數值分析基礎 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

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葉興德 等 編

圖書標籤:

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• 數學
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• 算法
• 科學計算
• 數值計算
• 數學建模
• 教材

齣版社： 浙江大學齣版社

ISBN：9787308061308

版次：1

商品編碼：10458063

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2008-08-01

用紙：膠版紙

頁數：282

字數：450000

內容簡介

《數值分析基礎》介紹科學計算的一些基本數值方法，包括插值、函數逼近、函數微分與數值積分、綫性方程組的解法、矩形特徵值計算、非綫性方程求根、常微分方程與偏微分方程的差分方法等。《數值分析基礎》除瞭介紹各種數值算法的理論外，還用MATLAB編製瞭實現算法的程序，適用大學理學和工科專業學生學習科學計算、數值方法等課程作教材或參考書。

目錄

第1章 誤差與範數
1.1 誤差的來源
1.2 絕對誤差、相對誤差和有效數字
1.2.1 絕對誤差
1.2.2 相對誤差
1.2.3 有效數字

1.3 減少誤差的一些方法與數值穩定性
1.3.1 減少誤差的一些方法
1.3.2 數值穩定性

1.4 嚮量範數和矩陣範數
1.4.1 嚮量範數
1.4.2 矩陣範數
1.4.3 譜半徑

1.5 範數與極限
1.5.1 範數的等價性
1.5.2 矩陣序列的極限
習題

第2章 綫性方程組的解法
2.1 綫性方程組的直接計算
2.1.1 三角形方程組的計算
2.1.2 Gauss消去法和LU分解
2.1.3 選主元的LU分解
2.1.4 Cholesky分解法
2.1.5 求解三對角方程組的追趕法
2.1.6 直接法的誤差分析和迭代改進

2.2 綫性方程組的迭代解法
2.2.1 Jacobi迭代法和G-S迭代法
2.2.2 SOR迭代法
2.2.3 迭代法的收斂性
2.3 共軛梯度法
習題

第3章 插值
3.1 多項式插值
3.1.1 Lagrange插值
1.綫性插值
2.二次插值
3.n次插值
3.1.2 插值誤差
3.1.3 Neville逐步插值法
3.1.4 Newton插值公式
1.差商及差商形式的插值公式
2.差分與等距節點的插值公式
3.1.5 Lagrange插值的質心形式
3.2 Hermite插值

3.3 分段插值
3.3.1 Runge現象
3.3.2 分段綫性插值
3.3.3 分段三次Hermite插值
3.3.4 保形分段三次Hermite插值

3.4 三次樣條
3.4.1 三次樣條
3.4.2 三斜率方程組
3.4.3 “非節點”端點條件
3.4.4 三彎矩方程組
……

第4章 方程求根
第5章 函數逼近
第6章 數值微分與積分
第7章 矩陣特徵值的計算
第8章 常微分方程數值解
第9章 偏微分方程差分方法
參考文獻

精彩書摘

第1章 誤差與範數
1.1 誤差的來源
用數學方法解決一個具體的實際問題，首先要建立數學模型。在數學模型中通常包含各種各樣的參變量，這些參數往往都是通過觀測得到的。當數學模型不能精確求解時，通常要建立一套行之有效的數值方法求它的近似解，由於在計算機中浮點數隻能錶示實數的近似值，因此用計算機進行實際計算時每一步都可能有誤差。

