信息與計算科學叢書·典藏版（36）：不適定問題的正則化方法及應用 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

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劉繼軍 著

圖書標籤:

• 不適定問題
• 正則化方法
• 計算科學
• 信息科學
• 數值分析
• 應用數學
• 科學計算
• 優化算法
• 典藏版
• 數學模型

齣版社： 科學齣版社有限責任公司

ISBN：9787030158338

版次：1

商品編碼：11889970

包裝：平裝

叢書名： 信息與計算科學叢書

開本：16開

齣版時間：2005-09-01

用紙：膠版紙

頁數：204

字數：252000

正文語種：中文

內容簡介

　　《信息與計算科學叢書·典藏版（36）：不適定問題的正則化方法及應用》以自封閉的形式係統介紹瞭綫性不適定問題的正則化求解方法，以及在數學物理反問題研究中的一些應用。主要內容包括：不適定問題的基本概念和特點，研究不適定問題需要的基本數學工具和方法，求解不適定問題的標準的正則化方法及近年來的新發展，以及正則化方法在逆時熱傳導、數值微分、逆散射等領域中的應用。
　　《信息與計算科學叢書·典藏版（36）：不適定問題的正則化方法及應用》的內容包含瞭作者和其他學者近幾年來的有關工作。
　　《信息與計算科學叢書·典藏版（36）：不適定問題的正則化方法及應用》可作為數學專業、介質成像專業高年級本科生、研究生教材或相關專業科研人員的參考書。

內頁插圖

目錄

《信息與計算科學叢書》序
前言

第1章 適定問題和不適定問題
1．1 物理問題的描述方法
1．2 問題適定性
1．3 反問題和不適定問題
1．4 反問題和氣候數值預報
1．5 不適定問題的例子及難點

第2章 預備理論
2．1 賦範空間若乾結果
2．2 有界算子和緊算子
2．3 Riesz理論和Fredholm理論
2．4 綫性積分算子
2．5 緊算子的譜理論

第3章 綫性問題解的正則化方法
3．1 一般的正則化理論
3．2 允許的α=α（δ）的取法
3．3 q（α，μ）的取法
3．4 Tikhonov正則化方法
3．5 擬解和相容性原理
3．6 Landweber迭代正則化
3．7 條件穩定性和正則化參數選取
3．8 綫性反問題正則化參數的迭代選取
3．9 求正則化參數的模型函數方法
3．10 兩類正則化方法的比較

第4章 離散化的正則化方法
4．1 一般的投影方法
4．2 Galerkin方法
4．3 配置方法
4．4 投影方法的應用
4．4．1 Laplace方程邊值問題的勢函數解法
4．4．2 Galerkin方法解Symm方程
4．4．3 配置方法解Symm方程
4．4．4 解Symm方程的數值實驗

第5章 正則化方法應用
5．1 逆時熱傳導問題
5．1．1 逆時熱傳導問題不適定性
5．1．2 逆時問題的正則化方法
5．1．3 二維逆時問題數值結果
5．1．4 一維逆時問題數值結果
5．2 數值微分問題
5．2．1 樣條插值方法
5．2．2 光滑化方法
5．2．3 積分算子方法
5．3 聲波逆散射問題的正則化求解
5．3．1 波場的散射問題
5．3．2 由遠場近似數據求散射波近場正則化方法
5．3．3 數值試驗
5．3．4 求散射場的近似模型函數方法
5．4 基本解的Runge逼近
5．4．1 Helmholtz方程基本解的Runge逼近
5．4．2 逼近的數值實現

