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叶兴德 等 编

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• 数值计算
• 数学建模
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出版社： 浙江大学出版社

ISBN：9787308061308

版次：1

商品编码：10458063

包装：平装

开本：16开

出版时间：2008-08-01

用纸：胶版纸

页数：282

字数：450000

内容简介

《数值分析基础》介绍科学计算的一些基本数值方法，包括插值、函数逼近、函数微分与数值积分、线性方程组的解法、矩形特征值计算、非线性方程求根、常微分方程与偏微分方程的差分方法等。《数值分析基础》除了介绍各种数值算法的理论外，还用MATLAB编制了实现算法的程序，适用大学理学和工科专业学生学习科学计算、数值方法等课程作教材或参考书。

目录

第1章 误差与范数
1.1 误差的来源
1.2 绝对误差、相对误差和有效数字
1.2.1 绝对误差
1.2.2 相对误差
1.2.3 有效数字

1.3 减少误差的一些方法与数值稳定性
1.3.1 减少误差的一些方法
1.3.2 数值稳定性

1.4 向量范数和矩阵范数
1.4.1 向量范数
1.4.2 矩阵范数
1.4.3 谱半径

1.5 范数与极限
1.5.1 范数的等价性
1.5.2 矩阵序列的极限
习题

第2章 线性方程组的解法
2.1 线性方程组的直接计算
2.1.1 三角形方程组的计算
2.1.2 Gauss消去法和LU分解
2.1.3 选主元的LU分解
2.1.4 Cholesky分解法
2.1.5 求解三对角方程组的追赶法
2.1.6 直接法的误差分析和迭代改进

2.2 线性方程组的迭代解法
2.2.1 Jacobi迭代法和G-S迭代法
2.2.2 SOR迭代法
2.2.3 迭代法的收敛性
2.3 共轭梯度法
习题

第3章 插值
3.1 多项式插值
3.1.1 Lagrange插值
1.线性插值
2.二次插值
3.n次插值
3.1.2 插值误差
3.1.3 Neville逐步插值法
3.1.4 Newton插值公式
1.差商及差商形式的插值公式
2.差分与等距节点的插值公式
3.1.5 Lagrange插值的质心形式
3.2 Hermite插值

3.3 分段插值
3.3.1 Runge现象
3.3.2 分段线性插值
3.3.3 分段三次Hermite插值
3.3.4 保形分段三次Hermite插值

3.4 三次样条
3.4.1 三次样条
3.4.2 三斜率方程组
3.4.3 “非节点”端点条件
3.4.4 三弯矩方程组
……

第4章 方程求根
第5章 函数逼近
第6章 数值微分与积分
第7章 矩阵特征值的计算
第8章 常微分方程数值解
第9章 偏微分方程差分方法
参考文献

精彩书摘

第1章 误差与范数
1.1 误差的来源
用数学方法解决一个具体的实际问题，首先要建立数学模型。在数学模型中通常包含各种各样的参变量，这些参数往往都是通过观测得到的。当数学模型不能精确求解时，通常要建立一套行之有效的数值方法求它的近似解，由于在计算机中浮点数只能表示实数的近似值，因此用计算机进行实际计算时每一步都可能有误差。

