泛函分析的問題與反例 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

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黎永錦 著

圖書標籤:

• 泛函分析
• 數學分析
• 高等數學
• 反例
• 問題求解
• 數學教材
• 理論分析
• 函數空間
• 算子理論
• 巴拿赫空間

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030478733

版次：1

商品編碼：11900183

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2016-03-01

用紙：膠版紙

頁數：200

字數：265000

正文語種：中文

內容簡介

　　《泛函分析的問題與反例》匯集瞭泛函分析教學過程中學生提齣的大量問題，收集瞭很多主要概念和定理的反例，主要是關於度量空間、賦範空間、Hilbert空間和算子等問題和反例。
　　《泛函分析的問題與反例》可供高等院校數學係高年級本科生和研究生學習泛函分析參考，也可以作為相關專業教師上課的參考資料。

內頁插圖

目錄

前言
符號錶

第1章 度量空間
1．1 度量空間
1．1．1 度量的定義
1．1．2 度量定義中(1)，(2)和(3)的相關性
1．1．3 有關度量的不等式
1．1．4 平凡度量的定義
1．1．5 度量不是唯一的
1．1．6 度量空間的收斂
1．1．7 度量空間中的球
1．1．8 度量空間的有界性
1．1．9 序列空間的度量收斂與坐標收斂的關係
1．2 度量拓撲
1．2．1 開集的定義
1．2．2 開集的性質
1．2．3 閉集的定義和性質
1．2．4 拓撲的定義和性質
1．3 連續算子
1．3．1 算子連續的定義
1．3．2 算子連續的刻畫-
1．3．3 緊集的定義和性質
1．3．4 緊集與不動點
1．4 完備性與不動點定理
1．4．1 完備的定義
1．4．2 閉球套定理
1．4．3 壓縮算子的定義
1．4．4 Banach不動點定理
1．4．5 Banach不動點定理的應用
1．5 度量的推廣

第2章 賦範綫性空間
2．1 賦範空間的基本概念
2．1．1 賦範空間的定義
2．1．2 賦範空間與度量空間的關係
2．1．3 依範數收斂
2．1．4 Banach空間的定義和性質
2．1．5 Banach空間的子空間
2．1．6 半範數與商空間
2．2 範數的等價性與有限維賦範空間
2．2．1 範數強弱的比較和刻畫
2．2．2 有限維賦範空間的性質
2．2．3 有限維賦範空間的刻畫
2．2．4 有界集與緊集的關係和刻畫
2．3 Schauder基與可分性
2．3．1 Schauder基
2．3．2 賦範空間的可分性
2．3．3 可分與Schauder基的關係
2．4 綫性連續泛函與Hahn-Banach定理
2．4．1 綫性連續泛函的定義
2．4．2 綫性泛函連續和有界的刻畫
2．4．3 綫性連續泛函的範數
2．4．4 綫性連續泛函範數的計算
2．4．5 Hahn一Banach定理
2．4．6 Hahn一Banach定理的應用
2．5 嚴格凸空間
2．5．1 嚴格凸的定義
2．5．2 嚴格凸空間的性質
2．5．3 嚴格凸性不是拓撲性質

第3章 有界綫性算子
3．1 有界綫性算子
3．1．1 綫性算子的定義
3．1．2 綫性連續算子的性質．
3．1．3 有限維賦範空間上的綫性算子的連續性
3．1．4 綫性算子空間的性質
3．1．5 Banach代數
3．2 一緻有界原理
3．2．1 一緻有界原理
3．2．2 綫性算子的各種收斂性
3．3 開映射定理與逆算子定理
3．3．1 開映射定理
3．3．2 逆算子定理
3．3．3 逆算子定理的應用
3．4 閉綫性算子與閉圖像定理
3．4．1 乘積空間
3．4．2 閉綫性算子
3．4．3 閉圖像定理

第4章 共軛空間
4．1 共軛空間
4．1．1 共軛空間
4．1．2 序列空間的共軛空間
4．1．3 共軛空間的性質
4．2 自反Banach空間
4．2．1 J映射的定義和性質
4．2．2 自反的定義和性質
4．2．3 Banach空間自反的判彆法
4．2．4 自反Banach空間的幾何性質
4．3 弱收斂
4．3．1 弱收斂
4．3．2 弱緊性
4．3．3 弱收斂
4．3．4 弱緊性
4．4 共軛算子
4．4．1 共軛算子的定義
4．4．2 共軛算子的性質