參考文獻
《信息與計算科學叢書》已齣版書目

前言/序言

　　數學物理反問題是一個新興的研究領域。有彆於傳統的數學物理方程的定解問題（通常稱為正問題，它由給定的數理方程和相應的定解條件來求定解問題的解），反問題研究由解的部分已知信息來求定解問題中的某些未知量，如微分方程中的係數、定解問題的區域或者是某些定解條件，用係統論的語言來講，正問題對應於給定係統在已知輸入條件下求輸齣結果的問題，這些輸齣結果當然包含瞭係統的某些信息，而反問題則是由輸齣結果的部分信息來反求係統的某些結構特徵，因此反問題在醫學成像、無損探傷、氣象預報等領域都有著廣泛的應用，它對應於由介質外部可測量的間接信息來確定介質內部結構的問題。反問題的一個典型應用是醫學診斷的CT成像，它根據X射綫的投影來探測人體的內部結構，工程師Cormack用X射綫沿不同角度照射人體，再由接收的穿透人體的射綫信息來決定人體內器官的位置和形態，這就是人體的三維成像，該項技術現在已發展到瞭核磁共振成像（MRI）。
　　與正問題相比，數學物理反問題的發展曆史相對較短，一直到20世紀60年代的中期，纔成為一個真正的研究領域，引起數學傢和應用科學傢的廣泛重視和深入研究，這種現象的原因來源於反問題大都具有不適定性的特點。該特點也是反問題研究的難點所在。一個問題如果其解存在並且連續依賴於輸入數據，就稱該問題是適定的（well-posed），否則稱為不適定的（ill-posed）。自從著名數學傢Hadamard在1923年引進“問題適定性”的概念並提齣“隻有適定的問題纔是有物理意義的”這一斷言以來，人們在很長時間內一直以為研究不適定的問題是沒有實際意義的，至多是一種學術上的興趣，相應的關於數學物理反問題的研究也很少，但是隨著科學技術的發展，實際的應用領域漸漸提齣瞭很多必須解決的不適定的問題、逐漸扭轉瞭這種偏見，例如地質勘探部門在重力異常探礦中提齣的地下波場的解析延拓問題，無綫電工程上由有限頻率區域上的頻域信號確定時域信號的問題，雷達成像中由反射波信號確定散射體幾何形狀的問題，中長期數值天氣預報的問題等，都是典型的不適定問題，基於實際應用問題的推動，以20世紀60年代中期蘇聯科學院院士吉洪諾夫（A.N.Tikhonov）提齣的處理不適定問題的正則化方法（regularization method）為標誌，不適定問題和反問題的研究進入瞭新的階段，正則化方法的基本思想是利用具體問題的某些附加信息對不適定問題解的概念重新定義，進而引進鎮定泛函來給齣一個逼近原問題解的穩定的方法，數學物理反問題作為一個典型的不適定問題，在此基礎上也得到瞭新的發展，正則化方法成為處理數學物理反問題的一個有力工具，為瞭求解各種類型的數學物理反問題，必須掌握微分方程解的定性理論、非綫性分析和正則化方法的基本思想，從數值求解的角度而言，還必須掌握微（積）分方程數值解、逼近論、非綫性優化、程序設計等數值方法和技術。因此可以說，數學物理反問題是橫跨應用數學和計算數學兩個學科的一個新的研究領域，無論是對數學學科本身的發展，還是對高等學校人纔的培養，都是一門很重要的課程由於數學物理反問題的上述重要性，我國已故數學傢馮康院士早在20世紀80年代就提齣要開展反問題的解法研究，目前國內很多高校如北京大學、復旦大學、吉林大學、上海大學以及東南大學等也都從不同的角度、不同的層次開設瞭相關的課程，國傢自然科學基金委員會也在2003年、2004年連續兩年把數學物理反問題作為重點項目的選題之一，鼓勵開展對該問題的深入的基礎研究，但是對於這樣一門比較重要的課程，由於發展曆史較短，知識麵覆蓋範圍較廣，國內尚無相關的基礎理論專著，尤其是適閤研究生培養的教材。目前國內高校開設這門課程時，或是直接采用國外原版專著，或是結閤具體問題寫齣專門的講義。前者通常是作者在某個方嚮的非常深入的研究成果，後者也往往是側重於一類具體問題的專門研究，它們都缺乏對數學物理反問題的係統的介紹和相關數學基礎（如正則化理論、逼近論）的闡述，作為人纔培養的教材是不閤適的，難度較大。

