信息与计算科学丛书·典藏版（36）：不适定问题的正则化方法及应用 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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刘继军 著

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• 不适定问题
• 正则化方法
• 计算科学
• 信息科学
• 数值分析
• 应用数学
• 科学计算
• 优化算法
• 典藏版
• 数学模型

出版社： 科学出版社有限责任公司

ISBN：9787030158338

版次：1

商品编码：11889970

包装：平装

丛书名： 信息与计算科学丛书

开本：16开

出版时间：2005-09-01

用纸：胶版纸

页数：204

字数：252000

正文语种：中文

内容简介

　　《信息与计算科学丛书·典藏版（36）：不适定问题的正则化方法及应用》以自封闭的形式系统介绍了线性不适定问题的正则化求解方法，以及在数学物理反问题研究中的一些应用。主要内容包括：不适定问题的基本概念和特点，研究不适定问题需要的基本数学工具和方法，求解不适定问题的标准的正则化方法及近年来的新发展，以及正则化方法在逆时热传导、数值微分、逆散射等领域中的应用。
　　《信息与计算科学丛书·典藏版（36）：不适定问题的正则化方法及应用》的内容包含了作者和其他学者近几年来的有关工作。
　　《信息与计算科学丛书·典藏版（36）：不适定问题的正则化方法及应用》可作为数学专业、介质成像专业高年级本科生、研究生教材或相关专业科研人员的参考书。

内页插图

目录

《信息与计算科学丛书》序
前言

第1章 适定问题和不适定问题
1．1 物理问题的描述方法
1．2 问题适定性
1．3 反问题和不适定问题
1．4 反问题和气候数值预报
1．5 不适定问题的例子及难点

第2章 预备理论
2．1 赋范空间若干结果
2．2 有界算子和紧算子
2．3 Riesz理论和Fredholm理论
2．4 线性积分算子
2．5 紧算子的谱理论

第3章 线性问题解的正则化方法
3．1 一般的正则化理论
3．2 允许的α=α（δ）的取法
3．3 q（α，μ）的取法
3．4 Tikhonov正则化方法
3．5 拟解和相容性原理
3．6 Landweber迭代正则化
3．7 条件稳定性和正则化参数选取
3．8 线性反问题正则化参数的迭代选取
3．9 求正则化参数的模型函数方法
3．10 两类正则化方法的比较

第4章 离散化的正则化方法
4．1 一般的投影方法
4．2 Galerkin方法
4．3 配置方法
4．4 投影方法的应用
4．4．1 Laplace方程边值问题的势函数解法
4．4．2 Galerkin方法解Symm方程
4．4．3 配置方法解Symm方程
4．4．4 解Symm方程的数值实验

第5章 正则化方法应用
5．1 逆时热传导问题
5．1．1 逆时热传导问题不适定性
5．1．2 逆时问题的正则化方法
5．1．3 二维逆时问题数值结果
5．1．4 一维逆时问题数值结果
5．2 数值微分问题
5．2．1 样条插值方法
5．2．2 光滑化方法
5．2．3 积分算子方法
5．3 声波逆散射问题的正则化求解
5．3．1 波场的散射问题
5．3．2 由远场近似数据求散射波近场正则化方法
5．3．3 数值试验
5．3．4 求散射场的近似模型函数方法
5．4 基本解的Runge逼近
5．4．1 Helmholtz方程基本解的Runge逼近
5．4．2 逼近的数值实现