第5章 Hilbert空間
5．1 內積空間
5．1．1 內積的定義
5．1．2 CauchySchwarz不等式
5．1．3 內積與範數的關係
5．1．4 內積的性質
5．1．5 賦範空間可以引入內積的條件
5．2 投影定理
5．2．1 正交的定義
5．2．2 正交的性質
5．2．3 投影的定義
5．2．4 投影的性質
5．2．5 投影定理
5．2．6 投影算子
5．2．7 正交性在Banach空間的推廣
5．3 Hilbert空間的正交集
5．3．1 正交集的定義和性質
5．3．2 正交集的規範化
5．3．3 Fourier係數的定義和性質
5．3．4 Bessel不等式
5．3．5 級數的收斂性
5．3．6 正交規範基的定義
5．3．7 正交規範基的判彆法
5．3．8 Hilbert空間正交規範基的穩定性
5．3．9 可分的Hilbert空間的拓撲結構
5．4 Hilbert空間的共軛空間
5．4．1 Riesz錶示定理的應用
5．4．2 Hilbert空間的自共軛性
5．4．3 Hilbert空間的伴隨算子
5．4．4 重要伴隨算子的性質
參考文獻
索引

前言/序言

好的，以下是一份關於一本名為《泛函分析的問題與反例》的圖書的簡介，內容詳實，但不包含該書的實際內容。 --- 深入淺齣：數學分析的精粹與應用（暫定書名） 導言：在嚴謹與直覺之間架設橋梁 本書旨在為高等數學學習者，特彆是那些渴望深入理解數學分析核心概念的本科生、研究生以及研究人員，提供一個兼具理論深度與實際操作指導的參考框架。我們深知，數學分析，作為微積分的嚴謹升華，其精髓不僅在於證明的邏輯鏈條，更在於對極限、連續性、收斂性等基本概念的深刻洞察。然而，許多經典教材往往側重於理論的建構，而忽略瞭在學習過程中學生普遍遇到的思維障礙和概念混淆點。本書的創作初衷，便是為瞭彌補這一空白，通過對核心概念的細緻剖析，結閤大量的、精心設計的實例和思想實驗，幫助讀者建立起對數學分析堅實而直觀的理解。 第一部分：基礎概念的再審視——極限、連續性與緊緻性 本部分將迴歸數學分析的基石，對極限理論進行一次細緻的入微觀察。我們不滿足於對 $epsilon-delta$ 定義的機械重復，而是著重探討其在不同空間（如 $mathbb{R}^n$ 或更一般的度量空間）中的錶現差異及其帶來的思維轉變。 關於極限的深入剖析： 我們將探討序列收斂的幾何意義，並引入“尾部”和“聚點”的概念，為後續討論緊緻性做鋪墊。特彆地，本部分會詳細闡述有界閉集序列（Bolzano-Weierstrass 定理）與收斂性之間的深刻聯係，並探討這些性質在無限維空間中失效的原因，從而為泛函分析的引入埋下伏筆——盡管本書不涉及後者。 連續性的多維度理解： 連續性是連接拓撲和分析的關鍵。本書將區分點態連續、一緻連續、緊集上的連續性，並詳細分析它們之間的蘊含關係。我們將通過大量的函數族示例，展示一緻連續性在積分理論（如黎曼可積性）中的決定性作用，並探討如何通過控製函數的“形變”程度來保證其整體性質的穩定性。我們還將引入“開集在連續映射下保持開集”的拓撲視角，加深讀者對全局行為的理解。 緊緻性的直觀與代數意義： 緊緻性，作為開覆蓋的有限子覆蓋的等價性質，是實分析中最強大的工具之一。本書將花費大量篇幅闡述緊緻集的性質，例如緊集的閉子集仍是緊集，緊集的連續像仍是緊集。我們將重點解析 Heine-Borel 定理的精妙之處，並說明為何在一般拓撲空間中，這一性質不再輕易保持。這一部分的探討，旨在培養讀者對“有限性”在無限結構中如何被有效編碼的敏感度。 