信息與計算科學叢書·典藏版（35）：現代數值分析中的關鍵挑戰與前沿進展 編著： [此處可根據叢書整體風格設定一個或多個資深學者的集閤名稱或虛擬作者] 齣版社： [此處可設定一個具有學術聲譽的齣版社名稱] 裝幀： 精裝/典藏版 頁碼/字數： 約 850 頁 / 60 萬字 --- 內容概述 《信息與計算科學叢書·典藏版（35）：現代數值分析中的關鍵挑戰與前沿進展》匯集瞭當前信息科學、計算數學以及應用科學領域中最具挑戰性、最活躍的研究方嚮。本書並非專注於單一的經典理論模型，而是著眼於計算範式的轉變和復雜係統求解所帶來的新瓶頸。全書深入探討瞭在高維空間、大規模數據背景下，傳統數值方法所麵臨的收斂性、穩定性和計算效率的根本性難題，並係統性地介紹瞭近年來湧現的、富有創新性的數學工具和算法框架。 本書結構嚴謹，理論與實踐並重，旨在為高等院校的研究生、博士後研究人員、以及在工程和金融領域從事復雜模型數值模擬的專業人士提供一份詳盡的參考手冊和前沿指南。 核心章節詳解 本書共分為六大部分，涵蓋瞭從基礎理論重構到尖端應用拓展的多個維度。 第一部分：高維問題的幾何化與拓撲分析（約 180 頁） 本部分聚焦於“維度災難”在數值計算中的體現，並探討如何利用非綫性幾何和拓撲學原理來簡化和求解高維問題。 1. 流形學習與低秩近似的理論基礎： 詳細闡述瞭黎曼幾何在數據空間中的應用，特彆關注嵌入維度的理論界限和最優傳輸理論在度量高維距離中的地位。探討瞭各種非綫性降維技術（如 LLE, Isomap）的數值穩定性分析。 2. 代數拓撲方法在數據分析中的應用（TDA）： 深入介紹瞭持久同調（Persistent Homology）的計算方法，如何利用 Betti 數序列來刻畫高維數據的內在結構和“洞”，並將其與優化問題的鞍點搜索相結閤。 3. 張量網絡與多綫性代數： 針對張量分解（如 Tucker, CP 分解）在量子化學、大規模機器學習中的應用，本書提供瞭先進的迭代算法，特彆是基於隨機采樣的張量收斂加速技術，並分析瞭其在非凸優化中的魯棒性。 第二部分：非綫性偏微分方程的現代離散化技術（約 220 頁） 針對流體力學、材料科學中常見的非綫性、高非綫性演化方程，本書著重於超越標準有限元法的先進方法。 1. 有限元法的超收斂性與自適應網格： 討論瞭如何通過構造特定的插值空間和後處理技術，實現高於標準階數的局部誤差估計，並介紹瞭基於殘差的高效自適應網格加密策略（h-p 魯棒性分析）。 2. 無網格方法（Meshless Methods）的深化： 詳細分析瞭光滑粒子流體力學（SPH）和徑嚮基函數（RBF）方法的局限性，重點研究瞭自然鄰近單元方法（NNEM）在處理復雜自由界麵問題時的穩定性和精度提升。 3. 譜方法與快速傅裏葉變換（FFT）的加速： 針對守恒律方程，探討瞭僞譜法和配置法在周期性邊界條件下的超高精度，以及如何結閤多重尺度分析（Multiscale Analysis）來處理多尺度現象。 第三部分：隨機微分方程與不確定性量化（約 160 頁） 本部分關注模型中含有隨機性或參數不確定性時，如何可靠地進行數值求解和誤差評估。 1. 隨機微分方程（SDEs）的精確數值積分： 比較瞭 Milstein、Runge-Kutta 族等高階格式的局限性，特彆是對 L'evy 過程的適應性。重點介紹瞭基於馬爾可夫鏈濛特卡羅（MCMC）的隱式方法。 2. 路徑積分與高維濛特卡洛模擬： 深入分析瞭重要性采樣（Importance Sampling）技術在稀疏事件模擬中的應用，並提供瞭如何構建更優的提議分布以顯著降低方差的理論框架。 3. 概率加權有限元法（PWFEM）： 介紹瞭一種結閤概率論與有限元法的混閤方法，用於處理材料參數的隨機分布，提供瞭解的概率區間估計而非單一確定性解。 第四部分：大規模綫性係統的迭代求解器優化（約 150 頁） 在“大”數據和“大”模型時代，精確求解 $Ax=b$ 仍然是計算瓶頸的核心。本部分專注於加速迭代收斂和提高預處理器的效率。 1. 非對稱與特徵值問題的預處理技術： 詳細剖析瞭多重網格法（Multigrid）在非對稱係統中的推廣，如非對稱代數多重網格（AA-MG）。針對特徵值問題，介紹瞭 Lanczos 算法的改進版，特彆是如何處理簇狀特徵值。 2. Krylov 子空間方法的理論極限與改進： 探討瞭 GMRES、MINRES 等方法在麵對病態矩陣時的性能衰減。引入瞭二重迭代（Two-Stage Iteration）策略，以及結閤非綫性預處理器的策略。 3. 並行化與分布式內存計算： 討論瞭基於通信優化的高效並行求解器設計，包括如何高效劃分大型稀疏矩陣、最小化處理器間的數據依賴性，並評估瞭現代 GPU 架構對稀疏綫性代數操作的加速潛力。 第五部分：優化算法的魯棒性與收斂性分析（約 100 頁） 本部分關注在目標函數高度非凸、梯度信息不完整或存在大量局部極小值的情況下，如何保證優化算法的全局收斂性。 1. 準牛頓方法與擬牛頓方程的修正： 重點分析瞭 BFGS 和 DFP 方法在處理大型稀疏 Hessian 矩陣時的內存效率，並引入瞭基於隨機梯度信息的矩陣修正方案。 2. 隨機梯度下降（SGD）的收斂理論： 超越瞭凸優化框架，深入探究瞭 SGD 在深度學習網絡等非凸、高維場景下的“噪聲驅動”收斂機製，特彆是動量（Momentum）和自適應學習率策略的理論保障。 3. 全局優化技術： 介紹瞭基於微分的全局搜索算法，如模擬退火（Simulated Annealing）的精確度量，以及確定性全局優化方法如分支定界法的尺度化應用。 學術價值與讀者定位 本書的特色在於其前瞻性和對“計算挑戰”的深刻洞察。它不滿足於復述教科書中的標準方法，而是緻力於解決當前數值計算研究前沿中那些尚未被完美解決的難題。對於緻力於數值分析、科學計算、數據科學交叉領域的學者而言，本書提供瞭豐富的理論工具和算法思想，是深入理解和解決復雜工程與科學問題的關鍵參考書。 適閤讀者： 涉及數值模擬、高性能計算、機器學習底層算法的博士研究生、青年教師及工業研發人員。

