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同济大学应用数学系 编

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• 高等数学
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• 微积分
• 函数
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出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040196221

版次：3

商品编码：11788485

包装：平装

丛书名： 普通高等教育“十一五”国家级规划教材

开本：32开

出版时间：2006-07-01

用纸：胶版纸

正文语种：中文

内容简介

　　《高等数学（本科少学时类型 第3版 下册）》按照适当降低理论深度，突 出微积分中实用的分析和运算方法，着重基本技能的 训练而不过分追求技巧的原则，对第二版作了修订。
　　内容上作了一些增删；结构上作了适当调整；删去了 某些要求过高的习题，增加了突出基本训练的题目， 增加了便于阶段复习的章复习题，使之适应《高等数学（本科少学时类型 第3版 下册）》的 使用要求。《高等数学（本科少学时类型 第3版 下册）》可作为本科少学时专业和专科的高等 数学教材或参考书。

目录

第七章 向量代数与空间解析几何
第一节 向量及其线性运算
一、向量概念
二、向量的加减法
三、向量与数的乘法
习题7-1
第二节 点的坐标与向量的坐标
一、空间直角坐标系
二、利用坐标作向量的线性运算
三、向量的模、两点间的距离
四、向量的方向角与方向余弦
五、向量在轴上的投影
习题7-2
第三节 数量积向量积。混合积
一、两向量的数量积
二、两向量的向量积
三、向量的混合积
习题7-3
第四节 平面及其方程
一、点的轨迹方程的概念
二、平面的点法式方程
三、平面的一般方程
四、两平面的夹角
习题7-4
第五节 空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程
二、空间直线的点向式方程与参数方程
三、两直线的夹角
四、直线与平面的夹角
五、杂例
习题7-5
第六节 旋转曲面和二次曲面
一、旋转曲面
二、二次曲面
习题7-6
第七节 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程
二、空间曲线的参数方程
三、空间曲线在坐标面上的投影
习题7-7

第七章复习题

第八章 多元函数微分法及其应用
第一节 多元函数的基本概念
一、多元函数概念区域
二、多元函数的极限
三、多元函数的连续性
习题8-1
第二节 偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
二、高阶偏导数
习题8-2
第三节 全微分
习题8-3
第四节 多元复合函数的求导法则
习题8-4
第五节 隐函数的求导公式
习题8-5
第六节 多元函数微分法的几何应用举例
一、空间曲线的切线与法平面
二、曲面的切平面与法线
习题8-6
第七节 多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值及*大值、*小值
二、条件极值
习题8-7

第八章复习题

第九章 重积分及曲线积分
第一节 二重积分的概念与性质
一、曲顶柱体的体积与二重积分
二、二重积分的性质
习题9-1
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
习题9-2
第三节 二重积分的应用
一、曲面的面积
二、平面薄片的质心
三、平面薄片的转动惯量
习题9-3
第四节 三重积分
一、三重积分的概念
二、三重积分的计算法
三、三重积分的应用
习题9-4
第五节 对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念
二、对弧长的曲线积分的计算法
习题9-5
第六节 对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念
二、对坐标的曲线积分的计算法
习题9-6
第七节 格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
习题9-7

第九章复习题

第十章 无穷级数
第一节 常数项级数的概念与性质
一、常数项级数的定义
二、级数的性质
习题10-1
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法
三、第一收敛与条件收敛
习题10-2
第三节 幂级数
一、函数项级数的一般概念
二、幂级数及其收敛区间
三、幂级数的运算
习题10-3
第四节 函数展开成幂级数
习题10-4
第五节 幂级数在近似计算中的应用
习题10-5