前言/序言

《计算方法导论》 简介 本书旨在为读者提供一个全面而深入的计算方法和数值分析领域的导论，侧重于理论基础的阐释、经典算法的推导与实现，以及在工程、科学研究中应用这些方法所必需的批判性思维和数值稳定性考量。本书的结构设计旨在平衡数学的严谨性与计算实践的可操作性，使读者不仅理解“如何做”，更能洞悉“为什么这样做”以及“在何种情况下会出错”。 全书共分为六大部分，涵盖二十章，循序渐进地引导读者进入数值计算的广阔天地。 --- 第一部分：预备知识与误差分析（第1-3章） 本部分是后续所有高级主题的基础，重点关注数值计算的内在属性和潜在陷阱。 第1章：计算的基石——浮点数与机器精度 本章详细剖析了现代计算机如何表示实数，即IEEE 754浮点数标准（单精度和双精度）。我们将深入讨论有限精度带来的内在误差：舍入误差、截断误差以及它们在算术运算中的累积效应。此外，本章引入了机器 $epsilon$ 的概念，并讨论了如何评估算法的“病态性”——即输入微小变化可能导致输出巨大偏差的特性。 第2章：误差的量化与传播 本章侧重于误差的数学描述。引入绝对误差、相对误差的概念，并探讨了误差在加、减、乘、除运算中的传播规律。重点分析了减数损失（Loss of Significance）现象，并提供了一系列重构代数表达式，以最小化或避免在实际计算中出现的精度损失。 第3章：算法的稳定性与效率 引入数值算法评估的核心标准：收敛速度（线性、超线性、二次收敛）和数值稳定性（绝对稳定、渐进稳定）。本章通过比较不同的数值逼近策略，展示了如何从理论上预测一个算法的性能瓶颈，指导读者选择最优的计算路径。 --- 第二部分：求解非线性方程（第4-6章） 本部分致力于寻找函数 $f(x) = 0$ 的根，这是许多科学和工程问题的核心。 第4章：开区间迭代法 详细介绍并推导了牛顿法（Newton's Method）及其几何意义，分析了其二次收敛特性及对初值的敏感性。同时，探讨了割线法（Secant Method）作为牛顿法在无法求导时的替代方案，并对比了它们在计算成本和收敛速度上的权衡。 第5章：闭区间求根法 深入研究了二分法（Bisection Method）的可靠性与线性收敛特性。随后，介绍了假位法（Regula Falsi）和更先进的丰德森法（Brent's Method），后者结合了区间收缩的可靠性和快速收敛的效率。 第6章：多维非线性方程组 将一维问题推广到多维空间。重点讲解了多变量牛顿法的推导，包括雅可比矩阵的构造与求解。同时，介绍了拟牛顿法（Quasi-Newton Methods），特别是BFGS算法在避免显式矩阵求逆方面的优势和应用。 --- 第三部分：线性代数方程组的数值解（第7-10章） 本部分是数值分析的支柱，处理形式为 $Ax=b$ 的方程组的求解问题。 第7章：直接法I——高斯消元法 系统地阐述了经典的高斯消元法及其背后的三角分解原理。详细讨论了浮点运算中的增量计算，以及如何通过行交换操作来保证数值稳定性，引入了主元选择（Pivoting）的概念。 第8章：直接法II——矩阵分解技术 基于高斯消元法，本章深入探讨了三种关键的矩阵分解：LU分解（包括Doolittle和Crout算法）、Cholesky分解（针对对称正定矩阵）以及LUP分解（用于处理奇异性或实现系统化Pivoting）。重点分析了分解过程的计算复杂度。 第9章：矩阵的条件数与求解误差 本章回归误差分析，引入矩阵的条件数（Condition Number）来量化线性系统的病态程度。我们将展示，即使使用高精度解法，病态系统也会导致解向量的巨大误差。