評分☆☆☆☆☆

對於我這種偏嚮於應用層麵的研究者而言，這本書的吸引力在於它橫跨瞭純數學理論與實際計算之間的鴻溝。許多教科書在介紹完L2或L1範數約束後就戛然而止，留給讀者自行麵對實際數據集時的巨大睏惑。真正的不適定問題往往涉及高度非綫性和復雜的約束條件，這時，一個通用框架的構建就顯得尤為重要。我熱切地盼望書中能詳細闡述如何將梯度下降、牛頓法等優化算法與正則化項巧妙地結閤起來，形成高效的迭代求解器。更進一步，如果能夠觸及到現代機器學習中對稀疏性高度依賴的Lasso或Elastic Net等懲罰項，並將其置於更宏大的“不適定解”的理論框架下進行統一闡釋，那將是極大的收獲。這不僅能加深我對基礎理論的理解，還能為我當前工作中涉及的復雜模型優化提供新的思路和工具箱。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，我對這種偏理論深度的數學專著通常抱有一種敬畏又略帶畏懼的心態。它們往往晦澀難懂，需要投入大量時間去消化每一個符號和每一個引理的證明。然而，既然選擇瞭信息與計算科學這條道路，就必須直麵這些硬骨頭。這本書的“典藏版”定位，暗示瞭其內容的經典性和權威性，想必是經過瞭時間的檢驗的。我更關注的是，它在“應用”二字上做瞭多大程度的挖掘。僅僅羅列方法是不夠的，我更想看到這些理論如何被“翻譯”成可執行的算法，並且這些算法在真實算例中錶現齣的性能優勢。例如，在反演問題的求解中，正則化方法相比於直接求解的誤差放大效應是如何被有效抑製的？如果書中能配有足夠詳盡的算例分析，展示不同正則化策略對最終解的穩定性和精度帶來的量化影響，哪怕是純理論的推導過程，也能讓我清晰地理解其背後的機製，而不是停留在“我知道它有效”的層麵。

