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李进金 等 著

图书标签:

• 拓扑学
• 基础
• 入门
• 数学
• 高等教育
• 教材
• 点集拓扑
• 一般拓扑
• 代数拓扑
• 拓扑空间

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030236746

版次：1

商品编码：10318733

包装：平装

开本：16开

出版时间：2009-05-01

用纸：胶版纸

页数：211

字数：266000

正文语种：中文

编辑推荐

适读人群 ：可以作为数学类专业拓扑学课程的教材或教学参考书
　　 《基础拓扑学导引》由两部分组成，第一部分包含第1-3章，为点集拓扑学必备知识；第二部分包含第4-7章，介绍拓扑学四个分支方向的简要知识。作者力图在强调基础的同时，以简短的篇幅向读者展示拓扑学一些分支的研究思想以及解决问题的手段，所以在介绍点集拓扑学基本概念的基础上，精选了一般拓扑学、拓扑动力系统、代数拓扑学、微分拓扑学中一些专题进行论述，同时注重不同分支之间的内在联系。《基础拓扑学导引》的知识在相关的参考书或文献中都有不同程度的描述，作者的作用只是在内容的选取和表述上。只要读者学习过“数学分析”和“高等代数”等课程，并对集合论中基本的内容有所了解，就可掌握《基础拓扑学导引》中的知识。

内容简介

　　拓扑学是数学的重要分支，内容丰富且研究途径众多，不少初学者视其为畏途。《基础拓扑学导引》以点集拓扑学为基础，通过对一般拓扑学、拓扑动力系统、代数拓扑学、微分拓扑学中的一些专题论述，向读者简要介绍拓扑学中的—些基本知识、研究思想以及解决问题的方法，以较少的篇幅展现拓扑学中的—些精彩画卷。《基础拓扑学导引》主要内容包括：集合与序集、拓扑空间、几类重要的拓扑性质、紧空间与度量空间、离散拓扑动力系统、基本群及其应用、流形的嵌入。

目录

目录
前言
第1章 集合与序集 1
1.1 集合、函数 1
1.2 良序 7
1.3 选择公理 13
第2章 拓扑空间 16
2.1 拓扑空间 16
2.2 基 21
2.3 闭包、内部与边界 28
2.4 子空间 32
2.5 有限积空间 37
2.6 商空间 40
第3章 几类重要的拓扑性质 46
3.1 可度量性 46
3.2 连通性 52
3.3 道路连通性 57
3.4 分离性 61
3.5 Urysohn引理与Tietze扩张定理 66
3.6 紧性 71
3.7 可数性 77
3.8 Urysohn度量化定理 82
第4章 紧空间与度量空间 90
4.1 紧性的推广 90
4.2 Tychonoff积定理 93
4.3 紧化 96
4.4 完全度量空间 101
4.5 仿紧空间 107
4.6 Bing-Nagata-Smirnov度量化定理 113
第5章 离散拓扑动力系统 118
5.1 轨道与拓扑共轭 119
5.2 周期3 121
5.3 Sarkovskii定理 124
5.4 符号动力系统 129
5.5 Smale马蹄 135
5.6 浑沌映射 138
第6章 基本群及其应用 144
6.1 基本群 144
6.2 覆叠空间 150
6.3 收缩与同伦等价 156
6.4 Sn的基本群 161
6.5 三个著名定理的证明 166
第7章 流形的嵌入 173
7.1 反函数定理 173
7.2 可微映射 177
7.3 紧流形嵌入欧氏空间 185
7.4 Sard定理 189
7.5 Whitney定理 194
参考文献 202
索引 203

