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馮琦 著

圖書標籤:

• 數理邏輯
• 邏輯學
• 推理學
• 哲學
• 數學基礎
• 形式化方法
• 命題邏輯
• 謂詞邏輯
• 集閤論
• 模型論

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030545794

版次：1

商品編碼：12202743

包裝：平裝

叢書名： 現代數學基礎叢書172

開本：16開

齣版時間：2017-10-01

用紙：膠版紙

頁數：536

字數：656000

正文語種：中文

內容簡介

　　《數理邏輯導引》是作者在新加坡國立大學、北京大學和中國科學院大學為本科高年級學生開設的數理邏輯選修課和在新加坡國立大學、中國科學院數學與係統科學研究院為研究生開設的專業課程所寫講義基礎上整理齣來的結果。《數理邏輯導引》主要由一階邏輯的核心內容和有關數的邏輯探索和分析兩大部分組成，其中包括完備性、緊緻性、同質縮小、型省略等基本定理；有關數的經典理論的完全性和可定義性分析；哥德爾不完全性定理、丘奇不可判定性定理、塔爾斯基自然數標準模型真相不可定義性定理以及巴黎-哈靈頓不完全性定理。

目錄

目錄
《現代數學基礎叢書》序
序言
第0章 引言 1
第1章 命題邏輯 10
1.1 基本問題 10
1.2 命題錶達式 12
1.3 邏輯賦值與可滿足性 14
1.4 布爾函數可錶示性 16
1.5 可證明性與一緻性 19
1.6 形式證明的幾組例子 22
1.7 完備性 28
1.8 第一完備性證明 30
1.9 命題邏輯緊緻性 34
1.10 命題範式 35
1.11 命題邏輯與布爾代數 38
1.12 練習 40
第2章 一階語言和一階結構 43
2.1 一組經典例子 43
2.2 一階語言 44
2.2.1 符號 44
2.2.2 項 45
2.2.3 錶達式 47
2.2.4 自由變元和受囿變元 50
2.2.5 替換與可替換性 51
2.3 一階結構 52
2.3.1 項賦值 53
2.3.2 滿足關係 54
2.3.3 局部確定性定理 55
2.3.4 替換定理 59
2.3.5 縮寫錶達式 68
2.4 幾個一階語言和結構的例子 69
2.5 數與數的集閤 79
2.5.1 自然數 81
2.5.2 整數 84
2.5.3 有理數 85
2.5.4 實數 86
2.5.5 復數 91
2.6 練習 91
第3章 一階結構之同構、同樣與同質 93
3.1 預備知識：可數與不可數 93
3.2 一階結構之同構與同樣 95
3.2.1 有理數軸 95
3.2.2 同構 100
3.2.3 同樣 103
3.3 可定義性 104
3.3.1 可定義性 104
3.3.2 不變性 107
3.3.3 實數軸區間定理 108
3.4 同質子結構 110
3.4.1 子結構、擴充結構與裁減結構 110
3.4.2 結構元態與全息圖 112
3.4.3 同質子結構 112
3.4.4 同質與同樣 113
3.4.5 塔爾斯基判定準則 114
3.4.6 實數軸同質子軸 116
3.4.7 同質縮小定理 117
3.4.8 稠密綫性序 120
3.4.9 嵌入與同質嵌入 120
3.5 練習 123
第4章 邏輯推理與邏輯結論 128
4.1 邏輯推理 128
4.1.1 邏輯公理 128
4.1.2 推理 129
4.2 推理細緻分析定理 130
4.2.1 演繹定理 130
4.2.2 全體化定理 133
4.2.3 常元省略定理 133
4.2.4 等式定理 136
4.3 邏輯結論 138
4.3.1 可滿足性 138
4.3.2 真實性與模型 138
4.3.3 邏輯結論 140
4.3.4 基本問題 141
4.3.5 範例 141
4.4 一階邏輯係統之完備性 149
4.4.1 可靠性定理 149
4.4.2 哥德爾完備性定理 152
4.4.3 極大一緻性 152
4.4.4 自顯存在特性 153
4.4.5 可滿足性定理 155
4.4.6 擴展定理 164
4.4.7 節省常元方法 166
4.5 LA-哥德爾完備性定理 168
4.5.1 謂詞符省略引理 169
4.5.2 函數符省略引理 169
4.5.3 無關符號忽略定理 170
4.5.4 前束範式 171
4.6 練習 176
第5章 同質放大模型 178
5.1 緊緻性定理 178
5.1.1 關於有限之概念 178
5.1.2 關於秩序之概念 182
5.2 同質放大定理 182
5.3 第二緊緻性定理 184
5.4 超積和超冪 186
5.4.1 超濾子存在定理 186
5.4.2 超積與超冪 187
5.4.3 超積基本定理 189
5.4.4 超積構造六例 191
5.5 同質放大鏈 193
5.6 練習 199
第6章 完全性與模型完全性 202
6.1 完全性 202
6.1.1 等勢同構 205
6.1.2 有理數區間代數理論 206
6.1.3 可數廣集模型 209
6.2 量詞消去 210
6.2.1 完全性充分條件 213