参考文献
《信息与计算科学丛书》已出版书目

前言/序言

　　数学物理反问题是一个新兴的研究领域。有别于传统的数学物理方程的定解问题（通常称为正问题，它由给定的数理方程和相应的定解条件来求定解问题的解），反问题研究由解的部分已知信息来求定解问题中的某些未知量，如微分方程中的系数、定解问题的区域或者是某些定解条件，用系统论的语言来讲，正问题对应于给定系统在已知输入条件下求输出结果的问题，这些输出结果当然包含了系统的某些信息，而反问题则是由输出结果的部分信息来反求系统的某些结构特征，因此反问题在医学成像、无损探伤、气象预报等领域都有着广泛的应用，它对应于由介质外部可测量的间接信息来确定介质内部结构的问题。反问题的一个典型应用是医学诊断的CT成像，它根据X射线的投影来探测人体的内部结构，工程师Cormack用X射线沿不同角度照射人体，再由接收的穿透人体的射线信息来决定人体内器官的位置和形态，这就是人体的三维成像，该项技术现在已发展到了核磁共振成像（MRI）。
　　与正问题相比，数学物理反问题的发展历史相对较短，一直到20世纪60年代的中期，才成为一个真正的研究领域，引起数学家和应用科学家的广泛重视和深入研究，这种现象的原因来源于反问题大都具有不适定性的特点。该特点也是反问题研究的难点所在。一个问题如果其解存在并且连续依赖于输入数据，就称该问题是适定的（well-posed），否则称为不适定的（ill-posed）。自从著名数学家Hadamard在1923年引进“问题适定性”的概念并提出“只有适定的问题才是有物理意义的”这一断言以来，人们在很长时间内一直以为研究不适定的问题是没有实际意义的，至多是一种学术上的兴趣，相应的关于数学物理反问题的研究也很少，但是随着科学技术的发展，实际的应用领域渐渐提出了很多必须解决的不适定的问题、逐渐扭转了这种偏见，例如地质勘探部门在重力异常探矿中提出的地下波场的解析延拓问题，无线电工程上由有限频率区域上的频域信号确定时域信号的问题，雷达成像中由反射波信号确定散射体几何形状的问题，中长期数值天气预报的问题等，都是典型的不适定问题，基于实际应用问题的推动，以20世纪60年代中期苏联科学院院士吉洪诺夫（A.N.Tikhonov）提出的处理不适定问题的正则化方法（regularization method）为标志，不适定问题和反问题的研究进入了新的阶段，正则化方法的基本思想是利用具体问题的某些附加信息对不适定问题解的概念重新定义，进而引进镇定泛函来给出一个逼近原问题解的稳定的方法，数学物理反问题作为一个典型的不适定问题，在此基础上也得到了新的发展，正则化方法成为处理数学物理反问题的一个有力工具，为了求解各种类型的数学物理反问题，必须掌握微分方程解的定性理论、非线性分析和正则化方法的基本思想，从数值求解的角度而言，还必须掌握微（积）分方程数值解、逼近论、非线性优化、程序设计等数值方法和技术。因此可以说，数学物理反问题是横跨应用数学和计算数学两个学科的一个新的研究领域，无论是对数学学科本身的发展，还是对高等学校人才的培养，都是一门很重要的课程由于数学物理反问题的上述重要性，我国已故数学家冯康院士早在20世纪80年代就提出要开展反问题的解法研究，目前国内很多高校如北京大学、复旦大学、吉林大学、上海大学以及东南大学等也都从不同的角度、不同的层次开设了相关的课程，国家自然科学基金委员会也在2003年、2004年连续两年把数学物理反问题作为重点项目的选题之一，鼓励开展对该问题的深入的基础研究，但是对于这样一门比较重要的课程，由于发展历史较短，知识面覆盖范围较广，国内尚无相关的基础理论专著，尤其是适合研究生培养的教材。目前国内高校开设这门课程时，或是直接采用国外原版专著，或是结合具体问题写出专门的讲义。前者通常是作者在某个方向的非常深入的研究成果，后者也往往是侧重于一类具体问题的专门研究，它们都缺乏对数学物理反问题的系统的介绍和相关数学基础（如正则化理论、逼近论）的阐述，作为人才培养的教材是不合适的，难度较大。