前言/序言

　　“拓扑学”作为数学类专业的一门主干课程在国内各高校已普遍开设，在内容丰富的拓扑之林选取适当的素材是编写教材的重要环节，点集拓扑学对于任何一位希望了解拓扑学知识的人都是必备的，它是进入一般拓扑学、代数拓扑学、拓扑动力系统、微分拓扑学、几何拓扑学或维数论等研究方向的基础。
　　作为一门导引式的课程，作者希望在较少的时间内向读者介绍拓扑学的一些精彩内容，以此窥视该学科的动人与美妙之处，本书由两部分组成，第一部分包含第1-3章，为点集拓扑学必备知识；第二部分包含第4-7章，介绍拓扑学四个分支方向的简要知识，作者力图在强调基础的同时，以简短的篇幅向读者展示拓扑学一些分支的研究思想以及解决问题的手段，所以在介绍点集拓扑学基本概念的基础上，精选了一般拓扑学、拓扑动力系统、代数拓扑学、微分拓扑学中一些专题进行论述，同时注重不同分支之间的内在联系，本书的知识在相关的参考书或文献中都有不同程度的描述，作者的作用只是在内容的选取和表述上，只要读者学习过“数学分析”和“高等代数”等课程，并对集合论中最基本的内容有所了解，就可掌握本书中的知识（其中阅读第5、6章分别要学习过“实变函数论”、“近世代数”课程），作者为选读本书提供了多种组合，如在第一部分的基础上，可以选学第二部分的任一章。
　　李进金、李克典、林寿分别负责编写本书的第1章、第2-4章、第5。7章，全书由林寿统一整理，大部分书稿曾在漳州师范学院数学与信息科学系的2004-2008级研究生中讲授过，苏州大学恽自求教授、华侨大学陈尔明教授分别审阅了书稿的第1-4章、第5和第6章，提出了宝贵的建议，指出了原稿中的多处疏漏与失当，在书稿的编写过程中，作者们的研究工作得到国家自然科学基金f项目编号：10571151，10671173）的资助，书稿的写作与出版始终得到漳州师范学院研究生处的支持，初稿的编辑和排版得到漳州师范学院拓扑学专业研究生的帮助，其中郑春燕同学绘制了全书的插图，本书的出版还要特别感谢漳州师范学院重点学科教材建设资助项目的资助。

好的，下面为您创作一份图书简介，聚焦于其他拓扑学相关主题，避免提及《基础拓扑学导引》的内容： --- 书名：流形、纤维丛与微分几何基础 图书简介 导论：超越基础——从空间到结构的深刻洞察 本书旨在为读者提供一个深入探索现代几何学前沿的平台，聚焦于流形理论、纤维丛结构及其在微分几何中的应用。不同于侧重于点集拓扑的经典入门教材，本书将读者直接引入到具有内在光滑结构的数学对象的研究之中，构建起连接代数、分析与几何的桥梁。我们假设读者已经具备坚实的微积分和线性代数基础，并对抽象空间的初步概念有所了解。本书的真正价值在于，它将这些预备知识转化为研究几何结构及其局部和整体性质的有力工具。 第一部分：微分流形与光滑结构 流形是现代几何学的核心概念，它们允许我们将局部欧几里得空间的直觉推广到任意维度和复杂的拓扑空间。本书的第一部分将系统地建立微分流形的数学框架。 1.1 拓扑基础回顾与过渡： 尽管本书不以纯粹点集拓扑为重点，但我们将快速回顾并强调必要的概念，如连通性、紧致性和分离公理，这些是定义流形结构所必需的。我们着重于如何从拓扑空间到局部具有 $mathbb{R}^n$ 结构的对象的过渡。 1.2 流形的严格定义与构造： 详细阐述流形（Manifold）的定义，包括图集（Atlas）和坐标变换的平滑性要求。我们将探讨重要的特例，如球面、环面、射影空间以及其他经典的李群作为例子。重点分析如何通过适当的图集来“铺盖”一个空间，使其局部行为与欧几里得空间无异。 1.3 张量场与微分形式： 这是将分析工具引入几何结构的关键步骤。我们将引入切空间的概念，定义切向量场，并在此基础上构造上协变张量场（如 $p$-形式）。本书将花费大量篇幅介绍微分形式的楔积（Wedge Product）运算及其在积分几何中的重要性。理解微分形式是连接微分方程和几何拓扑的关键。 1.4 向量场与流： 对向量场的深入研究，特别是关于常微分方程的解（即流，Flow）如何作用于流形。我们将讨论李导数（Lie Derivative），它衡量了函数、向量场和微分形式在流作用下的变化率，这是理解对称性和守恒律的几何语言。 第二部分：纤维丛——几何的局部叠加 纤维丛是理解流形上附加结构的强大框架，它允许我们在流形的每一点上附加一个固定的代数对象（纤维），并要求这种附加在局部保持光滑的一致性。 2.1 纤维丛的定义与基本例子： 详细定义主纤维丛（Principal Bundle）和一般纤维丛（General Fiber Bundle）。我们将通过大量的例子来阐明抽象定义，包括切丛（Tangent Bundle）、余切丛（Cotangent Bundle）和法丛（Normal Bundle）。这些丛是研究曲率和几何度量的基础。 2.2 丛的结构群与截面： 探讨结构群（Structure Group）在主丛中的作用，以及截面（Sections）的概念。截面在物理学中对应于场，在几何中则对应于向量场或微分形式的推广。我们分析截面的存在性和构造性问题。 2.3 向量丛上的联络： 联络是连接不同纤维之间“邻近”信息的机制，是微分几何的核心。本书将侧重于介绍仿射联络（Affine Connection）和更普适的纤维丛上的联络概念。重点讨论黎曼几何中不可或缺的 Levi-Civita 联络的唯一性及其与度量的关系。 2.4 曲率与挠率： 联络的“不平坦性”由曲率张量来度量，这是微分几何中最为重要的不变量之一。我们将推导出黎曼曲率张量的定义，并分析其代数性质（如第一对 Bianchi恒等式）。挠率（Torsion）作为联络的另一个重要特征，也将被详细探讨。 第三部分：联络与拓扑的交汇 本部分将展示纤维丛理论如何自然地引向更深层次的拓扑不变量，特别是与积分和同调理论的联系。 3.1 上同调与纤维丛： 介绍德拉姆上同调（de Rham Cohomology）如何利用微分形式和外微分来捕捉流形的拓扑特征。我们将探讨德拉姆定理，将其作为微分几何与经典拓扑学的深刻联系。 3.2 示性类（Characteristic Classes）： 示性类是衡量向量丛“扭曲程度”的拓扑不变量。我们将介绍切丛和一般向量丛的第一陈类（Chern Class）和庞加莱对偶性。重点分析示性类如何与曲率形式通过示性形式（如 Chern-Weil 理论）相关联，从而提供一个从局部数据（曲率）计算整体拓扑不变量的强大方法。 3.3 杨-米尔斯理论的几何基础： 简要地将本书的理论工具置于现代物理学，特别是规范场论的背景下，展示纤维丛、联络和曲率在描述基本相互作用中的核心作用。 结论与展望 本书的结构精心设计，旨在使读者不仅掌握流形和纤维丛的严格数学定义，更能理解这些概念是如何被用来研究几何空间的内在结构和不变量。通过对张量分析、联络理论和示性类的深入探讨，读者将为进一步研究广义相对论、规范场论或代数拓扑学打下坚实的基础。本书期望培养读者将代数工具应用于几何问题的能力，并以严谨的态度欣赏数学之美。 ---