6.2.2 Todl適閤量詞消去 214
6.3 子結構完全性 222
6.3.1 Todl具備子結構完全性 226
6.3.2 TdBA具備子結構完全性 227
6.4 模型完全性 228
6.4.1 量詞簡化 231
6.4.2 模型完全性與*2-理論 236
6.5 練習 237
第7章 可數模型 240
7.1 類型排斥定理 240
7.1.1 類型 240
7.1.2 接納與排斥 242
7.1.3 例子 246
7.1.4 根本型 248
7.1.5 局部排斥型 249
7.1.6 型排斥定理 251
7.2 可數等勢同構類型特徵 256
7.2.1 可數等勢同構特徵定理 256
7.2.2 可數模型的個數與Vaught猜想 261
7.3 類型空間 261
7.3.1 穩定性 263
7.3.2 型與超濾子 265
7.4 飽和模型 268
7.4.1 有理數軸飽和性 268
7.4.2 飽和結構 270
7.4.3 可數飽和模型 271
7.4.4 w1-飽和結構 277
7.5 基本模型 279
7.6 極度自同構模型 287
7.6.1 非剛性與無差彆元集 287
7.6.2 自然數集閤劃分定理 289
7.6.3 無窮無差彆元子集模型定理 293
7.6.4 內置斯科倫函數與斯科倫閉包 294
7.7 練習 298
第8章 代數封閉域理論 301
8.1 代數封閉域同構分類 301
8.2 代數封閉域適閤消去量詞 302
8.3 ACF子結構完全性 307
8.4 代數封閉域飽和特性 308
8.5 復數域與特徵為素數的代數封閉域 310
8.6 練習 313
第9章 實封閉域理論 315
9.1 實數域公理化 315
9.2 實封閉域理論與有序實封閉域理論 320
9.3 有序實封閉域理論適閤消去量詞 323
9.4 實封閉域模型完全性 325
9.5 半代數子集 327
9.6 練習 334
第10章 有理數加法算術理論 336
10.1 有理數加法群理論 336
10.1.1 公理刻畫Tdag 336
10.1.2 Tdag-完全性 337
10.1.3 Tdag強極小性 342
10.1.4 T1dag-理論 342
10.1.5 序可定義性問題 343
10.2 有理數有序加法群理論 345
10.2.1 公理刻畫Todag 345
10.2.2 Todag-完全性 347
10.2.3 Todag-序極小性 349
10.3 練習 350
第11章 整數加法算術理論 352
11.1 多種整數加法算術理論 352
11.1.1 六個結構 352
11.1.2 三種公理化 353
11.2 強整數加法群理論 356
11.2.1 特徵0模數同餘加法群理論 356
11.2.2 整數序不可定義性 361
11.3 整數有序強加法群理論 362
11.3.1 有序模數同餘加法群理論 362
11.4 普瑞斯柏格算術理論 369
11.4.1 初等整數有序加法理論TI 369
11.4.2 非標準模型Z0 370
11.4.3 普瑞斯柏格算術理論Tpr 371
11.4.4 Tpr之保守擴充 372
11.5 練習 378
第12章 自然數序理論與有序加法理論 381
12.1 自然數序理論 381
12.1.1 自然數序公理化 381
12.1.2 半整齊模型 384
12.1.3 自然數序之飽和模型 390
12.1.4 自然數序理論完全性 395
12.2 自然數有序加法理論 399
12.2.1 有序強加法幺半群理論 399
12.2.2 有序模數同餘加法幺半群理論 400
12.2.3 保守擴充Toasg 411
12.3 練習 411
第13章 自然數算術理論 415
13.1 初等數論 416
13.1.1 初等數論之不完全性 416
13.1.2 TN與自然數*1真相 419
13.1.3 *1真相定理之形式證明 424
13.2 哥德爾第一不完全性定理 430
13.2.1 序列數 432
13.2.2 符號數與錶示數 435
13.2.3 基本邏輯概念錶示 437
13.2.4 邏輯公理謂詞 439
13.2.5 可計算性與遞歸函數 443
13.2.6 有效公理化與可判定性 449
13.2.7 可錶示性 451
13.2.8 哥德爾不動點引理 456
13.2.9 哥德爾第一不完全性定理 457
13.2.10 不可判定性與真相不可定義性 459
13.3 哥德爾第二不完全性定理 460
13.3.1 依定義擴充 461
13.3.2 皮阿諾算術理論遞歸擴充 468
13.3.3 TPA遞歸擴充之*1-完全性 477
13.3.4 PAf知道TPA之*1完全性 480
13.3.5 一個不可被TPA所證明的*1真語句 483
13.3.6 形式化PAf之證明 485
13.4 巴黎-哈靈頓劃分原理之獨立性 488
13.4.1 自然數壓縮寫像劃分原理 488
13.4.2 拉姆齊有限劃分定理 492
13.4.3 皮阿諾算術模型中無差彆元子集 493
13.4.4 巴黎-哈靈頓劃分原理獨立於皮阿諾算術理論 497
13.5 練習 499
索引 502
《現代數學基礎叢書》已齣版書目 511

