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冯琦 著

图书标签:

• 数理逻辑
• 逻辑学
• 推理学
• 哲学
• 数学基础
• 形式化方法
• 命题逻辑
• 谓词逻辑
• 集合论
• 模型论

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030545794

版次：1

商品编码：12202743

包装：平装

丛书名： 现代数学基础丛书172

开本：16开

出版时间：2017-10-01

用纸：胶版纸

页数：536

字数：656000

正文语种：中文

内容简介

　　《数理逻辑导引》是作者在新加坡国立大学、北京大学和中国科学院大学为本科高年级学生开设的数理逻辑选修课和在新加坡国立大学、中国科学院数学与系统科学研究院为研究生开设的专业课程所写讲义基础上整理出来的结果。《数理逻辑导引》主要由一阶逻辑的核心内容和有关数的逻辑探索和分析两大部分组成，其中包括完备性、紧致性、同质缩小、型省略等基本定理；有关数的经典理论的完全性和可定义性分析；哥德尔不完全性定理、丘奇不可判定性定理、塔尔斯基自然数标准模型真相不可定义性定理以及巴黎-哈灵顿不完全性定理。

目录

目录
《现代数学基础丛书》序
序言
第0章 引言 1
第1章 命题逻辑 10
1.1 基本问题 10
1.2 命题表达式 12
1.3 逻辑赋值与可满足性 14
1.4 布尔函数可表示性 16
1.5 可证明性与一致性 19
1.6 形式证明的几组例子 22
1.7 完备性 28
1.8 第一完备性证明 30
1.9 命题逻辑紧致性 34
1.10 命题范式 35
1.11 命题逻辑与布尔代数 38
1.12 练习 40
第2章 一阶语言和一阶结构 43
2.1 一组经典例子 43
2.2 一阶语言 44
2.2.1 符号 44
2.2.2 项 45
2.2.3 表达式 47
2.2.4 自由变元和受囿变元 50
2.2.5 替换与可替换性 51
2.3 一阶结构 52
2.3.1 项赋值 53
2.3.2 满足关系 54
2.3.3 局部确定性定理 55
2.3.4 替换定理 59
2.3.5 缩写表达式 68
2.4 几个一阶语言和结构的例子 69
2.5 数与数的集合 79
2.5.1 自然数 81
2.5.2 整数 84
2.5.3 有理数 85
2.5.4 实数 86
2.5.5 复数 91
2.6 练习 91
第3章 一阶结构之同构、同样与同质 93
3.1 预备知识：可数与不可数 93
3.2 一阶结构之同构与同样 95
3.2.1 有理数轴 95
3.2.2 同构 100
3.2.3 同样 103
3.3 可定义性 104
3.3.1 可定义性 104
3.3.2 不变性 107
3.3.3 实数轴区间定理 108
3.4 同质子结构 110
3.4.1 子结构、扩充结构与裁减结构 110
3.4.2 结构元态与全息图 112
3.4.3 同质子结构 112
3.4.4 同质与同样 113
3.4.5 塔尔斯基判定准则 114
3.4.6 实数轴同质子轴 116
3.4.7 同质缩小定理 117
3.4.8 稠密线性序 120
3.4.9 嵌入与同质嵌入 120
3.5 练习 123
第4章 逻辑推理与逻辑结论 128
4.1 逻辑推理 128
4.1.1 逻辑公理 128