第十章复习题
习题答案

数学思维的阶梯：微积分与线性代数的深度探索 《高等数学（本科少学时类型 第3版 下册）》 旨在为理工科、经管类等专业学生提供一个坚实而精炼的数学基础，侧重于微积分的深入应用与线性代数核心概念的掌握。本书精选内容，力求在有限的学时内，最大化学生对数学工具的理解与应用能力，为后续的专业课程学习打下坚实的基础。 本书的结构分为两大核心模块：微积分下部（侧重多元函数微积分） 与 线性代数。我们摒弃了冗余的理论推导，转而聚焦于概念的清晰阐释、计算技巧的熟练掌握以及在工程、科学问题中的实际应用。 --- 第一部分：多元函数微积分——空间的几何与分析 本部分是高等数学中难度与应用深度并存的核心内容。我们不再局限于一维空间中的函数，而是将视野拓展到多维空间，处理更复杂的实际问题，例如物理场、经济模型中的多元约束优化等。 1. 空间几何基础与向量代数的回顾与深化： 在进入多元函数之前，我们首先对三维空间中的基本几何概念进行回顾与巩固。重点在于向量的线性运算、点积（内积）与叉积（外积）的几何意义及其在求解空间关系（如平面法向量、两直线夹角）中的应用。这部分内容为后续的偏导数和方向导数提供了直观的几何背景。 2. 偏导数与多重函数的分析： 多元函数的概念是本章的基石。我们详细讲解偏导数的定义，强调其“沿坐标轴方向的变化率”这一物理意义。通过大量的实例，训练读者快速求出复杂复合函数、隐函数及参数方程的偏导数。 链式法则的扩展： 多元函数链式法则的复杂性要求学生掌握清晰的思维路径，本书通过树状图辅助理解，确保学生能应对多层次的函数依赖关系。 方向导数与梯度： 方向导数是偏导数的推广，它揭示了函数在任意方向上的变化速率。梯度向量被重点强调，它不仅指示了函数值增长最快的方向，其模长还代表了该方向上的最大变化率。这对于理解物理学中的势能面和电磁场梯度至关重要。 泰勒公式与极值问题： 多元函数的泰勒公式是局部逼近的利器。我们着重讲解二阶偏导数组成的Hessian矩阵，并利用其性质（如矩阵的正定性）来判别多元函数的局部极值点（最大值、最小值和鞍点），这是优化问题的理论基础。 3. 多重积分——从面积到体积的飞跃： 积分学的概念从一维扩展到二维和三维空间，是理解物理量累积（如总质量、总电荷）的关键。 二重积分的建立与计算： 我们首先明确二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）。重点在于积分区域的划分和积分次序的互换。通过展示不同形状区域（如圆形、扇形、不规则区域）的积分设置，使学生掌握“先易后难”的计算策略。 坐标变换： 极坐标变换是计算圆形、环形区域积分的强大工具。我们深入讲解了雅可比行列式的物理意义（面积或体积微元的缩放因子），并将其应用于极坐标、柱坐标和球坐标变换中，这是解决复杂几何体积分的必备技能。 三重积分的应用： 三重积分用于计算空间区域的体积、质量、质心、转动惯量等。柱坐标和球坐标在处理具有轴对称或中心对称特性的三维问题时展现出无与伦比的优势。 4. 线积分与面积分——场论的初步接触： 这部分内容是连接微积分与经典物理场论（如流体力学、电磁学）的桥梁。 