《符號思維的基石：現代邏輯學的探索與應用》 圖書簡介 這是一部深入淺齣、係統全麵地剖析現代邏輯學思想、方法與應用的著作。本書旨在帶領讀者跨越傳統哲學思辨的邊界，進入一個由精確符號和嚴格推理構築的思維殿堂。它不聚焦於某個單一的邏輯分支，而是力求構建一個宏大而連貫的知識圖譜，展現邏輯學作為一門獨立學科如何在哲學、數學和計算機科學的交匯點上，為人類的理性探究提供最堅實的工具。 全書內容涵蓋瞭邏輯學的曆史脈絡、核心概念、基本演算體係及其在當代科學研究中的關鍵作用。我們摒棄瞭晦澀難懂的術語堆砌，轉而采用清晰的闡釋和豐富的實例，使初學者能夠平穩過渡，而有一定基礎的讀者也能從中獲得對邏輯體係深層次的理解。 第一部分：邏輯學的源流與哲學基礎 本部分追溯瞭邏輯思維的萌芽，從亞裏士多德的三段論齣發，展示瞭古典邏輯的精髓及其局限性。隨後，我們將重點探討十九世紀末至二十世紀初，邏輯學如何經曆一場深刻的“數學化”革命。 古典邏輯的輝煌與睏境： 詳細解析瞭主謂邏輯的結構、直言命題的對當關係，以及推理規則（如三段論的有效性檢驗）。同時，審視瞭傳統邏輯在處理復雜關係和量化問題時的內在矛盾，為引入形式化方法埋下伏筆。 弗雷格的飛躍： 深入介紹戈特洛布·弗雷格的“概念文字”及其在奠定現代邏輯基石中的關鍵作用。我們著重分析他如何通過引入一階語言的量詞和函數符號，成功地將數學建立在純粹的邏輯基礎之上，從而開創瞭數理邏輯的先河。 邏輯主義的興衰： 探討瞭羅素、懷特海等人試圖將所有數學歸約為邏輯的“邏輯主義”計劃。本書將詳述羅素悖論的發現及其對該計劃的緻命打擊，以及由此催生的類型論和公理化集閤論的初步構想。這一部分強調瞭邏輯學在檢驗數學基礎穩固性方麵的核心地位。 第二部分：經典邏輯的構建與演算 本部分是全書的骨乾，詳細闡述瞭現代邏輯學的核心工具——命題邏輯和一階謂詞邏輯的構建過程。我們將遵循從直觀認識到形式係統建構的路徑。 命題邏輯（零階邏輯）： 徹底解析命題聯結詞（與、或、非、蘊含、等值）的真值函數定義。重點介紹如何使用真值錶係統地檢驗命題公式的重言式、矛盾式和可滿足性。更進一步，本書將深入探討自然演繹法和公理化係統在命題邏輯中的應用，演示如何以最少的公理和推理規則推導齣復雜的邏輯真理。 謂詞邏輯（一階邏輯）： 這是現代邏輯學真正強大的體現。我們詳細區分瞭個體、謂詞、函數、常量以及最重要的量詞（全稱量詞 $forall$ 和存在量詞 $exists$）。本書通過大量實例，教授讀者如何精確地將自然語言中的復雜陳述翻譯成一階邏輯公式，反之亦然。 推理的可靠性與完備性： 這是一個深刻的理論議題。我們將解釋“可靠性”（Soundness）——即證明係統內導齣的所有結論都是真的，以及“完備性”（Completeness）——即所有邏輯真理都可以被係統證明。我們將簡要介紹哥德爾關於一階邏輯完備性的傑齣成果，這是邏輯學理論的裏程碑。 第三部分：邏輯學的擴展與邊界探索 認識瞭經典邏輯的強大後，我們開始審視其局限，並探索為適應更復雜推理需求而發展起來的非經典邏輯分支。 模態邏輯： 探討如何擴展經典邏輯以錶達“必然性”和“可能性”等模態概念。我們將介紹模態邏輯的基本框架（如Kripke語義），並將其應用於知識論（認識模態邏輯）和時間推理（時態邏輯）的初步分析。 非單調推理與概率邏輯： 麵對現實世界中經常齣現的“默認假設”和信息不完備情況，單調邏輯無法有效處理。本書將介紹非單調邏輯的基本思想，即在獲得新信息後，先前得齣的結論可能被撤銷的推理模式。此外，還將涉及如何將概率論的框架融入邏輯推理，以處理不確定性。 第四部分：邏輯學在計算科學中的應用 邏輯學不僅僅是哲學的工具，它更是現代計算機科學的“匯編語言”。本部分將聚焦於邏輯推理如何成為信息技術的核心驅動力。 布爾代數與數字電路： 闡釋命題邏輯如何直接對應於布爾代數，進而成為設計和分析數字邏輯門電路（AND, OR, NOT）的理論基礎。這是理解計算機底層運作的關鍵。 邏輯編程與知識錶示： 詳細介紹Prolog等邏輯編程語言的工作原理，揭示它們如何利用閤取範式（CNF）和分辨率原理進行自動推理和問題求解。邏輯公式如何被用作精確的知識庫，並通過推理引擎進行查詢和驗證。 可計算性理論的邏輯根源： 簡要迴顧圖靈機和$lambda$演算等概念，強調這些理論是如何建立在對“有效計算”進行形式化定義的需求之上的。邏輯的完備性與可計算性理論中的停機問題構成瞭深刻的對照，揭示瞭人類理性能力和機器能力的邊界。 結語 《符號思維的基石》旨在培養讀者一種嚴謹的、符號化的思維習慣。邏輯學不是一套僵死的規則，而是一種強大的思維體操，它能訓練我們清晰地界定概念、準確地錶達思想、並無可辯駁地推導結論。掌握這些工具，讀者將能更有效地批判性地評估信息，並在麵對復雜問題時構建齣堅固的論證結構。本書力求成為理解現代科學、技術與哲學交叉地帶的一把關鍵鑰匙。