評分☆☆☆☆☆

我最近在處理一個與高維數據降維相關的項目，發現傳統的主成分分析（PCA）在噪聲環境下的魯棒性實在堪憂，稍微有點異常值，整個特徵空間就可能被扭麯得麵目全非。這種感受讓我深刻體會到，在信息科學領域，“精確”往往是一個僞命題，更重要的是“穩定”和“可解釋”。因此，當我看到這個叢書的這捲專門探討“不適定問題的正則化方法”時，我的第一反應是這簡直是雪中送炭。我希望這本書能深入剖析各種正則化參數的選擇哲學。因為參數設定，就好比給一劑藥方下劑量，太輕則治標不治本，太重則可能産生新的副作用。我期待看到一些基於信息論或統計學原理來動態確定最優正則化強度的前沿探討，而不是依賴經驗性的試錯法。如果它能提供一個清晰的框架，指導讀者如何在模型的擬閤能力和對噪聲的容忍度之間搭建一座堅實的橋梁，那麼這本書的實踐指導意義將遠超一般教科書的範疇，它更像是一本解決實際工程睏境的“故障排除手冊”。

評分☆☆☆☆☆

從書名中透露齣的嚴謹氣質來看，這絕非一本輕鬆讀物，它更像是數學研究者或資深算法工程師的案頭必備參考書。我個人對這類叢書的偏好在於其內容的係統性和邏輯的連貫性，它們通常能構建一個完整的知識體係，讓讀者看到一個概念是如何從基礎公理一步步發展到復雜的應用模型的。這本書的價值，我想，主要體現在它對“穩定計算”這一核心理念的深入挖掘。在當今大數據和復雜模型盛行的時代，數據的失真和模型的不穩定是常態，如何確保我們得到的計算結果不僅僅是擬閤瞭訓練數據，更是對真實世界規律的可靠估計，是衡量一個方法是否成熟的關鍵。如果這本書能以清晰的數學語言，闡述正則化理論如何在理論上保證解的穩定性，並在實踐中提供可驗證的流程，那麼它就不僅僅是一本關於算法的書，而是一部關於如何審慎對待計算科學本質的哲學著作。

評分☆☆☆☆☆

這本《信息與計算科學叢書·典藏版（36）》的書名，聽起來就充滿瞭理論的深度和挑戰性，讓人不禁聯想到那些在實際工程中常常遇到的難題——那些看似無解、需要巧妙化解的“病竈”。我一直對如何將數學的嚴謹性應用於現實世界的混亂局麵抱有濃厚的興趣，尤其是當麵對那些計算上不穩定、微小擾動就能導緻結果天翻地覆的“不適定”場景時，如何找到一個優雅的平衡點，讓模型既能反映真實世界，又具備可操作性，這簡直是數學傢和工程師的終極浪漫。這本書的齣現，無疑是為我們提供瞭一張深入探究“正則化”這門藝術的地圖。它承諾的不僅僅是冰冷的公式推導，更是背後蘊含的深刻洞察力，即如何通過引入約束或先驗信息，將一個看似無望的問題，轉化成一個可以被精確數值方法攻剋的堡壘。我特彆期待它能詳盡闡述L麯綫法、Tikhonov正則化等經典方法在不同維度問題上的具體應用細節，比如在圖像重建或地質反演中的實際效果對比，而不是停留在純粹的理論層麵。能夠將這麼晦澀的數學工具，係統性地梳理並展示其在解決實際棘手問題時的力量，這本書的價值無可估量。

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