线积分（第一类与第二类）： 第一类线积分与曲线的密度、长度相关；第二类线积分（或称功的计算）则与保守场（如重力场）的概念紧密相连。我们详细介绍了路径无关性和保守场的判别条件（旋度为零）。 面积分： 面积分用于计算曲面的性质，如通过曲面的电荷分布或流体流量。 格林公式、斯托克斯公式与高斯公式（散度定理）： 这三大基本定理是多元微积分的压轴大戏。它们揭示了保守量在边界（曲线、曲面）上的积分与其内部（面积、体积）积分之间的深刻联系。我们侧重于理解这些公式的几何意义，并熟练运用它们将复杂边界上的积分转化为简单区域上的积分，从而简化计算。 --- 第二部分：线性代数——结构化的力量 线性代数是现代科学、工程、数据分析的语言。本部分聚焦于向量空间、矩阵运算的几何解释以及特征值问题的核心。 1. 矩阵代数与线性方程组的求解： 矩阵运算的几何意义： 除了基本的加减乘除，我们强调矩阵乘法是线性变换的表示。一个 $m imes n$ 矩阵可以将 $n$ 维空间中的向量变换到 $m$ 维空间。 线性方程组的求解： 高斯消元法和初等行变换是求解方程组的基本工具。重点在于理解增广矩阵的秩（Rank）与解的存在性和唯一性之间的关系。 矩阵的逆与行列式： 行列式被引入作为判断矩阵是否可逆（即线性变换是否可逆）的判据。其计算方法（代数余子式展开）和性质（行变换对行列式的影响）需熟练掌握。 2. 向量空间与线性映射： 这是理解线性代数本质的关键抽象概念。 线性相关性、基与维数： 我们清晰定义了线性组合、线性包、线性相关性。基被定义为张成空间且线性无关的一组向量，维数是基中向量的数量。这提供了精确量化空间复杂性的工具。 子空间： 重点分析四种基本子空间：列空间（值域）、零空间（核）、行空间和左零空间。它们之间的关系，特别是秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem），是理解线性映射结构的核心。 3. 特征值与特征向量： 特征值问题是分析动态系统、稳定性和模式识别的基础。 定义与意义： 特征向量是在经过线性变换后方向不发生改变的向量（只发生伸缩），特征值 $lambda$ 是其伸缩的比例因子。求解过程归结为求解 $det(A - lambda I) = 0$。 对角化： 当矩阵拥有足够的线性无关的特征向量时，矩阵可以被对角化 $A = PDP^{-1}$。对角化极大地简化了矩阵的幂运算 $A^k$，在解决递推关系和动力学系统时极为有用。 实对称矩阵的性质： 强调实对称矩阵的特征值必为实数，且其特征向量相互正交，这使得它们在傅里叶分析和主成分分析（PCA）中扮演核心角色。 4. 二次型与欧几里得空间： 二次型是二次多项式的矩阵表示，是多元函数极值问题在二次近似下的推广。我们通过正交对角化将二次型化为标准形，从而判断其正定性、半正定性，这在优化问题的稳定性分析中具有直接的工程意义。 --- 结语 本书严格遵循“应用驱动，理论支撑”的原则，确保每一部分内容都与实际问题紧密相连。它不是一本为数学家准备的巨著，而是为未来工程师、科学家提供一套精良而实用的“数学工具箱”。通过对多元微积分和线性代数的系统学习，学生将能以更成熟、更结构化的视角去审视和解决更复杂的现实世界问题。