4.1.2 推理 129
4.2 推理细致分析定理 130
4.2.1 演绎定理 130
4.2.2 全体化定理 133
4.2.3 常元省略定理 133
4.2.4 等式定理 136
4.3 逻辑结论 138
4.3.1 可满足性 138
4.3.2 真实性与模型 138
4.3.3 逻辑结论 140
4.3.4 基本问题 141
4.3.5 范例 141
4.4 一阶逻辑系统之完备性 149
4.4.1 可靠性定理 149
4.4.2 哥德尔完备性定理 152
4.4.3 极大一致性 152
4.4.4 自显存在特性 153
4.4.5 可满足性定理 155
4.4.6 扩展定理 164
4.4.7 节省常元方法 166
4.5 LA-哥德尔完备性定理 168
4.5.1 谓词符省略引理 169
4.5.2 函数符省略引理 169
4.5.3 无关符号忽略定理 170
4.5.4 前束范式 171
4.6 练习 176
第5章 同质放大模型 178
5.1 紧致性定理 178
5.1.1 关于有限之概念 178
5.1.2 关于秩序之概念 182
5.2 同质放大定理 182
5.3 第二紧致性定理 184
5.4 超积和超幂 186
5.4.1 超滤子存在定理 186
5.4.2 超积与超幂 187
5.4.3 超积基本定理 189
5.4.4 超积构造六例 191
5.5 同质放大链 193
5.6 练习 199
第6章 完全性与模型完全性 202
6.1 完全性 202
6.1.1 等势同构 205
6.1.2 有理数区间代数理论 206
6.1.3 可数广集模型 209
6.2 量词消去 210
6.2.1 完全性充分条件 213
6.2.2 Todl适合量词消去 214
6.3 子结构完全性 222
6.3.1 Todl具备子结构完全性 226
6.3.2 TdBA具备子结构完全性 227
6.4 模型完全性 228
6.4.1 量词简化 231
6.4.2 模型完全性与*2-理论 236
6.5 练习 237
第7章 可数模型 240
7.1 类型排斥定理 240
7.1.1 类型 240
7.1.2 接纳与排斥 242
7.1.3 例子 246
7.1.4 根本型 248
7.1.5 局部排斥型 249
7.1.6 型排斥定理 251
7.2 可数等势同构类型特征 256
7.2.1 可数等势同构特征定理 256
7.2.2 可数模型的个数与Vaught猜想 261
7.3 类型空间 261
7.3.1 稳定性 263
7.3.2 型与超滤子 265
7.4 饱和模型 268
7.4.1 有理数轴饱和性 268
7.4.2 饱和结构 270
7.4.3 可数饱和模型 271
7.4.4 w1-饱和结构 277
7.5 基本模型 279
7.6 极度自同构模型 287
7.6.1 非刚性与无差别元集 287
7.6.2 自然数集合划分定理 289
7.6.3 无穷无差别元子集模型定理 293
7.6.4 内置斯科伦函数与斯科伦闭包 294
7.7 练习 298
第8章 代数封闭域理论 301
8.1 代数封闭域同构分类 301
8.2 代数封闭域适合消去量词 302
8.3 ACF子结构完全性 307
8.4 代数封闭域饱和特性 308
8.5 复数域与特征为素数的代数封闭域 310
8.6 练习 313
第9章 实封闭域理论 315
9.1 实数域公理化 315