信息与计算科学丛书·典藏版（35）：现代数值分析中的关键挑战与前沿进展 编著： [此处可根据丛书整体风格设定一个或多个资深学者的集合名称或虚拟作者] 出版社： [此处可设定一个具有学术声誉的出版社名称] 装帧： 精装/典藏版 页码/字数： 约 850 页 / 60 万字 --- 内容概述 《信息与计算科学丛书·典藏版（35）：现代数值分析中的关键挑战与前沿进展》汇集了当前信息科学、计算数学以及应用科学领域中最具挑战性、最活跃的研究方向。本书并非专注于单一的经典理论模型，而是着眼于计算范式的转变和复杂系统求解所带来的新瓶颈。全书深入探讨了在高维空间、大规模数据背景下，传统数值方法所面临的收敛性、稳定性和计算效率的根本性难题，并系统性地介绍了近年来涌现的、富有创新性的数学工具和算法框架。 本书结构严谨，理论与实践并重，旨在为高等院校的研究生、博士后研究人员、以及在工程和金融领域从事复杂模型数值模拟的专业人士提供一份详尽的参考手册和前沿指南。 核心章节详解 本书共分为六大部分，涵盖了从基础理论重构到尖端应用拓展的多个维度。 第一部分：高维问题的几何化与拓扑分析（约 180 页） 本部分聚焦于“维度灾难”在数值计算中的体现，并探讨如何利用非线性几何和拓扑学原理来简化和求解高维问题。 1. 流形学习与低秩近似的理论基础： 详细阐述了黎曼几何在数据空间中的应用，特别关注嵌入维度的理论界限和最优传输理论在度量高维距离中的地位。探讨了各种非线性降维技术（如 LLE, Isomap）的数值稳定性分析。 2. 代数拓扑方法在数据分析中的应用（TDA）： 深入介绍了持久同调（Persistent Homology）的计算方法，如何利用 Betti 数序列来刻画高维数据的内在结构和“洞”，并将其与优化问题的鞍点搜索相结合。 3. 张量网络与多线性代数： 针对张量分解（如 Tucker, CP 分解）在量子化学、大规模机器学习中的应用，本书提供了先进的迭代算法，特别是基于随机采样的张量收敛加速技术，并分析了其在非凸优化中的鲁棒性。 第二部分：非线性偏微分方程的现代离散化技术（约 220 页） 针对流体力学、材料科学中常见的非线性、高非线性演化方程，本书着重于超越标准有限元法的先进方法。 1. 有限元法的超收敛性与自适应网格： 讨论了如何通过构造特定的插值空间和后处理技术，实现高于标准阶数的局部误差估计，并介绍了基于残差的高效自适应网格加密策略（h-p 鲁棒性分析）。 2. 无网格方法（Meshless Methods）的深化： 详细分析了光滑粒子流体力学（SPH）和径向基函数（RBF）方法的局限性，重点研究了自然邻近单元方法（NNEM）在处理复杂自由界面问题时的稳定性和精度提升。 3. 谱方法与快速傅里叶变换（FFT）的加速： 针对守恒律方程，探讨了伪谱法和配置法在周期性边界条件下的超高精度，以及如何结合多重尺度分析（Multiscale Analysis）来处理多尺度现象。 第三部分：随机微分方程与不确定性量化（约 160 页） 本部分关注模型中含有随机性或参数不确定性时，如何可靠地进行数值求解和误差评估。 