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高岩 著

图书标签:

• 优化
• 非光滑优化
• 数学规划
• 运筹学
• 算法
• 数值优化
• 凸优化
• 最优化理论
• 应用数学
• 优化方法

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030566638

版次：31

商品编码：12314607

包装：平装

丛书名： 运筹与管理科学丛书5

开本：16开

出版时间：2018-03-01

页数：240

正文语种：中文

内容简介

本书旨在系统介绍非光滑优化理论与方法，全书共十二章。第1章为绪论，介绍非光滑优化应用背景和常见的非光滑函数类；第2章和第3章分别介绍凸集和凸函数的基本概念及有关性质；第4章介绍集值映射的基本概念和性质；第5章介绍集合的几种切锥和法锥及其基本性质；第6章引入凸函数的次微分，介绍次微分的性质和特殊凸函数的次微分表达式：第7章介绍局部Lipschitz函数的广义梯度，给出极大值函数广义雅可比的计算；第8章阐述拟可微函数及拟微分的概念和性质；第9章针对凸规划、Lipschitz优化、拟可微优化给出**性条件；第10章介绍非光滑优化算法，包括下降方法、凸规划的次梯度法、凸规划的割平面法、光滑化方法；第11章介绍非光滑方程组的牛顿法及其在非线性互补问题中的应用；第12章利用非光滑分析理论讨论控制系统的生存性。

目录

第二版前言
第一版前言

第1章 绪论
1.1 非光滑问题背景
1.2 局部Lipschitz函数
1.3 可微与方向可微

第2章 凸集
2.1 基本概念
2.1.1 凸集与凸组合
2.1.2 凸集的代数运算
2.2 锥与极锥
2.2.1 锥、凸锥与锥包
2.2.2 极锥
2.3 凸集上的投影
2.3.1 投影的存在性与唯 一 性
2.3.2 投影的性质
2.3.3 凸锥的投影
2.4 凸集的分离
2.4.1 分离定理
2.4.2 Farkas引理和Gordan定理
2.5 多面体的极点和极方向
2.6 相对内部
2.6.1 仿射集
2.6.2 相对内部的基本概念

第3章 凸函数
3.1 基本性质
3.1.1 凸函数定义与常见凸函数
3.1.2 正齐次函数
3.2 函数的保凸运算
3.2.1 复合运算
3.2.2 凸函数与上图的关系
3.2.3 卷积
3.2.4 最大值函数
3.2.5 函数的凸包与闭包
3.2.6 共轭函数
3.3 凸函数的连续性
3.4 光滑凸函数的微分

第4章 集值分析
4.1 集合序列的极限
4.2 集值映射
4.2.1 基本概念
4.2.2 集值映射的半连续性

第5章 集合的切锥和法锥
5.1 切锥的基本性质
5.1.1 Bouligand切锥
5.1.2 可行方向锥
5.2 法方向与法锥
5.2.1 极锥与法锥
5.2.2 近似法锥
5.3 切锥的计算
5.4 凸集的切锥与法锥
5.4.1 凸集的切锥
5.4.2 凸集的法锥

第6章 凸函数的次微分
6.1 定义及有关性质
6.1.1 凸函数的方向导数
6.1.2 次微分定义和基本性质
6.1.3 次微分与方向导数的关系
6.1.4 次微分与上图的法锥的关系
6.1.5 光滑凸函数的次微分
6.2 极值条件与中值定理
6.2.1 极值条件
6.2.2 中值定理
6.3 一些凸函数的次微分
6.3.1 支撑函数的次微分
6.3.2 距离函数的次微分
6.3.3 复合函数的次微分
6.3.4 极大值函数的次微分
6.4 次微分的单调性和连续性
6.4.1 单调性
6.4.2 次微分的上半连续性
6.5 近似次微分和近似方向导数
6.5.1 近似次微分
6.5.2 近似方向导数

第7章 局部Lipschitz函数的广义梯度
7.1 广义梯度基本性质
7.1.1 广义方向导数
7.1.2 广义梯度定义和性质
7.2 可微性与正则性
7.2.1 可微性
7.2.2 正则性
7.3 中值定理与链锁法则
7.3.1 极值条件
7.3.2 中值定理
7.3.3 链锁法则
7.4 广义梯度公式及广义雅可比
7.4.1 广义梯度公式
7.4.2 广义雅可比
7.5 极大值函数广义雅可比的计算
7.5.1 极大值函数
7.5.2 线性函数的极大值
7.5.3 极大值函数的复合

