变分法基础与Sobolev空间 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

贾高 著

图书标签:

• 变分法
• Sobolev空间
• 泛函分析
• 偏微分方程
• 数学分析
• 数值分析
• 优化理论
• 应用数学
• 高等数学
• 函数空间

出版社： 上海交通大学出版社

ISBN：9787313121615

版次：1

商品编码：11664579

包装：平装

开本：16 开

出版时间：2014-12-01

用纸：胶版纸

页数：137

字数：169000

正文语种：中文

编辑推荐

　　《变分法基础与Sobolev空间》提供了变分法和Sobolev空间的重要基础知识，可作为数学系高年级本科生选修课教材，或相关专业研究生的基础课教材，也可供有关专业的教师和科技人员参考。

内容简介

　　《变分法基础与Sobolev空间》包括变分法及其应用和Sobolev空间理论两部分。第一部分主要介绍固定边界的变分问题、自由边界的变分问题和变分原理及应用；第二部分主要介绍整指数和实指数Sobolev空间。

内页插图

目录

第1章 固定边界的变分问题
1.1 变分法的提出
1.2 变分基本引理
1.3 泛函极值与Euler方程
1.4 依赖于多个一元函数的变分问题
1.5 依赖于一元函数高阶导数的变分问题
1.6 依赖于多元函数的变分问题
1.7带约束的变分问题
1.8 泛函的高阶变分

第2章 自由边界的变分问题
2.1 单变量函数情形
2.2 多变量函数情形

第3章 变分原理
3.1 函数空间及预备知识
3.2 Poincar6不等式
3.3 微分方程边值问题的弱解
3.4 正定算子与泛函变分
3.5 特征值问题

第4章 关于Sobolev空间的预备知识
4.1 Sobolev空间的产生背景
4.2 Lp空间

第5章 整指数Sobolev空间
5.1 整指数Sobolev空间的定义及简单性质
5.2 Wm，p（Ω）的性质
5.3 Sobolev函数的逼近
5.4 Wmop9（Ω）的对偶空间
5.5 Sobolev不等式与Sobolev嵌入定理

第6章 实指数Sobolev空间简介
6.1 Fourier变换
6.2 实指数Sobolev空间Hs（Rn）
6.3 实指数Sobolev空间H5（Ω）
参考文献

