伸缩变换与抛物旋转 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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张家瑞，李兴春 著

图书标签:

• 伸缩变换
• 抛物旋转
• 几何变换
• 数学
• 高等数学
• 解析几何
• 几何学
• 变换群
• 数学分析
• 对称性

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560345949

版次：1

商品编码：11705922

包装：平装

开本：16开

出版时间：2015-01-01

用纸：胶版纸

页数：266

字数：275000

正文语种：中文

内容简介

　　《伸缩变换与抛物旋转》针对“伸缩变换”这一课题进行深入研究。全书分为伸缩变换及抛物旋转两部分，详细的阐述了几何图形间的位置关系及性质相互转化。
　　《伸缩变换与抛物旋转》适合数学爱好者研读，也可以作为教师的教学参考用书。

内页插图

目录

第一章 伸缩变换
§1 伸缩变换及其性质
§2 圆的基本性质向椭圆的演化
§3 研究椭圆几何性质的重要方法——椭圆化圆
§4 习题一
§5 伸缩变换在平面几何中的应用
§6 习题二

第二章 抛物旋转——π变换
§1 抛物旋转及其性质
§2 抛物旋转的几何背景
§3 抛物旋转下形形式式的曲线
§4 非对称型的π变换——π0变换

附录
附录1 解析几何中常用公式
附录2 部分数学期刊解析几何研究文目

前言/序言

《几何变换与拓扑流形：欧氏空间中的刚性与形变》 内容简介 本书深入探讨了现代几何学中至关重要的两个核心领域：欧几里得空间中的刚性运动（即等距变换）与更广泛的连续形变（拓扑变换）。全书以严谨的数学语言和清晰的几何直觉为基础，旨在为读者构建一个从基础线性代数到高级微分几何的桥梁。 第一部分：欧氏空间中的刚性变换与对称性 本部分聚焦于三维欧氏空间 $mathbb{R}^3$ 上的等距变换群，这是理解物体在空间中保持其形状和大小的运动的基础。 第一章：基础向量空间与内积结构 我们从回顾 $mathbb{R}^3$ 的基本结构开始，重点阐述内积（点积）如何赋予空间度量和角度的概念。详细讨论了正交基、Gram-Schmidt 正交化过程，以及由这些基向量构成的正交矩阵的性质。强调了正交矩阵在保持向量长度和角度不变性上的核心作用。 第二章：刚体运动的代数表达 本章深入分析了欧氏空间中的刚体运动（Isometries）。这包括平移、旋转以及反射。我们证明了任何刚体运动 $T: mathbb{R}^n o mathbb{R}^n$ 都可以唯一地分解为一个旋转（或反射，取决于行列式的值）和一个平移：$T(mathbf{x}) = Rmathbf{x} + mathbf{t}$，其中 $R$ 是正交矩阵，$mathbf{t}$ 是平移向量。通过引入齐次坐标（Homogeneous Coordinates），我们将这种仿射变换统一表示为 $4 imes 4$ 矩阵在 $mathbb{R}^4$ 上的线性变换，极大地简化了复合变换的计算和表示。 第三章：旋转群 $SO(3)$ 的结构 本章专注于三维空间中的纯旋转群 $SO(3)$。详细讨论了旋转轴和旋转角表示法，如欧拉角（Euler Angles）的定义及其存在的万向节死锁（Gimbal Lock）问题。随后，引入四元数（Quaternions）作为描述三维旋转的更优越工具。四元数不仅避免了欧拉角的奇异性，而且在插值和平滑运动控制中展现出显著优势。我们详述了四元数与旋转矩阵之间的转换公式，并探讨了如何利用四元数来描述连续、平滑的三维旋转序列。 第四章：对称性与晶体学基础 本章将刚体运动与抽象代数中的群论相结合。我们研究物体或配置所具有的对称性，即作用于该物体后使其保持不变的变换集合。这构成了空间群（Space Groups）和点群（Point Groups）的理论基础。详细分析了晶体学中涉及的平移、旋转、反射和螺旋转（Rotoinversion）操作，并探讨了这些对称性在物理性质（如光学活性、电导率）中的体现。 第二部分：连续形变与拓扑性质 在介绍了刚性结构之后，本部分将视角从保持距离的变换扩展到允许拉伸、压缩和弯曲的连续形变，即拓扑形变。 