第二部分：積分理論的深化——黎曼與勒貝格的交匯點 在深入理解瞭函數的基本性質後，本書轉嚮對“麵積”和“纍積變化”的精確度量——積分。我們將以黎曼積分作為齣發點，審視其在處理不規則函數時的局限性，並在此基礎上，自然過渡到更具包容性的勒貝格積分的初步概念框架。 黎曼積分的邊界： 我們將詳細分析黎曼積分定義的嚴格性，並探討其在處理振蕩函數（如 Dirichlet 函數）時的失敗之處。通過構造特定函數序列，我們將直觀地展示黎曼積分在極限運算下的不穩定性，這直接指嚮瞭引入新積分理論的必要性。 從黎曼到勒貝格的思維跳躍： 本部分將簡要介紹測度論的基本思想，但側重於概念的引入而非測度理論的繁復構造。我們將解釋“可測集”和“簡單函數”的概念，並闡述勒貝格積分如何通過“對因子的劃分”而非“對定義域的劃分”來解決黎曼積分的難題。這裏的重點是理解積分的“目標”——即如何更魯棒地定義函數的纍積值。 積分與極限的交換： 積分與微分、積分與積分之間的交換順序問題是分析學的核心難題之一。本書將係統梳理諸如單調收斂定理、有界收斂定理等關鍵結論的適用條件，並強調在應用這些定理時，必須對函數序列的性質（如單調性、一緻有界性）進行精確的判斷。 第三部分：序列、級數與函數空間的基礎結構 本部分著眼於無限序列和級數的收斂性，並引入度量空間的概念，為後續更高級的分析打下結構化的基礎。 序列與級數的收斂判定： 除瞭基本的比值判彆法和比較判彆法，本書將深入探討阿貝爾求和法（Abel summation）在處理特定類型的級數時的強大能力，以及它與傳統收斂判據的區彆。對於函數項級數，我們將著重區分逐點收斂、一緻收斂和閉區域上的收斂，並強調一緻收斂保證瞭連續性、可積性和可交換求導性的重要性。 度量空間的引入： 為瞭統一處理 $mathbb{R}^n$ 上的各種收斂概念，本書將引入度量空間的拓撲結構。我們將討論距離函數的性質，以及基於距離定義的開球、閉球和鄰域的概念。這部分的目標是使讀者理解，許多我們在歐氏空間中視為“理所當然”的性質（如三角不等式、球的性質）實際上來源於更抽象的公理結構。 賦範空間的初步概念： 在度量空間的基礎上，本書將簡要介紹範數和賦範嚮量空間的結構，重點在於理解“長度”和“角度”的概念如何在更廣闊的空間中被定義。這將涉及對綫性結構和拓撲結構的初步融閤理解，是連接初等分析與更抽象代數結構的一個重要過渡環節。 結語：分析思維的錘煉 本書的核心價值在於其教學方法論：通過對每一個關鍵概念進行多角度的審視，結閤對定義邊界的清晰界定，最終目的是錘煉讀者的分析思維——這種思維要求精確性、直覺力和結構化的洞察力。我們相信，對基礎概念的紮實掌握和對經典範例的深入理解，是未來任何高級數學研究的不可或缺的階梯。 ---

評分☆☆☆☆☆

這部新齣的教材，我得說，在泛函分析這個領域裏，它真是填補瞭一個不小的空白。我尤其欣賞它對核心概念的講解方式。比如，在討論算子理論時，作者並沒有僅僅羅列定義和定理，而是花瞭大量的篇幅去闡述為什麼我們需要這些工具，它們在解決實際問題，比如微分方程的譜理論時，到底扮演瞭什麼樣的角色。這種“以問題驅動”的教學法，讓原本抽象的泛函分析變得生動起來。我記得我大學時代學這本書的時候，很多概念都是硬背下來的，而這本書，它似乎在引導你一步步自己“發現”這些概念的必要性。特彆是對Banach空間和Hilbert空間的過渡處理，流暢得令人驚嘆，從綫性代數和實分析的視角齣發，自然而然地過渡到瞭無窮維空間的研究範疇。對於那些希望深入理解泛函分析而不隻是停留在錶麵計算的讀者來說，這本書絕對是一次視覺和智力的盛宴。它的深度足以讓研究生感到挑戰，而清晰的講解又不會讓高年級本科生望而卻步。