前言/序言

变分法基础与Sobolev空间：深入解析数学分析的基石 本书旨在为读者系统地梳理与介绍数学分析领域中两个核心且相互关联的理论分支：变分法和Sobolev空间。我们力求通过严谨的数学推导与清晰的逻辑阐释，揭示这两个理论的内在联系，以及它们在现代数学研究和诸多应用学科中所扮演的关键角色。 变分法的宏伟图景 变分法，作为一种研究函数极值问题的数学工具，其历史可以追溯到欧拉和拉格朗日等先驱者的工作。它不仅仅是微积分的简单延伸，更是一种全新的思维方式，用以探索那些由函数定义的量（例如长度、面积、能量等）的最小值或最大值。本书将从最基本的变分问题出发，逐步深入到更复杂的情境。 我们首先会介绍变分法的基本概念，包括泛函、极值、变分和欧拉-拉格朗日方程。读者将学习如何定义一个泛函，理解其“函数”的性质，并掌握通过变分原理来寻找使泛函取极值的函数。欧拉-拉格朗日方程作为变分法的核心工具，我们将对其推导过程进行详细解析，并给出其在解决各类物理和几何问题中的经典应用，如最短路径问题（测地线）、最速降线问题以及悬链线问题。 随着理论的深入，我们将探讨一阶和二阶变分，理解它们与函数曲率和稳定性之间的联系。这部分内容将为理解更高级的变分原理打下坚实基础。此外，本书还将涉及边界条件在变分问题中的作用，包括齐次和非齐次边界条件，以及它们如何影响欧拉-拉格朗日方程的解。 为了应对更广泛的变分问题，我们还将引入高阶导数泛函和多元函数的泛函。这使得变分法能够处理更复杂的系统，例如描述连续介质力学的薄板弯曲等问题。本书将重点关注这些泛函的欧拉-拉格朗日方程的构造与求解方法。 Sobolev空间的强大框架 与变分法密切相连，Sobolev空间为理解和处理偏微分方程（PDEs）及其解的性质提供了强大的数学框架。它通过引入“广义导数”的概念，极大地拓展了可导函数的范畴，使得许多在经典意义下不存在或难以描述的函数也能被纳入研究范围。 本书将从经典Lp空间的定义和性质入手，为理解Sobolev空间打下基础。随后，我们将引入Sobolev空间W^{k,p}(Ω)的定义，重点解释“广义导数”的概念及其存在性。读者将理解，Sobolev空间的引入是处理PDEs解的正则性问题和存在性问题的必然要求。 我们将详细探讨Sobolev空间的嵌入定理和迹定理。嵌入定理揭示了Sobolev空间之间的包含关系，说明了在一定条件下，一个Sobolev空间中的函数也属于某个更“光滑”的函数空间，例如C^k空间。这对于分析PDEs解的光滑性至关重要。迹定理则描述了Sobolev函数在区域边界上的性质，这在处理边界值问题时具有不可替代的作用。 此外，本书还将深入研究Sobolev空间的完备性和泛函分析方法在Sobolev空间中的应用。我们将讨论Sobolev空间的内积、范数以及其在希尔伯特空间中的完备性，为进一步应用泛函分析的强大工具（如Riesz表示定理、Hahn-Banach定理等）奠定基础。 变分法与Sobolev空间的交汇 本书的核心价值在于阐述变分法和Sobolev空间之间密不可分的联系。许多偏微分方程可以通过将一个物理或几何问题转化为一个寻找某个泛函极值的变分问题来求解。而Sobolev空间则为理解这些变分问题的解的存在性、唯一性和正则性提供了必要的理论工具。 我们将通过Dirichlet问题等经典例子，直观地展示如何将一个PDE问题转化为一个变分问题，并在Sobolev空间中寻找其解。本书将详细讲解极小化方法在求解变分问题中的应用，以及如何利用Sobolev空间的性质来证明解的存在性。 本书的特色与亮点 系统性与深度并重： 从基础概念到前沿进展，为读者构建一个完整的知识体系。 数学严谨性： 所有结论都基于严格的数学证明，确保理论的可靠性。 清晰的阐释： 复杂的数学概念将通过图示、例子和直观的解释得以清晰呈现。 广泛的应用视角： 穿插介绍变分法和Sobolev空间在物理学、工程学、几何学等领域的经典应用，帮助读者理解理论的实际意义。 循序渐进的学习路径： 难度逐步提升，适合数学专业本科高年级、研究生以及相关领域的研究人员。 通过对《变分法基础与Sobolev空间》的学习，读者将能够深刻理解和掌握现代数学分析中的两大重要工具，为进一步深入研究偏微分方程、泛函分析、几何分析等领域打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

对于任何一个对现代数学分析感兴趣的研究者来说，《变分法基础与Sobolev空间》这本书都无疑是一颗璀璨的明珠。我一直觉得，数学的进步，很多时候是源于对已有概念的深化和拓展，而变分法和Sobolev空间正是这种深化和拓展的杰出典范。变分法，它提供了一种全新的视角来理解和解决问题，不再局限于点上的求导，而是着眼于整个函数的行为，寻找使某个“泛函”取极值的函数。这在物理学中，比如最小作用量原理，有着极其重要的应用。书中对这些基本原理的阐述，我希望能够足够详尽，并且能够引出一些经典的应用实例，比如求解弦的振动方程、薄膜的形状等。而Sobolev空间，在我看来，是变分法得以在更广泛的函数空间中进行分析的基础。它通过对函数及其导数施加 L^p 范数限制，来定义一个具有更好分析性质的函数空间，这对于研究偏微分方程的弱解理论至关重要。我非常期待书中能够深入探讨 Sobolev 空间中的紧嵌入、迹定理等关键性质，以及这些性质如何支撑了偏微分方程理论的蓬勃发展。