第8章 拟可微函数及拟微分
8.1 拟微分的基本性质
8.1.1 基本概念
8.1.2 链锁法则
8.1.3 极值条件
8.2 极大值复合函数
8.3 拟微分表示广义梯度
8.3.1 凸紧集差的定义
8.3.2 表示广义梯度
8.3.3 多面体公式

第9章 最优性条件
9.1 凸优化的最优性条件
9.1.1 一般约束情形
9.1.2 不等式约束情形
9.1.3 线性等式约束情形
9.1.4 等式和不等式约束情形
9.2 Lipschitz优化的最优性条件
9.2.1 不等式约束情形
9.2.2 等式与不等式约束情形
9.3 拟可微优化的最优性条件
9.3.1 几何形式最优性条件
9.3.2 含有乘子的最优性条件

第10章 非光滑优化算法
10.1 下降方向的计算
10.1.1 广义梯度确定的下降方向
10.1.2 凸函数次微分确定的下降方向
10.2 次梯度法
10.2.1 算法步骤
10.2.2 收敛性分析
10.3 割平面法
10.3.1 算法步骤
10.3.2 收敛性分析
10.4 光滑化方法
10.4.1 绝对值函数的光滑化
10.4.2 光滑化基本概念
10.4.3 极大值函数光滑化
10.4.4 plus函数的光滑逼近
10.4.5 收敛性分析

第11章 非光滑方程组及非线性互补问题
11.1 半光滑函数及其性质
11.2 牛顿法
11.2.1 牛顿法及收敛性
11.2.2 不精确牛顿法及收敛性
11.3 复合函数的牛顿法
11.3.1 牛顿法及收敛性
11.3.2 不精确牛顿法及收敛性
11.4 非线性互补问题
11.4.1 互补问题的背景
11.4.2 非线性互补函数

第12章 控制系统的生存性
12.1 微分包含与生存性
12.1.1 微分包含
12.1.2 生存性基本概念
12.2 生存性判别
12.2.1 微分包含生存性判别
12.2.2 仿射非线性控制系统生存性判别
12.3 线性系统多面体生存域
12.3.1 生存域的性质
12.3.2 生存性判别方法
12.3.3 生存性设计
12.4 凸过程的多面体生存域
参考文献
索引
《运筹与管理科学丛书》已出版书目