前言/序言

《計算方法導論》 簡介 本書旨在為讀者提供一個全麵而深入的計算方法和數值分析領域的導論，側重於理論基礎的闡釋、經典算法的推導與實現，以及在工程、科學研究中應用這些方法所必需的批判性思維和數值穩定性考量。本書的結構設計旨在平衡數學的嚴謹性與計算實踐的可操作性，使讀者不僅理解“如何做”，更能洞悉“為什麼這樣做”以及“在何種情況下會齣錯”。 全書共分為六大部分，涵蓋二十章，循序漸進地引導讀者進入數值計算的廣闊天地。 --- 第一部分：預備知識與誤差分析（第1-3章） 本部分是後續所有高級主題的基礎，重點關注數值計算的內在屬性和潛在陷阱。 第1章：計算的基石——浮點數與機器精度 本章詳細剖析瞭現代計算機如何錶示實數，即IEEE 754浮點數標準（單精度和雙精度）。我們將深入討論有限精度帶來的內在誤差：捨入誤差、截斷誤差以及它們在算術運算中的纍積效應。此外，本章引入瞭機器 $epsilon$ 的概念，並討論瞭如何評估算法的“病態性”——即輸入微小變化可能導緻輸齣巨大偏差的特性。 第2章：誤差的量化與傳播 本章側重於誤差的數學描述。引入絕對誤差、相對誤差的概念，並探討瞭誤差在加、減、乘、除運算中的傳播規律。重點分析瞭減數損失（Loss of Significance）現象，並提供瞭一係列重構代數錶達式，以最小化或避免在實際計算中齣現的精度損失。 第3章：算法的穩定性與效率 引入數值算法評估的核心標準：收斂速度（綫性、超綫性、二次收斂）和數值穩定性（絕對穩定、漸進穩定）。本章通過比較不同的數值逼近策略，展示瞭如何從理論上預測一個算法的性能瓶頸，指導讀者選擇最優的計算路徑。 --- 第二部分：求解非綫性方程（第4-6章） 本部分緻力於尋找函數 $f(x) = 0$ 的根，這是許多科學和工程問題的核心。 第4章：開區間迭代法 詳細介紹並推導瞭牛頓法（Newton's Method）及其幾何意義，分析瞭其二次收斂特性及對初值的敏感性。同時，探討瞭割綫法（Secant Method）作為牛頓法在無法求導時的替代方案，並對比瞭它們在計算成本和收斂速度上的權衡。 第5章：閉區間求根法 深入研究瞭二分法（Bisection Method）的可靠性與綫性收斂特性。隨後，介紹瞭假位法（Regula Falsi）和更先進的豐德森法（Brent's Method），後者結閤瞭區間收縮的可靠性和快速收斂的效率。 第6章：多維非綫性方程組 將一維問題推廣到多維空間。重點講解瞭多變量牛頓法的推導，包括雅可比矩陣的構造與求解。同時，介紹瞭擬牛頓法（Quasi-Newton Methods），特彆是BFGS算法在避免顯式矩陣求逆方麵的優勢和應用。 --- 第三部分：綫性代數方程組的數值解（第7-10章） 本部分是數值分析的支柱，處理形式為 $Ax=b$ 的方程組的求解問題。 第7章：直接法I——高斯消元法 係統地闡述瞭經典的高斯消元法及其背後的三角分解原理。詳細討論瞭浮點運算中的增量計算，以及如何通過行交換操作來保證數值穩定性，引入瞭主元選擇（Pivoting）的概念。 第8章：直接法II——矩陣分解技術 基於高斯消元法，本章深入探討瞭三種關鍵的矩陣分解：LU分解（包括Doolittle和Crout算法）、Cholesky分解（針對對稱正定矩陣）以及LUP分解（用於處理奇異性或實現係統化Pivoting）。重點分析瞭分解過程的計算復雜度。 第9章：矩陣的條件數與求解誤差 本章迴歸誤差分析，引入矩陣的條件數（Condition Number）來量化綫性係統的病態程度。我們將展示，即使使用高精度解法，病態係統也會導緻解嚮量的巨大誤差。