评分☆☆☆☆☆

评价三： 这本书的整体风格非常独特，它在保持数学严谨性的同时，又融入了作者对数学美学的深刻理解。我是一名正在攻读数学相关专业的学生，在学习过程中，我们接触了大量的教材和参考书。坦白说，很多书在讲解定理和证明时，都过于注重形式化的推导，而忽略了定理背后的直观意义和几何解释。《基础拓扑学导引》在这方面做得非常出色。作者在阐述每一个定理时，都会先引导读者去思考这个定理所要解决的问题，或者它所描述的数学现象，然后才会给出严谨的证明。这种“知其然，更知其所以然”的学习方式，对于我这样的学生来说，是非常宝贵的。我发现，很多我之前在其他教材中感到困惑的地方，在这本书里得到了清晰的解答。特别是关于连通性、紧致性和同胚性等概念的讲解，作者运用了非常贴切的比喻和直观的图形，让我能够从更深层次去理解这些概念的内涵。这本书的习题部分也很有价值，它不仅巩固了所学的知识，还引导读者去探索更广泛的数学问题，非常有启发性。

评分☆☆☆☆☆

评价一： 这本书的装帧设计我相当满意，硬壳封面，纸张的质感也很不错，拿在手里有分量，触感温润，阅读体验首先就得到了保证。我一直对几何学和空间的概念非常着迷，虽然此前接触过一些基础的几何知识，但总觉得少了些系统性的梳理和深入的理解。了解到这本书的标题时，我便被它所吸引，觉得它可能能填补我在这方面的知识空白。翻开第一页，我就被作者的叙述方式所打动。他似乎能够很巧妙地将那些抽象的概念，通过生动形象的例子，以及一些颇具启发性的类比，一点点地渗透到读者的脑海中。很多数学书籍常常让我望而却步，但这本书的行文流畅，语言清晰，即使在处理一些稍显复杂的问题时，也能做到循序渐进，不会让人感到突兀。我尤其欣赏作者在引入新概念时的铺垫，他总是能先勾勒出问题的背景，引发读者的思考，然后再给出严谨的定义和证明，这种方式极大地降低了学习的门槛，也让学习过程变得更加有趣。我相信，这本书不仅仅是学习基础拓扑学的工具书，它更像是一扇门，带领我进入一个全新的、充满奇妙结构的数学世界。