评分☆☆☆☆☆

不得不说，这本《高等数学（本科少学时类型 第3版 下册）》是一本相当“硬核”的教材。虽然是“少学时”版本，但里面的内容丝毫没有含糊。它更像是一本“高级工具箱”，里面装满了解决数学问题的利器，但需要使用者自己去掌握使用方法。我最先接触到的内容就是关于向量分析的部分，虽然我之前学过一些基础概念，但这本书将它们系统地整合起来，并且引入了一些我之前没见过的概念，比如散度和旋度在物理中的具体应用。它并没有花大量篇幅去解释这些概念的“前世今生”，而是直接告诉你它们是什么，有什么用，怎么算。这对于时间紧张的本科生来说，效率非常高。当然，也正是因为这种直接，有时候会让人觉得有点“摸不着头脑”，需要反复研读，甚至结合其他资料才能完全理解。但总的来说，这本书在有限的篇幅内，提供了一个高效的学习路径，对于想要在短时间内掌握高等数学关键知识点的同学，是个不错的选择。

评分☆☆☆☆☆

说实话，拿到这本《高等数学（本科少学时类型 第3版 下册）》时，我内心是有点忐忑的。毕竟“少学时”三个字，总让人觉得内容会不会被大幅删减，或者讲得过于浅显，不够深入。但实际阅读下来，发现我的担忧是多余的。这本书在保持精炼的同时，依然涵盖了高等数学下册的核心内容，例如我对二重积分和三重积分的部分印象特别深刻。书中的讲解思路清晰，例题的选取也很有代表性，能够很好地引导读者理解抽象的概念。我尤其喜欢书中对一些定理的推导过程，虽然篇幅上有所压缩，但关键步骤都保留了，并且解释得相当到位，让我不再是死记硬背公式，而是能够理解公式是如何得来的。当然，这本书的难度依然不小，尤其是当涉及到一些复杂的计算和证明时，需要花费大量的时间去琢磨和练习。但我认为，正是这种挑战性，才能真正提升我们的数学思维能力。这本书的语言风格也比较平实，没有过多的华丽辞藻，直奔主题，对于我这种只想快速掌握知识点的人来说，非常实用。

评分☆☆☆☆☆

这本《高等数学（本科少学时类型 第3版 下册）》算是我大学生涯里磨得最厉害的一本教材了。当初选这门课的时候，老师就说了，这是“精简版”，但即便如此，内容依然是厚实得让人头皮发麻。拿到书，第一感觉就是沉甸甸的，仿佛里面压满了知识的砝码。翻开目录，那密密麻麻的章节标题，什么多元函数微分、积分，微分方程，级数，向量场……每一个词都像一个小小的知识雷区，让人既期待又有点恐惧。我记得第一次尝试做里面的例题，那简直是一场与数学符号的搏斗，一会儿是偏导数，一会儿是重积分，公式一个套一个，稍不留神就跟不上思路。尤其是那些证明题，有时候感觉自己像是被数学的逻辑链条缠绕住，怎么都理不清头绪。不过，每次攻克一个难题，那种成就感又会瞬间填满内心的空虚，让人觉得之前所有的挣扎都是值得的。这本书的排版还可以，虽然内容多，但关键公式和定义都用醒目的方式标注出来了，这在深夜苦读时，无疑是一盏指路的明灯。虽然是“少学时”，但它依旧保持了高等数学的严谨性，对于想要打下坚实基础的同学来说，这本书绝对是一个不容忽视的伙伴。

评分☆☆☆☆☆

当初选择这本《高等数学（本科少学时类型 第3版 下册）》纯粹是因为老师推荐，说是“够用就好”。拿到手后，确实感受到了“少学时”带来的变化，它在内容取舍上显得更加精炼，没有那些“锦上添花”的章节，而是直击核心。我印象最深的是关于多变量微积分的部分，比如曲线积分和曲面积分。书中的讲解没有像一些“全能型”教材那样面面俱到，但它选取了最有代表性的定理和方法，并且通过精心设计的例题，将抽象的概念具象化。我曾经花了好几个小时去理解格林公式和斯托克斯公式的几何意义，这本书在这方面的阐述虽然简练，但点到为止，让我能够快速抓住问题的关键。它迫使我更加主动地去思考，去联系前后知识点，而不是被动地接受信息。这本书的挑战性在于它的“留白”，需要读者自己去填补，去延伸，这反而锻炼了独立思考的能力，让我受益匪浅。

评分☆☆☆☆☆

翻开这本《高等数学（本科少学时类型 第3版 下册）》，我脑海里立刻浮现出无数个在图书馆挑灯夜读的夜晚。这本书是我的“学习伴侣”，更是我“挑战对象”。它不像有些教材那样，把每一个概念都掰开揉碎了讲，而是更侧重于方法和技巧的传授，适合有一定数学基础，并且时间有限的本科生。书中关于微分方程的部分，我感觉是它的一大亮点。它没有把所有的类型都一一列举，而是选取了最常用、最典型的几种，并且给出了非常实用的解题思路和步骤。这对于我这种常常被各种微分方程的变种搞得晕头转向的学生来说，简直是救星。此外，它对级数展开的讲解也很有条理，从泰勒级数到傅里叶级数，虽然略去了部分繁琐的推导，但核心思想和应用场景都讲得清清楚楚。我常常把它作为解决实际问题时的参考手册，遇到棘手的数学难题，翻开它，总能找到一些启发。它不是那种让你一读就懂的书，但当你真正去理解它、消化它的时候，会发现它蕴含着强大的力量。