1. 随机微分方程（SDEs）的精确数值积分： 比较了 Milstein、Runge-Kutta 族等高阶格式的局限性，特别是对 L'evy 过程的适应性。重点介绍了基于马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）的隐式方法。 2. 路径积分与高维蒙特卡洛模拟： 深入分析了重要性采样（Importance Sampling）技术在稀疏事件模拟中的应用，并提供了如何构建更优的提议分布以显著降低方差的理论框架。 3. 概率加权有限元法（PWFEM）： 介绍了一种结合概率论与有限元法的混合方法，用于处理材料参数的随机分布，提供了解的概率区间估计而非单一确定性解。 第四部分：大规模线性系统的迭代求解器优化（约 150 页） 在“大”数据和“大”模型时代，精确求解 $Ax=b$ 仍然是计算瓶颈的核心。本部分专注于加速迭代收敛和提高预处理器的效率。 1. 非对称与特征值问题的预处理技术： 详细剖析了多重网格法（Multigrid）在非对称系统中的推广，如非对称代数多重网格（AA-MG）。针对特征值问题，介绍了 Lanczos 算法的改进版，特别是如何处理簇状特征值。 2. Krylov 子空间方法的理论极限与改进： 探讨了 GMRES、MINRES 等方法在面对病态矩阵时的性能衰减。引入了二重迭代（Two-Stage Iteration）策略，以及结合非线性预处理器的策略。 3. 并行化与分布式内存计算： 讨论了基于通信优化的高效并行求解器设计，包括如何高效划分大型稀疏矩阵、最小化处理器间的数据依赖性，并评估了现代 GPU 架构对稀疏线性代数操作的加速潜力。 第五部分：优化算法的鲁棒性与收敛性分析（约 100 页） 本部分关注在目标函数高度非凸、梯度信息不完整或存在大量局部极小值的情况下，如何保证优化算法的全局收敛性。 1. 准牛顿方法与拟牛顿方程的修正： 重点分析了 BFGS 和 DFP 方法在处理大型稀疏 Hessian 矩阵时的内存效率，并引入了基于随机梯度信息的矩阵修正方案。 2. 随机梯度下降（SGD）的收敛理论： 超越了凸优化框架，深入探究了 SGD 在深度学习网络等非凸、高维场景下的“噪声驱动”收敛机制，特别是动量（Momentum）和自适应学习率策略的理论保障。 3. 全局优化技术： 介绍了基于微分的全局搜索算法，如模拟退火（Simulated Annealing）的精确度量，以及确定性全局优化方法如分支定界法的尺度化应用。 学术价值与读者定位 本书的特色在于其前瞻性和对“计算挑战”的深刻洞察。它不满足于复述教科书中的标准方法，而是致力于解决当前数值计算研究前沿中那些尚未被完美解决的难题。对于致力于数值分析、科学计算、数据科学交叉领域的学者而言，本书提供了丰富的理论工具和算法思想，是深入理解和解决复杂工程与科学问题的关键参考书。 适合读者： 涉及数值模拟、高性能计算、机器学习底层算法的博士研究生、青年教师及工业研发人员。