9.2 实封闭域理论与有序实封闭域理论 320
9.3 有序实封闭域理论适合消去量词 323
9.4 实封闭域模型完全性 325
9.5 半代数子集 327
9.6 练习 334
第10章 有理数加法算术理论 336
10.1 有理数加法群理论 336
10.1.1 公理刻画Tdag 336
10.1.2 Tdag-完全性 337
10.1.3 Tdag强极小性 342
10.1.4 T1dag-理论 342
10.1.5 序可定义性问题 343
10.2 有理数有序加法群理论 345
10.2.1 公理刻画Todag 345
10.2.2 Todag-完全性 347
10.2.3 Todag-序极小性 349
10.3 练习 350
第11章 整数加法算术理论 352
11.1 多种整数加法算术理论 352
11.1.1 六个结构 352
11.1.2 三种公理化 353
11.2 强整数加法群理论 356
11.2.1 特征0模数同余加法群理论 356
11.2.2 整数序不可定义性 361
11.3 整数有序强加法群理论 362
11.3.1 有序模数同余加法群理论 362
11.4 普瑞斯柏格算术理论 369
11.4.1 初等整数有序加法理论TI 369
11.4.2 非标准模型Z0 370
11.4.3 普瑞斯柏格算术理论Tpr 371
11.4.4 Tpr之保守扩充 372
11.5 练习 378
第12章 自然数序理论与有序加法理论 381
12.1 自然数序理论 381
12.1.1 自然数序公理化 381
12.1.2 半整齐模型 384
12.1.3 自然数序之饱和模型 390
12.1.4 自然数序理论完全性 395
12.2 自然数有序加法理论 399
12.2.1 有序强加法幺半群理论 399
12.2.2 有序模数同余加法幺半群理论 400
12.2.3 保守扩充Toasg 411
12.3 练习 411
第13章 自然数算术理论 415
13.1 初等数论 416
13.1.1 初等数论之不完全性 416
13.1.2 TN与自然数*1真相 419
13.1.3 *1真相定理之形式证明 424
13.2 哥德尔第一不完全性定理 430
13.2.1 序列数 432
13.2.2 符号数与表示数 435
13.2.3 基本逻辑概念表示 437
13.2.4 逻辑公理谓词 439
13.2.5 可计算性与递归函数 443
13.2.6 有效公理化与可判定性 449
13.2.7 可表示性 451
13.2.8 哥德尔不动点引理 456
13.2.9 哥德尔第一不完全性定理 457
13.2.10 不可判定性与真相不可定义性 459
13.3 哥德尔第二不完全性定理 460
13.3.1 依定义扩充 461
13.3.2 皮阿诺算术理论递归扩充 468
13.3.3 TPA递归扩充之*1-完全性 477
13.3.4 PAf知道TPA之*1完全性 480
13.3.5 一个不可被TPA所证明的*1真语句 483
13.3.6 形式化PAf之证明 485
13.4 巴黎-哈灵顿划分原理之独立性 488
13.4.1 自然数压缩写像划分原理 488
13.4.2 拉姆齐有限划分定理 492
13.4.3 皮阿诺算术模型中无差别元子集 493
13.4.4 巴黎-哈灵顿划分原理独立于皮阿诺算术理论 497
13.5 练习 499
索引 502
《现代数学基础丛书》已出版书目 511