讨论了重求解（Iterative Refinement）技术对提高解的精度的应用。 第10章：迭代法基础 针对大规模稀疏矩阵，直接法计算成本过高。本章介绍了迭代法的基本思想，包括雅可比迭代（Jacobi）和高斯-赛德尔迭代（Gauss-Seidel）。分析了这些方法的收敛条件和收敛速度，并引入了残差向量的概念。 --- 第四部分：特征值问题的数值解（第11-13章） 本部分关注如何找到矩阵 $A$ 的特征值 $lambda$ 和特征向量 $v$（满足 $Av = lambda v$）。 第11章：特征值问题的背景与基础算法 回顾特征值的理论性质，并介绍如何利用矩阵的相似变换来简化问题。重点分析了幂迭代法（Power Iteration）及其在寻找最大特征值方面的有效性，以及逆迭代法在寻找接近特定值的特征值中的应用。 第12章：QR算法 介绍求解一般特征值问题最强大的迭代方法——QR算法。详细阐述了QR分解在每次迭代中的作用，以及如何通过Hessenberg简化预处理步骤，大幅提升计算效率。 第13章：对称矩阵的特征值计算 针对对称矩阵，介绍专门优化的方法，如雅可比迭代法（Jacobi Iteration for Eigenvalue）和Lanczos算法的初步概念，这些方法在保证稳定性的同时，收敛速度更快。 --- 第五部分：数值积分与微分（第14-17章） 本部分处理连续函数的数值逼近问题。 第14章：数值微分 基于泰勒展开，推导出有限差分公式（前向、后向、中心差分），并分析这些公式的截断误差阶数。讨论了微分中数值误差放大的问题，强调了在实际应用中应尽量避免直接对带噪数据进行微分。 第15章：牛顿-科特斯求积公式 系统讲解了如何构造数值积分公式。从梯形法则和辛普森法则的推导入手，推广到牛顿-科特斯系列公式，并分析了它们在增加节点后收敛性的提高。 第16章：高斯求积法 介绍了一种远比牛顿-科特斯公式更有效的求积技术。解释了高斯点和高斯权重的选择原理（基于正交多项式），展示了高斯-勒让德求积在固定节点数下能达到的高精度。 第17章：复化积分与自适应方法 讨论了如何通过复合方法（如复化梯形、复化辛普森）来提高精度，同时控制总误差。引入了自适应步长控制的概念，使计算资源集中在函数变化剧烈的区域。 --- 第六部分：常微分方程的数值解法（第18-20章） 本部分关注如何通过数值方法来求解形式为 $y' = f(t, y)$ 的微分方程。 第18章：一阶ODE的单步法 详细介绍欧拉法（Euler's Method）的局限性，随后深入讲解龙格-库塔（Runge-Kutta, RK）方法族。重点分析了著名的四阶RK法的构造原理，以及其局部截断误差的分析。 第19章：多步法与零稳定性 介绍利用历史信息提高效率的多步法，如Adams-Bashforth（开式）和Adams-Moulton（闭式）方法。深入探讨了多步法的稳定性、收敛性和绝对稳定性区域的概念，特别是BDF（反向微分公式）在刚性（Stiff）问题中的应用。 第20章：刚性ODE系统与隐式方法 专门针对那些导数变化速度差异极大的“刚性”系统。解释了为什么显式方法在此类问题中需要极小的步长。重点分析了隐式欧拉法（Implicit Euler）和后向差分公式（BDF）在处理刚性问题时所需的代数方程求解步骤。 --- 学习资源与实践导向 本书的每个章节后均配有深度思考题，旨在检验对理论的理解。此外，书中穿插了大量基于MATLAB/Python的伪代码和实例演示，鼓励读者亲手实现算法，观察不同数值方法的性能差异，从而建立起坚实的计算思维。本书的目标是培养下一代能够自信地选择、实现和验证复杂科学计算方法的工程师和研究人员。

