奇心。这种“提出问题-分析问题-解决问题”的逻辑链条，让我感觉自己不再是被动地接受知识，而是主动地参与到数学发现的过程中。书中对概念的解释非常到位，而且常常会辅以图示和图形，帮助我理解那些抽象的数学对象。我尤其喜欢它在对一些证明的讲解上，作者会层层剥茧，将复杂的证明分解为一系列更容易理解的步骤，并且每一步的逻辑推理都清晰可见。这种严谨又不失引导性的讲解，让我能够深刻地理解每一个数学结论的由来，而不是仅仅记住公式。