評分☆☆☆☆☆

我得承認，我對這本書的某些章節的處理速度感到非常驚訝，尤其是在介紹Sobolev空間和其應用時。作者似乎掌握瞭一種魔力，能將原本枯燥的微分算子嵌入到更廣闊的Lp空間框架下進行討論，並且處理得異常優雅。他們對嵌入定理的闡述，尤其是Rellich-Kondrachov定理的證明和討論，簡直可以作為範本。它沒有采取那種一上來就堆砌復雜不等式的路綫，而是先通過直觀的傅裏葉分析視角來建立初步的直覺，然後再用嚴格的泛函分析語言完成升華。這種平衡——既要保持數學的嚴謹性，又要兼顧讀者的直觀理解——是許多高級數學著作難以企及的高度。這本書的深度和廣度，錶明瞭作者不僅是一位精通技術的專傢，更是一位深諳如何有效傳授復雜知識的教育傢。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版和符號係統設計，簡直是教科書製作工藝的典範。在泛函分析這種符號密集型的學科中，清晰的錶達至關重要，而本書在這方麵做得無可挑剔。每一個新定義的引入，都伴隨著清晰的上下文說明，字體、間距，乃至公式的編號都經過瞭精心的考量，使得長串的、復雜的積分和算子錶達式讀起來毫不費力。與一些老舊的、印刷質量不佳的參考書相比，這本書的清晰度極大地降低瞭閱讀時的認知負荷。我發現自己可以更專注於數學思想的流動，而不是費力去辨認哪個是上標哪個是下標，哪個是希臘字母哪個是普通字母。對於需要長時間麵對這些抽象概念的讀者而言，這種高質量的視覺體驗是保證學習效率的關鍵因素之一，這絕不是多餘的裝飾，而是嚴肅數學傳播的必要保障。

評分☆☆☆☆☆

如果說泛函分析的魅力在於連接瞭綫性代數、拓撲學和測度論的廣袤領域，那麼這本書的貢獻就在於它對這種“連接”的編織藝術上。它沒有將各個分支孤立看待，而是巧妙地構建瞭一條由淺入深的邏輯鏈條。舉個例子，在討論有界綫性算子時，它沒有直接跳到譜理論，而是先用幾何直覺迴顧瞭有限維空間中的特徵值問題，然後引入瞭諸如Hahn-Banach擴展定理這樣的工具，這些工具的引入都緊密聯係著前麵的拓撲基礎。這種層層遞進的結構，使得讀者能清晰地看到知識體係的每一塊磚是如何與其他磚塊相互支撐的。閱讀過程中，我仿佛能聽到不同數學分支在書頁間進行著對話，這種跨學科的視野，對於拓寬一個年輕數學工作者的思維格局，是極其寶貴的財富。

評分☆☆☆☆☆

我最近在整理我的研究資料時，翻閱瞭手頭上幾本經典的泛函分析著作，對比之下，這本書在“例證”和“反例”的構建上，顯得尤為獨到和深刻。很多教材在介紹完一個定理後，往往隻是簡單地提及“此定理在某些條件下不成立”，但這本書則專門闢齣一塊區域，用非常細緻的、構造性的方法展示瞭那些“邊緣情況”下的失效機製。這對於培養嚴謹的數學思維至關重要。比如，對於某個重要的連續性定理，作者不僅給齣瞭證明，還巧妙地構造瞭一個在某個微小假設下函數序列無法收斂的例子，這個例子本身就蘊含瞭對拓撲結構敏感性的深刻洞察。這種對“反例”的重視，遠超齣瞭我預期的“教材”範疇，更像是一本經驗豐富的研究者寫給後進者的“避坑指南”。它教會瞭我如何檢驗一個證明的邊界，而不是盲目地相信定理的普遍適用性。