评分☆☆☆☆☆

我最近入手了《变分法基础与Sobolev空间》这本书，刚翻了几页就被其严谨的数学语言和深刻的理论内涵所吸引。我一直认为，数学的美就在于其抽象性背后蕴含的普遍规律。变分法的思想，在我看来，是一种将“最优”概念数学化的强大工具，它不仅仅是求解微积分问题的一种延伸，更是一种全新的思考方式，从函数空间的性质出发，来探寻问题的解。书中对于泛函的定义、梯度、以及最速下降法的介绍，相信能够帮助我更好地理解如何从一个“目标函数”出发，寻找最优解。而Sobolev空间，则是我一直以来觉得难以捉摸的概念。它引入了 Sobolev 范数，将函数的导数也纳入了度量的考量之中，这对于处理那些“次光滑”函数，或者研究那些导数可能存在奇异性的问题至关重要。我非常期待书中能够清晰地解释，为什么我们需要定义 Sobolev 空间，以及它与 L^p 空间、C^k 空间等经典函数空间之间的关系和区别。更重要的是，书中关于 Sobolev 嵌入定理、Sobolev 不等式等核心定理的阐述，能否达到那种既严谨又易于理解的程度，对于我深入学习偏微分方程的理论至关重要。

评分☆☆☆☆☆

《变分法基础与Sobolev空间》这本书，在我看来，是一本能够引领读者深入探索数学前沿的绝佳读物。我一直对那些能够从根本上改变我们看待问题的视角的方法论感到着迷，而变分法恰恰是其中之一。它不仅仅是一种求解工具，更是一种思考问题的哲学，让我们能够从“变化”的角度去理解和寻找“最优”的状态。我非常期待书中能够详细阐述变分法的基本概念，从泛函的定义到变分算子的计算，再到一系列经典的变分原理的应用。我希望书中能够用通俗易懂的语言解释复杂的概念，并且通过大量的实例来加深读者的理解。例如，将变分法应用于物理学中的能量最小化问题，或者应用于工程学中的结构优化设计。而Sobolev空间，则是我一直以来觉得是理解偏微分方程“秘密”的关键。它提供了一种全新的函数空间，允许我们讨论那些在经典意义下不够光滑的函数，并且能够运用更强大的分析工具来研究这些函数。我希望书中能够深入讲解 Sobolev 空间的定义、性质，特别是关于 Sobolev 嵌入定理和迹定理的阐述，这些定理对于理解偏微分方程解的存在性和正则性至关重要。

评分☆☆☆☆☆

这本《变分法基础与Sobolev空间》的封面设计着实引人注目，厚重的纸张和经典的配色，让人一看就觉得是一本严肃而深入的学术著作。我一直对偏微分方程和相关的泛函分析理论充满兴趣，尤其是在处理一些复杂的边界值问题时，感觉传统的微积分方法往往显得力不从心。变分法和Sobolev空间的概念，在我看来，就像是为这些难题打开了一扇新的大门，提供了一种更加普适和强大的解决框架。我特别期待书中能详细阐述变分原理的核心思想，比如能量最小化原则是如何在数学上严谨地建立起来的，以及它在物理学、工程学甚至一些新兴科学领域（如机器学习中的优化问题）的应用。Sobolev空间的部分，我更关注其定义、性质以及它如何克服传统Hilbert空间在处理具有一定光滑性要求的问题时的局限性。书中的例子是否足够丰富，能否帮助我理解这些抽象概念在实际问题中的具体体现，是我非常看重的一点。我希望书中能有详实的推导过程，清晰的逻辑链条，让我在阅读时能够循序渐进，逐步掌握这些精妙的数学工具。对于初学者而言，一本好的教材不仅要讲解理论，更要引导读者建立直观的理解，希望这本书能够做到这一点。