第五章：拓扑空间的引入 本章为理解连续形变奠定基础，引入拓扑学中的基本概念。定义了拓扑空间、开集、闭集、邻域以及连续函数。重点探讨了度量空间（Metric Spaces）作为拓扑空间的一个重要子类，并解释了度量（距离函数）如何决定拓扑结构。我们将欧氏空间 $mathbb{R}^n$ 视为一个具有标准欧氏度量的拓扑空间。 第六章：同胚与拓扑不变量 同胚（Homeomorphism）是拓扑学中最核心的概念，它描述了“可以连续地、可逆地形变”的关系。本章聚焦于拓扑不变量——那些在所有同胚变换下保持不变的性质。深入讨论了连通性（Connectedness，包括路径连通性）、紧致性（Compactness）以及亏格（Genus）的概念。亏格，作为连接三维流形的重要拓扑量，将在后续章节中得到更广泛的应用。 第七章：流形的局部结构 本章将拓扑学的概念提升到微分几何的层面，引入流形（Manifolds）的概念。流形被定义为局部看起来像欧氏空间的拓扑空间。详细讨论了二维流形（曲面）的构造，如球面、环面、以及各种不可定向曲面（如克莱因瓶）。通过构造局部坐标图集（Atlas），我们展示了如何在非线性结构上定义微积分，这是进行曲率和形变分析的先决条件。 第八章：微分结构与第一基本形式 在流形上赋予微分结构，使得我们可以讨论光滑的形变。本章引入了切空间（Tangent Space）的概念，它本质上是流形上每一点的“局部欧氏空间”。对于嵌入在 $mathbb{R}^3$ 中的曲面，我们定义了第一基本形式（The First Fundamental Form），它是一个定义在切空间上的二次型，用于度量曲面上的长度和角度。通过分析第一基本形式的系数矩阵，我们可以计算出曲面的内在几何属性，如高斯曲率。 第九章：曲率与测地线 曲率是度量空间偏离平坦程度的关键量。本章区分了外部曲率（依赖于流形在更高维空间中的嵌入方式）和内在曲率（仅依赖于流形自身的度量结构）。我们详细分析了高斯曲率（Gaussian Curvature）及其与李安氏定理（Theorema Egregium）的关系，该定理表明高斯曲率是拓扑不变的。最后，探讨了测地线（Geodesics）——流形上的“最短路径”，并解释了测地线方程的物理和几何意义。 第十章：形变理论与物质张量 本章将前述的几何概念应用于物理和工程中的连续介质力学。形变梯度张量（Deformation Gradient Tensor）被引入，用于描述材料点在形变前后的相对位置变化。我们分析了右侧柯西-格林张量（Right Cauchy-Green Tensor）和左侧柯西-格林张量（Left Cauchy-Green Tensor），它们是度量形变程度的关键工具。本章还讨论了保角变换（Conformal Mappings），即保持角度但不一定保持长度的形变，以及体积保持形变（Isovolumetric Deformations）在不可压缩材料模型中的应用。 结论 全书通过这种结构化的方式，清晰地划分了“不改变形状和大小的刚性变换”与“允许局部拉伸和压缩的连续形变”之间的数学界限，为读者提供了一个全面而深刻的几何学视角。本书适合于高等数学、理论物理或工程力学背景，希望深入理解空间结构及其运动规律的研究者与学生。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，《伸缩变换与抛物旋转》这本书，我最初是抱着猎奇的心态去阅读的。我对“伸缩变换”这个词的想象，停留在一个比较表面的层面，比如图像的放大缩小。但读进去之后，我才发现这本书的内容远比我想象的要深刻和广阔。作者对于伸缩变换的定义和性质的讲解，不仅严谨，而且非常注重其在不同数学领域中的联系和应用。例如，书中提到它与线性代数中的矩阵变换息息相关，以及它在微分几何中的作用，这些都让我对伸缩变换有了更全面的认识。而关于抛物旋转的部分，我更是被其在物理学中的地位所吸引。书中对于抛物线运动的分析，从基本的受力分析到能量守恒的应用，都写得非常透彻。我尤其喜欢作者对不同情况下抛物运动的轨迹进行比较分析，这让我对物理世界中的运动规律有了更直观的理解。尽管书中涉及的数学和物理知识量很大，但作者的写作风格非常流畅，而且善于用通俗易懂的比喻来解释复杂的概念，让我阅读起来并不感到吃力，反而有种豁然开朗的感觉。