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我最近在处理一个与高维数据降维相关的项目，发现传统的主成分分析（PCA）在噪声环境下的鲁棒性实在堪忧，稍微有点异常值，整个特征空间就可能被扭曲得面目全非。这种感受让我深刻体会到，在信息科学领域，“精确”往往是一个伪命题，更重要的是“稳定”和“可解释”。因此，当我看到这个丛书的这卷专门探讨“不适定问题的正则化方法”时，我的第一反应是这简直是雪中送炭。我希望这本书能深入剖析各种正则化参数的选择哲学。因为参数设定，就好比给一剂药方下剂量，太轻则治标不治本，太重则可能产生新的副作用。我期待看到一些基于信息论或统计学原理来动态确定最优正则化强度的前沿探讨，而不是依赖经验性的试错法。如果它能提供一个清晰的框架，指导读者如何在模型的拟合能力和对噪声的容忍度之间搭建一座坚实的桥梁，那么这本书的实践指导意义将远超一般教科书的范畴，它更像是一本解决实际工程困境的“故障排除手册”。

评分☆☆☆☆☆

从书名中透露出的严谨气质来看，这绝非一本轻松读物，它更像是数学研究者或资深算法工程师的案头必备参考书。我个人对这类丛书的偏好在于其内容的系统性和逻辑的连贯性，它们通常能构建一个完整的知识体系，让读者看到一个概念是如何从基础公理一步步发展到复杂的应用模型的。这本书的价值，我想，主要体现在它对“稳定计算”这一核心理念的深入挖掘。在当今大数据和复杂模型盛行的时代，数据的失真和模型的不稳定是常态，如何确保我们得到的计算结果不仅仅是拟合了训练数据，更是对真实世界规律的可靠估计，是衡量一个方法是否成熟的关键。如果这本书能以清晰的数学语言，阐述正则化理论如何在理论上保证解的稳定性，并在实践中提供可验证的流程，那么它就不仅仅是一本关于算法的书，而是一部关于如何审慎对待计算科学本质的哲学著作。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我对这种偏理论深度的数学专著通常抱有一种敬畏又略带畏惧的心态。它们往往晦涩难懂，需要投入大量时间去消化每一个符号和每一个引理的证明。然而，既然选择了信息与计算科学这条道路，就必须直面这些硬骨头。这本书的“典藏版”定位，暗示了其内容的经典性和权威性，想必是经过了时间的检验的。我更关注的是，它在“应用”二字上做了多大程度的挖掘。仅仅罗列方法是不够的，我更想看到这些理论如何被“翻译”成可执行的算法，并且这些算法在真实算例中表现出的性能优势。例如，在反演问题的求解中，正则化方法相比于直接求解的误差放大效应是如何被有效抑制的？如果书中能配有足够详尽的算例分析，展示不同正则化策略对最终解的稳定性和精度带来的量化影响，哪怕是纯理论的推导过程，也能让我清晰地理解其背后的机制，而不是停留在“我知道它有效”的层面。

评分☆☆☆☆☆

这本《信息与计算科学丛书·典藏版（36）》的书名，听起来就充满了理论的深度和挑战性，让人不禁联想到那些在实际工程中常常遇到的难题——那些看似无解、需要巧妙化解的“病灶”。我一直对如何将数学的严谨性应用于现实世界的混乱局面抱有浓厚的兴趣，尤其是当面对那些计算上不稳定、微小扰动就能导致结果天翻地覆的“不适定”场景时，如何找到一个优雅的平衡点，让模型既能反映真实世界，又具备可操作性，这简直是数学家和工程师的终极浪漫。这本书的出现，无疑是为我们提供了一张深入探究“正则化”这门艺术的地图。它承诺的不仅仅是冰冷的公式推导，更是背后蕴含的深刻洞察力，即如何通过引入约束或先验信息，将一个看似无望的问题，转化成一个可以被精确数值方法攻克的堡垒。我特别期待它能详尽阐述L曲线法、Tikhonov正则化等经典方法在不同维度问题上的具体应用细节，比如在图像重建或地质反演中的实际效果对比，而不是停留在纯粹的理论层面。能够将这么晦涩的数学工具，系统性地梳理并展示其在解决实际棘手问题时的力量，这本书的价值无可估量。

评分☆☆☆☆☆

对于我这种偏向于应用层面的研究者而言，这本书的吸引力在于它横跨了纯数学理论与实际计算之间的鸿沟。许多教科书在介绍完L2或L1范数约束后就戛然而止，留给读者自行面对实际数据集时的巨大困惑。真正的不适定问题往往涉及高度非线性和复杂的约束条件，这时，一个通用框架的构建就显得尤为重要。我热切地盼望书中能详细阐述如何将梯度下降、牛顿法等优化算法与正则化项巧妙地结合起来，形成高效的迭代求解器。更进一步，如果能够触及到现代机器学习中对稀疏性高度依赖的Lasso或Elastic Net等惩罚项，并将其置于更宏大的“不适定解”的理论框架下进行统一阐释，那将是极大的收获。这不仅能加深我对基础理论的理解，还能为我当前工作中涉及的复杂模型优化提供新的思路和工具箱。

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