评分☆☆☆☆☆

我拿到《变分法基础与Sobolev空间》这本书的时候，就感受到了一种扑面而来的学术气息。我一直认为，数学的深度在于其概念的抽象性和方法的普适性，而变分法和Sobolev空间正是这两种特质的完美结合。变分法的思想，在我看来，是一种将“最优”这一概念数学化的强大工具，它能够帮助我们从宏观上理解问题的本质，寻找使得某个“量”达到最优的“结构”或“函数”。我非常期待书中能够详细阐述变分法的基本原理，包括泛函的定义、变分计算、以及由此推导出的各种变分方程。同时，我也希望书中能够提供一些经典的变分问题及其解法，比如如何利用变分法来求解最小曲面问题，或者如何分析弹性力学中的平衡方程。Sobolev空间，则是研究偏微分方程的“利器”。它允许我们讨论不一定处处可微的函数，并通过引入 Sobolev 范数来度量函数的“光滑性”。我希望书中能够清晰地介绍 Sobolev 空间的构造，以及它与 L^p 空间之间的关系，并且重点讲解 Sobolev 嵌入定理，因为这些定理是理解偏微分方程解的正则性的关键。

评分☆☆☆☆☆

《变分法基础与Sobolev空间》这本书的问世，无疑为数学爱好者和研究者们提供了一份宝贵的财富。我对变分法的认识，一直停留在一些经典的应用层面，比如物理学中的最小作用量原理。我深切地希望这本书能够带我深入探究变分法的数学根基，理解其背后的逻辑，从更抽象的层面把握其精髓。书中对泛函、变分、以及与此相关的最优化理论的阐述，是我非常期待的。我希望能够看到详细的推导过程，并且能够理解这些理论是如何在更广泛的领域得到应用的。例如，在工程领域，如何利用变分法来设计最优结构；在经济学中，如何利用变分法来解决资源配置问题。而Sobolev空间，更是我一直以来觉得是研究偏微分方程的“必备武器”。它提供了一个更加强大的分析框架，允许我们处理那些在经典函数空间下难以研究的问题。我特别关注书中对于 Sobolev 空间的定义、性质，以及与之相关的嵌入定理和迹定理的讲解。我希望这些内容能够清晰易懂，并且能够帮助我建立对这些抽象概念的直观认识。

评分☆☆☆☆☆

我抱着极大的期待翻开了《变分法基础与Sobolev空间》这本书。作为一名在数学领域探索多年的学者，我深知基础理论的重要性，而变分法和Sobolev空间正是连接许多高级数学分支的桥梁。变分法，在我看来，不仅仅是一种求解方法，更是一种深刻的数学哲学，它将“最优”的概念提升到了一个全新的高度，通过分析函数的“形变”来寻找最理想的状态。我希望书中能够详细阐述变分法的基本框架，从拉格朗日量到欧拉-拉格朗日方程，再到更一般的泛函导数。对于初学者来说，理解这些抽象概念需要大量的引导和实例，我期待书中能够提供丰富多样的例子，帮助我们直观地理解这些思想。Sobolev空间，则是我一直以来感觉有些“高深”但又极其重要的领域。它拓宽了我们对函数性质的认识，允许我们处理那些在传统意义下不够光滑的函数，这在许多实际问题中是必不可少的。我特别希望能看到书中对 Sobolev 空间中重要的嵌入定理和迹定理的详细推导和讲解，因为它们是理解偏微分方程解的性质的关键。