討論瞭重求解（Iterative Refinement）技術對提高解的精度的應用。 第10章：迭代法基礎 針對大規模稀疏矩陣，直接法計算成本過高。本章介紹瞭迭代法的基本思想，包括雅可比迭代（Jacobi）和高斯-賽德爾迭代（Gauss-Seidel）。分析瞭這些方法的收斂條件和收斂速度，並引入瞭殘差嚮量的概念。 --- 第四部分：特徵值問題的數值解（第11-13章） 本部分關注如何找到矩陣 $A$ 的特徵值 $lambda$ 和特徵嚮量 $v$（滿足 $Av = lambda v$）。 第11章：特徵值問題的背景與基礎算法 迴顧特徵值的理論性質，並介紹如何利用矩陣的相似變換來簡化問題。重點分析瞭冪迭代法（Power Iteration）及其在尋找最大特徵值方麵的有效性，以及逆迭代法在尋找接近特定值的特徵值中的應用。 第12章：QR算法 介紹求解一般特徵值問題最強大的迭代方法——QR算法。詳細闡述瞭QR分解在每次迭代中的作用，以及如何通過Hessenberg簡化預處理步驟，大幅提升計算效率。 第13章：對稱矩陣的特徵值計算 針對對稱矩陣，介紹專門優化的方法，如雅可比迭代法（Jacobi Iteration for Eigenvalue）和Lanczos算法的初步概念，這些方法在保證穩定性的同時，收斂速度更快。 --- 第五部分：數值積分與微分（第14-17章） 本部分處理連續函數的數值逼近問題。 第14章：數值微分 基於泰勒展開，推導齣有限差分公式（前嚮、後嚮、中心差分），並分析這些公式的截斷誤差階數。討論瞭微分中數值誤差放大的問題，強調瞭在實際應用中應盡量避免直接對帶噪數據進行微分。 第15章：牛頓-科特斯求積公式 係統講解瞭如何構造數值積分公式。從梯形法則和辛普森法則的推導入手，推廣到牛頓-科特斯係列公式，並分析瞭它們在增加節點後收斂性的提高。 第16章：高斯求積法 介紹瞭一種遠比牛頓-科特斯公式更有效的求積技術。解釋瞭高斯點和高斯權重的選擇原理（基於正交多項式），展示瞭高斯-勒讓德求積在固定節點數下能達到的高精度。 第17章：復化積分與自適應方法 討論瞭如何通過復閤方法（如復化梯形、復化辛普森）來提高精度，同時控製總誤差。引入瞭自適應步長控製的概念，使計算資源集中在函數變化劇烈的區域。 --- 第六部分：常微分方程的數值解法（第18-20章） 本部分關注如何通過數值方法來求解形式為 $y' = f(t, y)$ 的微分方程。 第18章：一階ODE的單步法 詳細介紹歐拉法（Euler's Method）的局限性，隨後深入講解龍格-庫塔（Runge-Kutta, RK）方法族。重點分析瞭著名的四階RK法的構造原理，以及其局部截斷誤差的分析。 第19章：多步法與零穩定性 介紹利用曆史信息提高效率的多步法，如Adams-Bashforth（開式）和Adams-Moulton（閉式）方法。深入探討瞭多步法的穩定性、收斂性和絕對穩定性區域的概念，特彆是BDF（反嚮微分公式）在剛性（Stiff）問題中的應用。 第20章：剛性ODE係統與隱式方法 專門針對那些導數變化速度差異極大的“剛性”係統。解釋瞭為什麼顯式方法在此類問題中需要極小的步長。重點分析瞭隱式歐拉法（Implicit Euler）和後嚮差分公式（BDF）在處理剛性問題時所需的代數方程求解步驟。 --- 學習資源與實踐導嚮 本書的每個章節後均配有深度思考題，旨在檢驗對理論的理解。此外，書中穿插瞭大量基於MATLAB/Python的僞代碼和實例演示，鼓勵讀者親手實現算法，觀察不同數值方法的性能差異，從而建立起堅實的計算思維。本書的目標是培養下一代能夠自信地選擇、實現和驗證復雜科學計算方法的工程師和研究人員。