評分☆☆☆☆☆

當我翻閱《數理邏輯導引》這本書時，我首先被其冷靜而客觀的寫作風格所吸引。作者並沒有試圖用華麗的辭藻去包裝枯燥的概念，而是用最直接、最精確的語言，將數理邏輯的精髓一點一滴地展現齣來。書中關於“模態邏輯”和“非經典邏輯”的介紹，讓我看到瞭邏輯學遠不止於簡單的“是”與“否”。這些更高級的邏輯係統，能夠處理諸如“必然”、“可能”、“時間”、“義務”等更復雜的語境，這對於理解哲學、語言學甚至人工智能的某些前沿領域，都有著不可忽視的價值。我嘗試去理解其中關於“必然性算子”和“可能性算子”的定義，以及它們在推理中的應用。這個過程，就像是在探索一個全新的思維維度。作者在書中並沒有止步於介紹這些概念，而是通過一些巧妙的例子，展示瞭它們在解決實際問題時的潛力。這本書，無疑拓寬瞭我對邏輯學邊界的認知，也讓我對理論研究的深度和廣度有瞭更深的敬畏。

評分☆☆☆☆☆

對於我這樣一位業餘的計算機科學愛好者，《數理邏輯導引》提供瞭一個極其寶貴的視角。在信息時代，算法、數據結構、乃至人工智能，其底層邏輯都離不開數學和邏輯的基礎。這本書將這些抽象的理論，以一種非常係統和規範的方式呈現在我麵前。我尤其對書中關於“模型論”和“證明論”的部分留下瞭深刻印象。理解一個邏輯係統是否能夠準確地描述現實世界（模型論），以及如何在這個係統內進行有效的推理（證明論），這對於理解計算機科學中很多問題的本質至關重要。書中通過一些生動的例子，比如如何用邏輯語句來描述一個簡單的數據庫查詢，或者如何分析一個程序的正確性，都讓我看到瞭理論與實踐之間緊密的聯係。雖然有些部分對我來說 still a bit challenging，但我相信，通過反復閱讀和思考，我能從中學到更多關於如何構建嚴謹、可靠的計算係統的知識。這本書，為我打開瞭一扇通往更深層次計算機科學理解的大門。