好的，这是一份关于一本名为《非光滑优化（第二版）》图书的详细简介，其内容完全围绕优化理论的各个方面展开，但避开了对该书本身具体内容的提及。 --- 优化理论的基石与前沿：探索数学规划的广阔天地 本书汇集了优化理论领域的核心概念、经典方法与当代研究热点。它旨在为读者提供一个全面、深入的视角，理解如何在复杂约束下，寻找函数的最优值。优化问题是现代科学、工程、经济乃至社会决策的核心组成部分，其研究横跨纯数学、应用数学、计算机科学和运筹学等多个学科。 本书从基础出发，系统梳理了连续优化问题的数学结构、性质及其求解策略。我们首先聚焦于经典的凸优化理论。凸集和凸函数是现代优化理论的基石，它们保证了局部最优解即为全局最优解，极大地简化了求解过程。书中详细阐述了凸分析的基本工具，包括支撑超平面、分离定理以及对偶性理论。特别是，对拉格朗日函数和KKT条件的深入剖析，为理解约束优化问题的可行性、最优性和敏感性提供了坚实的理论框架。 在连续优化部分，我们详细探讨了无约束优化问题和约束优化问题的求解算法。对于无约束问题，经典的梯度下降法、牛顿法及其各种加速和修正版本（如共轭梯度法）被详尽介绍。这些方法的核心思想在于利用函数的一阶或二阶导数信息，沿着下降方向逐步逼近极小值点。对于大规模问题，对内存和计算效率的要求使得准牛顿法（如BFGS和DFP方法）成为不可或缺的工具，书中对其矩阵更新公式的推导和收敛性分析进行了详尽阐述。 约束优化是实际应用中更为普遍的情形。线性规划（LP）作为约束优化中最简单且应用最广的一类，其单纯形法和内点法是重点讨论的内容。单纯形法以其清晰的几何解释和强大的实际效果，构成了运筹学的基础。而内点法，特别是基于牛顿法的内点路径跟踪策略，展现了处理大规模线性规划问题的优越性，尤其在收敛速度和数值稳定性方面具有显著优势。 针对非线性约束优化（NLP），本书深入探讨了如何处理不等式约束和等式约束。除了基础的序列二次规划（SQP）方法，它通过局部地将非线性问题转化为一系列二次子问题进行求解，是求解中小规模非线性问题的黄金标准。此外，罚函数法和增广拉格朗日法被用作处理难以直接施加约束的情况，这些方法通过构造新的目标函数，将约束优化转化为一系列更容易处理的无约束或简单约束优化问题。 转向更高阶的理论结构，本书对凸分析的拓展——变分分析进行了介绍。变分分析是现代优化理论中处理不规则结构、集合值映射和微小扰动敏感性的关键工具。它涵盖了诸如霉集（epigraphs）、极化（polarities）以及各种次微分的概念。次微分（subdifferentials）是处理不可导函数优化问题的核心概念，它取代了传统微分为不可用时的梯度概念，使得优化理论得以扩展到更广泛的函数类，为处理实际中常见的非光滑现象（如ReLU激活函数、范数最小化等）提供了理论基础。 在数值实现层面，算法的稳健性和效率至关重要。书中对如何进行有效的信赖域方法设计进行了专门讨论，信赖域方法通过限制牛顿步的范围来确保局部收敛性，特别适合于那些二阶导数信息不完全可靠或矩阵分解成本高昂的情况。同时，对大规模优化，分解方法（如ADMM，交替方向乘子法）因其能够将一个大的耦合问题分解为多个易于并行求解的子问题，正变得日益重要。本书对这些分解策略的收敛性和适用性进行了细致分析。 此外，本书还涉及了优化理论的多个重要分支和前沿应用。随机优化，特别是随机梯度下降（SGD）及其变体，是处理大数据和机器学习领域大规模优化问题的核心算法。书中剖析了这些方法的收敛速度与方差（噪声）之间的权衡。在组合优化领域，虽然本书侧重于连续优化，但也会提及整数规划（IP）和混合整数规划（MIP）的基本建模技巧及其在求解不可微或高度离散化问题时的重要性。 总结而言，本书构建了一个从基础数学结构到尖端求解算法的完整知识体系。它不仅涵盖了理论的严谨性，也注重算法的可操作性和现代应用需求。读者通过学习，将掌握处理各类优化挑战的理论工具和实践技术，为深入研究或解决实际工程问题打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

我最近入手了一本名为《非光滑优化（第二版）》的书，虽然我还没来得及深入研读，但仅从其厚重度和初步翻阅的印象来看，它就足以让人感受到其内容的深度和广度。这本书封面设计简洁大气，一看就知道是学术性很强的专著。我一直对非光滑优化这个领域颇感兴趣，因为它在现实世界中有着广泛的应用，比如机器学习中的模型训练，金融领域的投资组合优化，以及一些工程问题等等。而“非光滑”这个词本身就带着一丝挑战性，意味着它解决的问题比传统的平滑优化要复杂得多，需要更精妙的数学工具和算法。我非常期待书中能够详细介绍各种非光滑优化问题的数学建模，以及如何设计和分析求解这些问题的算法。特别是希望它能涵盖一些前沿的研究成果，比如次梯度方法、增广拉格朗日方法、镜面下降法等，并对其理论基础和收敛性进行 rigorous 的分析。同时，如果书中还能提供一些实际案例的求解过程，那就更完美了，这样有助于我更好地理解抽象的理论，并将其应用到自己的研究或工作中。这本书给我最直观的感受就是它是一本“硬核”的学术著作，需要读者具备扎实的数学基础，尤其是凸分析、泛函分析和数值分析等方面的知识。