评分☆☆☆☆☆

拿到《数值分析基础》这本书，我第一眼就觉得它的版式设计相当不错，纸张的质感也很好，翻阅起来很舒服。我主要对书中关于“数值积分”的部分比较好奇。在很多工程和科学领域，我们都需要计算一些复杂函数的定积分，而解析积分往往是不可能完成的任务。因此，数值积分方法就显得格外重要。我希望这本书能够详细介绍牛顿-科特斯公式，比如梯形法则、辛普森法则等，并且解释它们之间的区别和适用范围。更重要的是，我希望作者能深入分析这些方法的精度是如何影响最终结果的，以及如何通过增加节点或者使用更高阶的公式来提高精度。此外，如果书中还能介绍一些自适应数值积分方法，那会更让我惊喜，因为这种方法可以根据被积函数的特点自动调整步长，从而在保证精度的同时，尽量减少计算量。我对这类能够体现“智慧”的算法尤为感兴趣，它能够让计算过程更有效率。我也希望书中能够提供一些实际案例，比如在物理模拟或者数据分析中如何应用这些数值积分技术，这样能够让我更直观地感受到数值分析的魅力。

评分☆☆☆☆☆

《数值分析基础》这本书，从我初步浏览的内容来看，它似乎为我打开了一扇通往“常微分方程数值解”的大门。在许多物理、工程以及生物模型中，常微分方程是描述系统动态演化的核心工具，但很多时候，这些方程并没有解析解，只能依靠数值方法来求解。我特别期待书中能够详细介绍欧拉方法，包括前向欧拉、后向欧拉以及改进欧拉方法，并深入分析它们的稳定性和精度。我希望作者能够清晰地解释不同阶数的欧拉方法的原理，以及它们在计算效率和误差控制上的权衡。此外，我非常希望书中能够介绍更强大的方法，例如龙格-库塔（Runge-Kutta）方法，尤其是经典的四阶龙格-库塔法，并解释其在提高精度方面的优势。如果书中还能涉及一些刚性方程组的数值解法，或者多步法等更高级的主题，那就更超出我的预期了。我非常关注数值方法的稳定性和收敛性，希望书中能够提供足够多的理论分析和实例说明，帮助我理解如何在实际问题中选择最合适的数值方法。

评分☆☆☆☆☆

翻开《数值分析基础》，我的目光立即被“函数逼近与插值”这一章吸引了。在很多应用场景中，我们可能只知道离散的若干数据点，但却需要用一个连续的函数来描述或者预测这些数据点之间的趋势。这时，插值和逼近方法就显得至关重要了。我希望这本书能够清晰地讲解拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式，并详细说明它们的构造原理和优缺点。特别是，我希望书中能够讨论龙格现象，以及如何避免或缓解它，因为这是多项式插值中一个非常普遍的问题。另外，我还对样条插值法很感兴趣，特别是三次样条插值，它能够在保证连续性和光滑性的前提下，避免高次多项式插值的振荡问题。如果书中能够对比不同插值方法的特点，并给出选择哪种方法的指导性建议，那对我来说将是非常有价值的。此外，我还想了解一下最佳逼近理论，比如最小二乘逼近，它如何在数据拟合中发挥作用。

评分☆☆☆☆☆

我对《数值分析基础》这本书的期待，主要集中在它对“线性代数方程组的数值解法”的论述上。在科学计算领域，处理大规模线性方程组是家常便饭，而直接求解方法（如高斯消元法）在面对超大规模矩阵时，其计算量和存储量会急剧增长，甚至变得不可行。因此，迭代法就显得尤为重要。我特别希望书中能详细介绍雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法，并深入分析它们的收敛条件和收敛速度。了解在什么情况下，这些迭代方法能够稳定地收敛到真实解，以及如何通过调整参数来加速收敛，这将是我学习的重点。此外，我希望书中能够讨论一些更高级的迭代方法，比如共轭梯度法，这类方法在处理对称正定矩阵时，往往能取得非常好的效果。如果书中还能提及一些预条件子技术，用于改善预条件矩阵的性质，从而加速迭代过程，那就更完美了。我很看重理论的严谨性和方法的有效性，希望这本书能够在这方面有所建树，为我理解和应用这些重要的数值算法打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

《数值分析基础》这本书，我刚拿到手，还没来得及深入研读，但从目录和前言来看，它的定位似乎是比较基础和入门的。我个人对数值分析这个领域一直抱有浓厚的兴趣，尤其是在处理一些解析解难以求得的数学问题时，数值方法就显得尤为重要。这本书的编排方式，看起来是从最基本的一些概念入手，比如误差的产生与控制，然后逐步过渡到插值、逼近、方程求根等核心内容。我特别关注了关于“误差”的部分，因为我觉得这是数值计算的生命线，一旦误差控制不好，结果就可能变得毫无意义。书中是否详细讲解了不同类型误差的来源、量化方法以及如何最小化这些误差，这一点对我来说至关重要。同时，我也期待它能够提供一些生动形象的例子，帮助我理解抽象的数值算法。毕竟，数学知识如果脱离了实际应用，就容易让人觉得枯燥乏味。我希望这本书的语言风格能够清晰易懂，避免使用过于晦涩难懂的术语，让初学者能够毫不费力地跟上作者的思路。如果它还能在章节末尾设置一些思考题或者小练习，那就更好了，这样我可以在学习过程中及时巩固和检验自己的理解程度。