《符号思维的基石：现代逻辑学的探索与应用》 图书简介 这是一部深入浅出、系统全面地剖析现代逻辑学思想、方法与应用的著作。本书旨在带领读者跨越传统哲学思辨的边界，进入一个由精确符号和严格推理构筑的思维殿堂。它不聚焦于某个单一的逻辑分支，而是力求构建一个宏大而连贯的知识图谱，展现逻辑学作为一门独立学科如何在哲学、数学和计算机科学的交汇点上，为人类的理性探究提供最坚实的工具。 全书内容涵盖了逻辑学的历史脉络、核心概念、基本演算体系及其在当代科学研究中的关键作用。我们摒弃了晦涩难懂的术语堆砌，转而采用清晰的阐释和丰富的实例，使初学者能够平稳过渡，而有一定基础的读者也能从中获得对逻辑体系深层次的理解。 第一部分：逻辑学的源流与哲学基础 本部分追溯了逻辑思维的萌芽，从亚里士多德的三段论出发，展示了古典逻辑的精髓及其局限性。随后，我们将重点探讨十九世纪末至二十世纪初，逻辑学如何经历一场深刻的“数学化”革命。 古典逻辑的辉煌与困境： 详细解析了主谓逻辑的结构、直言命题的对当关系，以及推理规则（如三段论的有效性检验）。同时，审视了传统逻辑在处理复杂关系和量化问题时的内在矛盾，为引入形式化方法埋下伏笔。 弗雷格的飞跃： 深入介绍戈特洛布·弗雷格的“概念文字”及其在奠定现代逻辑基石中的关键作用。我们着重分析他如何通过引入一阶语言的量词和函数符号，成功地将数学建立在纯粹的逻辑基础之上，从而开创了数理逻辑的先河。 逻辑主义的兴衰： 探讨了罗素、怀特海等人试图将所有数学归约为逻辑的“逻辑主义”计划。本书将详述罗素悖论的发现及其对该计划的致命打击，以及由此催生的类型论和公理化集合论的初步构想。这一部分强调了逻辑学在检验数学基础稳固性方面的核心地位。 第二部分：经典逻辑的构建与演算 本部分是全书的骨干，详细阐述了现代逻辑学的核心工具——命题逻辑和一阶谓词逻辑的构建过程。我们将遵循从直观认识到形式系统建构的路径。 命题逻辑（零阶逻辑）： 彻底解析命题联结词（与、或、非、蕴含、等值）的真值函数定义。重点介绍如何使用真值表系统地检验命题公式的重言式、矛盾式和可满足性。更进一步，本书将深入探讨自然演绎法和公理化系统在命题逻辑中的应用，演示如何以最少的公理和推理规则推导出复杂的逻辑真理。 谓词逻辑（一阶逻辑）： 这是现代逻辑学真正强大的体现。我们详细区分了个体、谓词、函数、常量以及最重要的量词（全称量词 $forall$ 和存在量词 $exists$）。本书通过大量实例，教授读者如何精确地将自然语言中的复杂陈述翻译成一阶逻辑公式，反之亦然。 推理的可靠性与完备性： 这是一个深刻的理论议题。我们将解释“可靠性”（Soundness）——即证明系统内导出的所有结论都是真的，以及“完备性”（Completeness）——即所有逻辑真理都可以被系统证明。我们将简要介绍哥德尔关于一阶逻辑完备性的杰出成果，这是逻辑学理论的里程碑。 第三部分：逻辑学的扩展与边界探索 认识了经典逻辑的强大后，我们开始审视其局限，并探索为适应更复杂推理需求而发展起来的非经典逻辑分支。 模态逻辑： 探讨如何扩展经典逻辑以表达“必然性”和“可能性”等模态概念。我们将介绍模态逻辑的基本框架（如Kripke语义），并将其应用于知识论（认识模态逻辑）和时间推理（时态逻辑）的初步分析。 非单调推理与概率逻辑： 面对现实世界中经常出现的“默认假设”和信息不完备情况，单调逻辑无法有效处理。本书将介绍非单调逻辑的基本思想，即在获得新信息后，先前得出的结论可能被撤销的推理模式。此外，还将涉及如何将概率论的框架融入逻辑推理，以处理不确定性。 第四部分：逻辑学在计算科学中的应用 逻辑学不仅仅是哲学的工具，它更是现代计算机科学的“汇编语言”。本部分将聚焦于逻辑推理如何成为信息技术的核心驱动力。 布尔代数与数字电路： 阐释命题逻辑如何直接对应于布尔代数，进而成为设计和分析数字逻辑门电路（AND, OR, NOT）的理论基础。这是理解计算机底层运作的关键。 逻辑编程与知识表示： 详细介绍Prolog等逻辑编程语言的工作原理，揭示它们如何利用合取范式（CNF）和分辨率原理进行自动推理和问题求解。逻辑公式如何被用作精确的知识库，并通过推理引擎进行查询和验证。 可计算性理论的逻辑根源： 简要回顾图灵机和$lambda$演算等概念，强调这些理论是如何建立在对“有效计算”进行形式化定义的需求之上的。逻辑的完备性与可计算性理论中的停机问题构成了深刻的对照，揭示了人类理性能力和机器能力的边界。 结语 《符号思维的基石》旨在培养读者一种严谨的、符号化的思维习惯。逻辑学不是一套僵死的规则，而是一种强大的思维体操，它能训练我们清晰地界定概念、准确地表达思想、并无可辩驳地推导结论。掌握这些工具，读者将能更有效地批判性地评估信息，并在面对复杂问题时构建出坚固的论证结构。本书力求成为理解现代科学、技术与哲学交叉地带的一把关键钥匙。