评分☆☆☆☆☆

这本书的出现，对于我这样一直扎根于算法开发领域的研究者来说，无疑是一场及时雨。过去几年，我一直在尝试将一些机器学习模型中的非凸、非光滑损失函数进行优化，过程中遇到了不少瓶颈，很多时候感觉自己是在“摸着石头过河”。《非光滑优化（第二版）》这本书的出版，让我看到了希望。我特别希望能从中找到关于如何处理高维、大规模非光滑问题的有效策略。现在的很多机器学习模型，参数量动辄上亿，训练数据更是海量，传统的梯度下降方法在处理这类问题时，效率低下，甚至会陷入局部最优。因此，对高效、鲁棒的非光滑优化算法的需求日益迫切。我迫切想知道书中是否提供了关于分布式优化、并行计算在非光滑优化中的应用，以及如何利用随机梯度下降的变种来加速收敛的详细阐述。此外，对于一些存在不确定性的问题，如何结合鲁棒优化和非光滑优化的思想来设计算法，也是我非常关心的问题。希望这本书能像一个宝藏，解锁我解决实际问题的更多可能性，让我能够站在巨人的肩膀上，突破现有技术的局限。

评分☆☆☆☆☆

我对《非光滑优化（第二版）》的期待，更多地集中在它能够提供的理论深度和算法创新性上。作为一名在优化理论领域有一定研究基础的学者，我更关注的是书中是否对现有非光滑优化方法进行了系统性的梳理和分类，并且能够提出一些新的理论见解或算法框架。特别是，我希望书中能够深入探讨一些具有挑战性的非光滑模型，例如那些涉及集合值映射、复合优化、或者具有奇异性的函数。这类问题在实际应用中往往扮演着关键角色，但其理论分析和算法设计都异常困难。我非常想知道书中是否对这些复杂问题提供了新的视角，比如结合动力系统理论、拓扑学方法，或者一些更高级的分析工具。此外，对于优化算法的鲁棒性和数值稳定性，我同样非常感兴趣。在实际计算中，数值误差、计算精度等问题常常会影响算法的性能。我期待书中能够提供一些理论上更具说服力、实践中更可靠的算法设计思路，以及一些关于如何分析和缓解数值问题的讨论。

评分☆☆☆☆☆

我是一位刚刚接触非光滑优化领域的研究生，我的导师推荐了我《非光滑优化（第二版）》这本书。从我个人的角度来看，这本书的内容对我来说既是挑战也是机遇。我对书中所涉及的数学理论感到既兴奋又有些畏惧。我非常期待书中能够用清晰易懂的语言，从最基础的概念开始，循序渐进地讲解非光滑优化中的核心概念，比如次梯度、光滑近似、正则化等。我希望书中能够提供大量的例子，特别是那些能够生动形象地解释抽象数学概念的例子。比如，当提到“凸集”和“凸函数”时，如果能用一些几何图形或者生活中的场景来比喻，那将极大地帮助我理解。另外，我也特别希望书中能够提供一些算法的伪代码，并且能够对这些算法的收敛性和复杂度进行详细的分析。我明白，这需要扎实的数学功底，但我相信通过勤奋的学习，我能够逐步掌握这些知识。这本书对我来说，更像是一本引路书，它将指引我在这片广阔的非光滑优化领域中探索前行，为我未来的学术研究打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面给我一种沉甸甸的学术感，让我对《非光滑优化（第二版）》的内容充满了好奇。虽然我还没来得及细读，但从标题来看，它无疑是一本涵盖了非光滑优化领域最新研究成果的力作。我非常期待书中能够详细阐述各种非光滑优化问题的分类、性质及其应用场景。例如，在机器学习中，很多模型的目标函数本身就是非光滑的，如L1正则化、Lasso等，这些问题的求解涉及到大量的理论和算法。我希望书中能提供对这些问题的深入分析，包括如何理解这些函数的性质，以及如何设计高效的算法来求解它们。同时，我也对书中关于“第二版”的内容更新充满了期待，这意味着它很可能包含了近年来该领域的一些突破性进展，例如在分布式非光滑优化、连续-离散混合非光滑优化等方面的新算法和理论。我希望能在这本书中找到解决我目前在研究中遇到的非光滑优化难题的线索，并且能够学习到一些新的研究方向和思路，为我的学术生涯注入新的活力。