评分☆☆☆☆☆

评价五： 作为一名对数学充满好奇的业余爱好者，我一直在寻找能够带领我入门一些更高级数学领域，但又不至于过于晦涩的书籍。《基础拓扑学导引》无疑是我的一个非常幸运的发现。这本书的内容深度和广度都恰到好处，它既能让你领略到拓扑学的魅力，又不会让你在海量的定义和证明中迷失方向。作者的写作风格非常务实，每一章都围绕着一个核心概念展开，并且通过大量的例题和练习题来巩固和深化理解。我特别喜欢它在引入一些经典拓扑问题的解决思路时，所展现出的清晰逻辑和巧妙方法，这让我看到了数学解决问题的强大力量。例如，书中关于“度量空间”和“拓扑空间”的区分，作者并没有直接给出冷冰冰的定义，而是先从度量空间的一些性质入手，然后引导读者思考，在哪些情况下，我们不再需要具体的距离来定义“邻域”或“开集”，从而引出更一般的拓扑空间的概念。这种循序渐进的教学方法，对于我这样的非科班出身的读者来说，简直是福音。我真心推荐这本书给所有对数学，特别是对空间结构和形变理论感兴趣的朋友们。

评分☆☆☆☆☆

评价二： 老实说，我一直以为数学是个很枯燥的学科，尤其是那些听起来就很高深的理论。但《基础拓扑学导引》彻底颠覆了我的这个看法。这本书的编排结构非常合理，从最基础的概念讲起，然后逐步深入，逻辑性非常强。我特别喜欢它里面大量的图示和例子，这些图形化的表达方式，使得那些原本抽象的数学概念变得直观易懂。比如，在解释某个拓扑性质的时候，作者会画出很多形态各异的图形，然后通过一些简单的变形（比如拉伸、压缩，但不撕裂或粘合），来展示这些图形之间的等价性。这种“橡皮膜几何”的思想，真的非常神奇，让我对空间的本质有了更深的认识。我不是数学专业的学生，购买这本书主要是出于个人兴趣，希望能够拓展一下思维方式，学习一些新的知识。这本书恰好满足了我的需求。它没有使用过于艰涩的专业术语，即使是一些读者可能不熟悉的术语，作者也会在后续的章节中进行详细的解释和说明。阅读过程中，我时常会停下来，对着图示反复琢磨，然后自己尝试画一些类似的图形，并思考它们是否满足某些拓扑性质。这种主动的学习过程，让我在不知不觉中就掌握了书中介绍的知识。

评分☆☆☆☆☆

评价四： 这本书给我带来的不仅仅是知识的增长，更多的是一种思维上的拓展。我一直对我们所处的三维空间以及更抽象的空间结构非常好奇，但缺乏系统的学习途径。偶然间在网上看到了关于《基础拓扑学导引》的介绍，便立刻被吸引了。拿到书后，我惊喜地发现，这本书比我想象的还要精彩。作者的叙述方式非常引人入胜，他用一种近乎讲故事的口吻，将那些看似深奥的数学理论娓娓道来。我最喜欢的是书中关于“连续性”的讨论，作者通过一些非常巧妙的例子，比如将咖啡杯想象成一个甜甜圈，让我深刻地理解了拓扑学中最核心的“形变”思想。这种思想的应用范围之广，让我感到十分震撼。书中还介绍了一些非常有趣的拓扑空间，比如莫比乌斯带、克莱因瓶等等，这些概念让我对空间的想象力得到了极大的提升。即使是对于那些需要一定数学基础的概念，作者也做了非常详尽的铺垫和解释，不会让人感到突兀。我平时阅读的习惯是比较随性的，但这本书却让我愿意花费大量的时间去仔细研读，甚至会做笔记，画图，反复推敲。