評分☆☆☆☆☆

《數理邏輯導引》這本書，可以說是讓我對“嚴謹”二字有瞭全新的認識。作者在書中對每一個概念的定義，都力求做到滴水不漏，對每一個推理步驟的展開，都遵循著無可挑剔的邏輯鏈條。我特彆喜歡書中關於“集閤論”和“類型論”與數理邏輯的結閤部分。理解這些基礎數學概念如何被邏輯係統所形式化，以及邏輯係統如何反過來為數學提供堅實的基礎，這是一種非常奇妙的體驗。書中關於“哥德爾不完備定理”的闡述，雖然抽象，但卻揭示瞭任何足夠強大的形式係統中存在的固有局限性，這給我留下瞭深刻的哲學思考。作者在講解這些深刻的定理時，並沒有迴避其復雜性，而是努力以一種易於理解的方式呈現。讀這本書，感覺就像是在攀登一座知識的高峰，每一步都充滿挑戰，但登頂後所見的風景，卻是無比壯麗。它讓我明白，真正的智慧，往往隱藏在最嚴謹的思考之中。

評分☆☆☆☆☆

《數理邏輯導引》這本書，說實話，初看起來可能會讓一些習慣瞭輕鬆閱讀的書友望而卻步。它不是那種能讓你在咖啡館裏輕鬆翻閱的讀物，它需要你沉下心來，仔細地咀嚼每一個字，甚至反復推敲每一個符號所代錶的含義。我嘗試著去理解書中的一些形式證明，比如如何通過一係列公理和推理規則推導齣某個定理。這個過程對我而言，就像是在學習一門全新的語言，充滿瞭挑戰，但也充滿瞭發現的樂趣。作者在講解一些核心概念時，比如“可滿足性”和“邏輯等價”，並沒有直接拋齣結論，而是循序漸進地引導讀者去思考，去體會。我記得其中有一個關於“歸謬法”的例子，作者用瞭好幾頁的篇幅來剖析，從一個看似不可能的假設齣發，最終推導齣矛盾，從而證明瞭原命題的正確性。這種抽絲剝繭的講解方式，雖然需要投入更多的時間和精力，但一旦理解瞭，那種豁然開朗的感覺是無與倫比的。這本書，對我來說，更像是一次思維的“健身”，鍛煉瞭我的邏輯分析能力和抽象思維能力。

評分☆☆☆☆☆

作為一名對理論探索有著濃厚興趣的普通讀者，最近有幸接觸到瞭《數理邏輯導引》這本書。初翻開時，我確實被其嚴謹的錶述和抽象的概念所震撼。書中對於命題邏輯、謂詞邏輯等基本形式係統進行瞭係統性的梳理，從符號的定義到推理規則的構建，無不體現齣一種“建築學”般的精確。我尤其欣賞作者在引入“真值錶”和“自然演繹法”時的細緻講解，這些工具不僅是理解邏輯體係的基石，更是培養嚴密思維的絕佳途徑。書中通過大量例證，將原本枯燥的符號演算變得生動起來，讓我仿佛置身於一個充滿邏輯魅力的數學世界。雖然我並非專業人士，但在閱讀過程中，我能清晰地感受到作者希望引導讀者一步步深入邏輯殿堂的良苦用心。那種從簡單命題齣發，逐步構建齣復雜推理鏈條的過程，既考驗耐心，也極大地滿足瞭求知欲。這本書給我帶來的最大啓示，便是理解瞭清晰的定義和嚴謹的推理在任何知識體係中的重要性。它不僅僅是學習邏輯的入門，更是一種思維方式的訓練。

評分☆☆☆☆☆

質量好，送貨快，太方便瞭，不用自己搬，京東購物體驗好

評分☆☆☆☆☆

好書，需要耐心讀。

評分☆☆☆☆☆

舊版新齣，就隨便看看吧。

評分☆☆☆☆☆

書倒是不錯，就是貴。

評分☆☆☆☆☆

可以

評分☆☆☆☆☆

好書，快遞給力，值得收藏

評分☆☆☆☆☆

質量好，送貨快，太方便瞭

評分☆☆☆☆☆

馮琦教授的書必買，貴就貴瞭，畢竟是國內權威

評分☆☆☆☆☆

好書，快遞給力，值得收藏