评分☆☆☆☆☆

《变分法基础与Sobolev空间》这本书，在我看来，是一本能够引导读者深入理解数学分析深层奥秘的杰作。我一直对那些能够从根本上改变我们思考问题的方式的数学理论充满兴趣，而变分法正是其中之一。它让我们能够从“变化”的角度去寻找“最优”的状态，这在物理学、工程学乃至经济学等众多领域都有着广泛的应用。我希望书中能够详细阐述变分法的核心思想，从泛函的定义、变分计算到欧拉-拉格朗日方程的推导，都能够做到条理清晰、逻辑严谨。同时，我也希望书中能够提供足够多的例子，帮助我们理解这些抽象概念在实际问题中的应用，例如求解悬链线问题、肥皂泡形状问题等。Sobolev空间，则是现代数学分析中一个不可或缺的概念，它为我们研究那些不具备处处可微性质的函数提供了强大的工具。我非常期待书中能够深入讲解 Sobolev 空间的定义、性质，特别是关于 Sobolev 嵌入定理和迹定理的阐述，这些定理是理解偏微分方程解的存在性和正则性的关键。

评分☆☆☆☆☆

我一直觉得，数学的魅力在于它能够用抽象的符号描绘出世界的规律，《变分法基础与Sobolev空间》这本书，正是我期待中的那种能够深入挖掘数学内在美的著作。变分法，在我看来，是一种将“最优”的概念通过数学语言来表达和求解的强大方法，它能够帮助我们从一个更宏观、更全局的视角去理解问题。我非常期待书中能够清晰地阐述变分法的基本原理，比如如何定义一个泛函，如何计算泛函的导数，以及如何通过求解欧拉-拉格朗日方程来找到最优解。同时，我也希望书中能够提供一些实际的应用案例，比如在物理学中求解最小作用量原理，或者在工程学中优化材料的分布。Sobolev空间，则是我觉得是现代分析学中一个非常重要的概念，它极大地拓展了我们处理函数的能力，特别是对于那些在经典意义下不够光滑的函数。我希望书中能够详细解释 Sobolev 空间的构造，以及它在偏微分方程理论中的应用，尤其是关于 Sobolev 嵌入定理和迹定理的讲解，因为这些定理对于理解偏微分方程的解的存在性和正则性至关重要。

评分☆☆☆☆☆

自从我注意到《变分法基础与Sobolev空间》这本书以来，我就一直对其内容充满好奇。我一直认为，数学工具的价值在于其普适性和解决实际问题的能力，而变分法和Sobolev空间恰恰是满足这两点的绝佳例子。变分法的核心思想，在我看来，就是通过寻找一个使某个“积分”或“能量”最小（或最大）的函数来解决问题。这在物理学中无处不在，从经典力学到量子力学，都离不开变分原理的身影。我期待书中能深入探讨变分法的基本原理，比如如何定义泛函，如何计算泛函的变分，以及如何推导出欧拉-拉格朗日方程。更重要的是，我希望书中能够展示变分法在解决实际问题中的应用，例如求解悬链线问题、肥皂泡形状问题等，通过这些生动的例子来加深对理论的理解。Sobolev空间，则是我觉得非常“先进”的概念，它允许我们处理那些不那么光滑的函数，并且引入了更强的分析工具，这对于研究偏微分方程的弱解至关重要。我希望书中能够清晰地解释 Sobolev 空间的定义，以及它与 L^p 空间和 Sobolev 范数之间的关系，并且详细介绍 Sobolev 嵌入定理和迹定理等关键结果，因为这些是理解偏微分方程解的性质的基础。

评分☆☆☆☆☆

书质量不错

评分☆☆☆☆☆

比较简明的变分法教材和索伯列夫空间入门教材，可以一看。

评分☆☆☆☆☆

书质量不错

评分☆☆☆☆☆

很好的Sobolev教材

评分☆☆☆☆☆

此书内容全面专业讲解详细

评分☆☆☆☆☆

不错不错，双十一买很划算

评分☆☆☆☆☆

有限元法的基础，必看之书！

评分☆☆☆☆☆

不错不错，双十一买很划算

评分☆☆☆☆☆

非常好，包装不错，物流也很快