评分☆☆☆☆☆

《伸缩变换与抛物旋转》这本书，绝对是我近期阅读中，最让我感到惊喜的一本。我之前对这两个概念的了解仅仅停留在一些非常基础的科普层面，但这本书彻底刷新了我的认知。作者在介绍伸缩变换时，并没有直接跳到复杂的公式，而是从变换的基本思想入手，逐步引入向量、坐标系等概念，让读者能够循序渐进地理解。我特别欣赏书中对不同类型伸缩变换的分类和举例，比如各向同性伸缩、各向异性伸缩，以及它们在图像处理和计算机图形学中的应用，这些都让我看到了数学在现代科技中的重要作用。至于抛物旋转，作者更是将它与我们日常生活中能够观察到的现象紧密联系起来，比如抛物线天线、喷泉的水流等，让我直观地感受到了数学的实际意义。书中对于抛物线方程的推导过程也写得非常详尽，并且分析了各种参数对抛物线形状和位置的影响，这让我对抛物线的性质有了更深刻的理解。总的来说，这本书不仅内容翔实，而且讲解方式非常生动有趣，对于想要系统学习这两个数学概念的读者来说，绝对是一本值得推荐的入门读物。

评分☆☆☆☆☆

作为一名资深的文学爱好者，我通常不太涉足科学类书籍，但《伸缩变换与抛物旋转》却意外地吸引了我。起初，我以为这只是一本晦涩难懂的学术著作，但翻开后，我被作者那如同诗歌般的语言所折服。书中对伸缩变换的描述，仿佛是在描绘空间的舞蹈，每个细微的拉伸和压缩都蕴含着宇宙的韵律。而当作者笔锋一转，开始解析抛物旋转时，我仿佛看到了天空中划过的流星，或者是古代弓箭手射出的箭矢，那优美的抛物线轨迹，在作者的文字下被赋予了生命。最让我感到惊艳的是，作者竟然能够将如此复杂的数学概念，用如此富有想象力和画面感的方式呈现出来。我从未想过，数学的抽象逻辑，也能与艺术的美感如此完美地融合。即使某些数学原理我无法完全理解，但书中传递的那种对自然界规律的敬畏和探索精神，已经深深打动了我。这本书让我看到了科学的另一面，它不仅仅是理性的计算，更是对世界奥秘的浪漫想象。它为我打开了一扇新的窗户，让我得以窥见科学光辉中闪耀的人文情怀。

评分☆☆☆☆☆

这本《伸缩变换与抛物旋转》着实让我眼前一亮，虽然我对数学概念一向有些畏惧，但书中深入浅出的讲解方式，以及大量精心设计的插图，让原本抽象的公式和定理变得鲜活起来。我尤其喜欢作者在介绍伸缩变换时，通过类比生活中的放大镜、拉伸橡皮筋等现象，一点点引导读者理解其本质，而非直接抛出枯燥的定义。而当进入到抛物旋转的部分，作者更是巧妙地将几何图形与物理世界的运动轨迹相结合，比如对物体抛射时的运动曲线的分析，让我豁然开朗。最让我印象深刻的是，书中不仅仅局限于理论知识的阐述，还穿插了不少实际应用案例，例如在建筑设计、工程制造甚至艺术创作中，伸缩变换和抛物旋转是如何被巧妙运用的。这些案例让我深刻体会到数学的魅力，它不仅仅是书本上的符号，更是构建我们现实世界的基础。虽然有些章节需要反复阅读才能完全领会，但这种循序渐进的学习过程，让我感到满足和充实，也激起了我对数学更深层次的探索欲望。总而言之，这本书对于想要了解或深化理解伸缩变换与抛物旋转的读者来说，绝对是一本不可多得的宝藏。

评分☆☆☆☆☆

说实话，《伸缩变换与抛物旋转》这本书简直是颠覆了我对数学学习的认知。我一直觉得数学是枯燥且难以掌握的，但这本书完全改变了我的看法。作者的讲解逻辑清晰，层次分明，而且非常注重概念的引入和发展。我特别喜欢书中对于伸缩变换的阐述，它不仅仅是讲解公式，更是通过历史故事和数学家的探索过程，让我理解了这些概念是如何一步步被发展和完善的。这种方式不仅增加了趣味性，也让我能够更好地理解概念背后的思想。而关于抛物旋转的部分，作者更是通过大量的实例，比如卫星的运行轨道、高尔夫球的飞行轨迹等，让我看到了这些数学原理在现实生活中的广泛应用。我过去从未想过，自己可能接触到的这些看似遥远的数学概念，竟然与我们的日常生活息息相关。书中很多部分的推导过程都写得非常细致，即使是我这种数学基础不太扎实的人，也能通过仔细阅读和思考，逐渐理解其中的奥秘。这本书真的让我感受到了学习数学的乐趣，并且激发了我进一步深入研究的动力。