评分☆☆☆☆☆

《数理逻辑导引》这本书，可以说是让我对“严谨”二字有了全新的认识。作者在书中对每一个概念的定义，都力求做到滴水不漏，对每一个推理步骤的展开，都遵循着无可挑剔的逻辑链条。我特别喜欢书中关于“集合论”和“类型论”与数理逻辑的结合部分。理解这些基础数学概念如何被逻辑系统所形式化，以及逻辑系统如何反过来为数学提供坚实的基础，这是一种非常奇妙的体验。书中关于“哥德尔不完备定理”的阐述，虽然抽象，但却揭示了任何足够强大的形式系统中存在的固有局限性，这给我留下了深刻的哲学思考。作者在讲解这些深刻的定理时，并没有回避其复杂性，而是努力以一种易于理解的方式呈现。读这本书，感觉就像是在攀登一座知识的高峰，每一步都充满挑战，但登顶后所见的风景，却是无比壮丽。它让我明白，真正的智慧，往往隐藏在最严谨的思考之中。

评分☆☆☆☆☆

当我翻阅《数理逻辑导引》这本书时，我首先被其冷静而客观的写作风格所吸引。作者并没有试图用华丽的辞藻去包装枯燥的概念，而是用最直接、最精确的语言，将数理逻辑的精髓一点一滴地展现出来。书中关于“模态逻辑”和“非经典逻辑”的介绍，让我看到了逻辑学远不止于简单的“是”与“否”。这些更高级的逻辑系统，能够处理诸如“必然”、“可能”、“时间”、“义务”等更复杂的语境，这对于理解哲学、语言学甚至人工智能的某些前沿领域，都有着不可忽视的价值。我尝试去理解其中关于“必然性算子”和“可能性算子”的定义，以及它们在推理中的应用。这个过程，就像是在探索一个全新的思维维度。作者在书中并没有止步于介绍这些概念，而是通过一些巧妙的例子，展示了它们在解决实际问题时的潜力。这本书，无疑拓宽了我对逻辑学边界的认知，也让我对理论研究的深度和广度有了更深的敬畏。

评分☆☆☆☆☆

对于我这样一位业余的计算机科学爱好者，《数理逻辑导引》提供了一个极其宝贵的视角。在信息时代，算法、数据结构、乃至人工智能，其底层逻辑都离不开数学和逻辑的基础。这本书将这些抽象的理论，以一种非常系统和规范的方式呈现在我面前。我尤其对书中关于“模型论”和“证明论”的部分留下了深刻印象。理解一个逻辑系统是否能够准确地描述现实世界（模型论），以及如何在这个系统内进行有效的推理（证明论），这对于理解计算机科学中很多问题的本质至关重要。书中通过一些生动的例子，比如如何用逻辑语句来描述一个简单的数据库查询，或者如何分析一个程序的正确性，都让我看到了理论与实践之间紧密的联系。虽然有些部分对我来说 still a bit challenging，但我相信，通过反复阅读和思考，我能从中学到更多关于如何构建严谨、可靠的计算系统的知识。这本书，为我打开了一扇通往更深层次计算机科学理解的大门。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对理论探索有着浓厚兴趣的普通读者，最近有幸接触到了《数理逻辑导引》这本书。初翻开时，我确实被其严谨的表述和抽象的概念所震撼。书中对于命题逻辑、谓词逻辑等基本形式系统进行了系统性的梳理，从符号的定义到推理规则的构建，无不体现出一种“建筑学”般的精确。我尤其欣赏作者在引入“真值表”和“自然演绎法”时的细致讲解，这些工具不仅是理解逻辑体系的基石，更是培养严密思维的绝佳途径。书中通过大量例证，将原本枯燥的符号演算变得生动起来，让我仿佛置身于一个充满逻辑魅力的数学世界。虽然我并非专业人士，但在阅读过程中，我能清晰地感受到作者希望引导读者一步步深入逻辑殿堂的良苦用心。那种从简单命题出发，逐步构建出复杂推理链条的过程，既考验耐心，也极大地满足了求知欲。这本书给我带来的最大启示，便是理解了清晰的定义和严谨的推理在任何知识体系中的重要性。它不仅仅是学习逻辑的入门，更是一种思维方式的训练。

评分☆☆☆☆☆

《数理逻辑导引》这本书，说实话，初看起来可能会让一些习惯了轻松阅读的书友望而却步。它不是那种能让你在咖啡馆里轻松翻阅的读物，它需要你沉下心来，仔细地咀嚼每一个字，甚至反复推敲每一个符号所代表的含义。我尝试着去理解书中的一些形式证明，比如如何通过一系列公理和推理规则推导出某个定理。这个过程对我而言，就像是在学习一门全新的语言，充满了挑战，但也充满了发现的乐趣。作者在讲解一些核心概念时，比如“可满足性”和“逻辑等价”，并没有直接抛出结论，而是循序渐进地引导读者去思考，去体会。我记得其中有一个关于“归谬法”的例子，作者用了好几页的篇幅来剖析，从一个看似不可能的假设出发，最终推导出矛盾，从而证明了原命题的正确性。这种抽丝剥茧的讲解方式，虽然需要投入更多的时间和精力，但一旦理解了，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的。这本书，对我来说，更像是一次思维的“健身”，锻炼了我的逻辑分析能力和抽象思维能力。

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旧版新出，就随便看看吧。

评分☆☆☆☆☆

并不是一本通识性质的读物，无基础者慎买。