評分☆☆☆☆☆

翻開《數值分析基礎》，我的目光立即被“函數逼近與插值”這一章吸引瞭。在很多應用場景中，我們可能隻知道離散的若乾數據點，但卻需要用一個連續的函數來描述或者預測這些數據點之間的趨勢。這時，插值和逼近方法就顯得至關重要瞭。我希望這本書能夠清晰地講解拉格朗日插值多項式和牛頓插值多項式，並詳細說明它們的構造原理和優缺點。特彆是，我希望書中能夠討論龍格現象，以及如何避免或緩解它，因為這是多項式插值中一個非常普遍的問題。另外，我還對樣條插值法很感興趣，特彆是三次樣條插值，它能夠在保證連續性和光滑性的前提下，避免高次多項式插值的振蕩問題。如果書中能夠對比不同插值方法的特點，並給齣選擇哪種方法的指導性建議，那對我來說將是非常有價值的。此外，我還想瞭解一下最佳逼近理論，比如最小二乘逼近，它如何在數據擬閤中發揮作用。

評分☆☆☆☆☆

我對《數值分析基礎》這本書的期待，主要集中在它對“綫性代數方程組的數值解法”的論述上。在科學計算領域，處理大規模綫性方程組是傢常便飯，而直接求解方法（如高斯消元法）在麵對超大規模矩陣時，其計算量和存儲量會急劇增長，甚至變得不可行。因此，迭代法就顯得尤為重要。我特彆希望書中能詳細介紹雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法，並深入分析它們的收斂條件和收斂速度。瞭解在什麼情況下，這些迭代方法能夠穩定地收斂到真實解，以及如何通過調整參數來加速收斂，這將是我學習的重點。此外，我希望書中能夠討論一些更高級的迭代方法，比如共軛梯度法，這類方法在處理對稱正定矩陣時，往往能取得非常好的效果。如果書中還能提及一些預條件子技術，用於改善預條件矩陣的性質，從而加速迭代過程，那就更完美瞭。我很看重理論的嚴謹性和方法的有效性，希望這本書能夠在這方麵有所建樹，為我理解和應用這些重要的數值算法打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

拿到《數值分析基礎》這本書，我第一眼就覺得它的版式設計相當不錯，紙張的質感也很好，翻閱起來很舒服。我主要對書中關於“數值積分”的部分比較好奇。在很多工程和科學領域，我們都需要計算一些復雜函數的定積分，而解析積分往往是不可能完成的任務。因此，數值積分方法就顯得格外重要。我希望這本書能夠詳細介紹牛頓-科特斯公式，比如梯形法則、辛普森法則等，並且解釋它們之間的區彆和適用範圍。更重要的是，我希望作者能深入分析這些方法的精度是如何影響最終結果的，以及如何通過增加節點或者使用更高階的公式來提高精度。此外，如果書中還能介紹一些自適應數值積分方法，那會更讓我驚喜，因為這種方法可以根據被積函數的特點自動調整步長，從而在保證精度的同時，盡量減少計算量。我對這類能夠體現“智慧”的算法尤為感興趣，它能夠讓計算過程更有效率。我也希望書中能夠提供一些實際案例，比如在物理模擬或者數據分析中如何應用這些數值積分技術，這樣能夠讓我更直觀地感受到數值分析的魅力。

評分☆☆☆☆☆

《數值分析基礎》這本書，我剛拿到手，還沒來得及深入研讀，但從目錄和前言來看，它的定位似乎是比較基礎和入門的。我個人對數值分析這個領域一直抱有濃厚的興趣，尤其是在處理一些解析解難以求得的數學問題時，數值方法就顯得尤為重要。這本書的編排方式，看起來是從最基本的一些概念入手，比如誤差的産生與控製，然後逐步過渡到插值、逼近、方程求根等核心內容。我特彆關注瞭關於“誤差”的部分，因為我覺得這是數值計算的生命綫，一旦誤差控製不好，結果就可能變得毫無意義。書中是否詳細講解瞭不同類型誤差的來源、量化方法以及如何最小化這些誤差，這一點對我來說至關重要。同時，我也期待它能夠提供一些生動形象的例子，幫助我理解抽象的數值算法。畢竟，數學知識如果脫離瞭實際應用，就容易讓人覺得枯燥乏味。我希望這本書的語言風格能夠清晰易懂，避免使用過於晦澀難懂的術語，讓初學者能夠毫不費力地跟上作者的思路。如果它還能在章節末尾設置一些思考題或者小練習，那就更好瞭，這樣我可以在學習過程中及時鞏固和檢驗自己的理解程度。

評分☆☆☆☆☆

《數值分析基礎》這本書，從我初步瀏覽的內容來看，它似乎為我打開瞭一扇通往“常微分方程數值解”的大門。在許多物理、工程以及生物模型中，常微分方程是描述係統動態演化的核心工具，但很多時候，這些方程並沒有解析解，隻能依靠數值方法來求解。我特彆期待書中能夠詳細介紹歐拉方法，包括前嚮歐拉、後嚮歐拉以及改進歐拉方法，並深入分析它們的穩定性和精度。我希望作者能夠清晰地解釋不同階數的歐拉方法的原理，以及它們在計算效率和誤差控製上的權衡。此外，我非常希望書中能夠介紹更強大的方法，例如龍格-庫塔（Runge-Kutta）方法，尤其是經典的四階龍格-庫塔法，並解釋其在提高精度方麵的優勢。如果書中還能涉及一些剛性方程組的數值解法，或者多步法等更高級的主題，那就更超齣我的預期瞭。我非常關注數值方法的穩定性和收斂性，希望書中能夠提供足夠多的理論分析和實例說明，幫助我理解如何在實際問題中選擇最閤適的數值方法。