數值計算方法（第2版） 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

簡體網頁||繁體網頁

☆☆☆☆☆

蔡鎖章，楊明，雷英傑 著

圖書標籤:

• 數值計算
• 數值分析
• 科學計算
• 算法
• 數學
• 高等數學
• 工程數學
• 計算方法
• 數值方法
• 理工科

齣版社： 國防工業齣版社

ISBN：9787118107616

版次：2

商品編碼：11887815

包裝：平裝

叢書名： 普通高等院校“十三五”規劃教材

開本：16開

齣版時間：2016-02-01

用紙：膠版紙

頁數：246

字數：394000

正文語種：中文

內容簡介

　　《數值計算方法（第2版）》在高等理工科院校的高等數學和綫性代數知識的基礎上，介紹數值計算方法的基本概念、方法和理論，著重介紹工程計算中的常用算法，包括誤差理論、方程的近似解法、綫性方程組解法、特徵值和特徵嚮量的求法、插值法和麯綫擬閤、數值微分與數值積分、常微分方程數值解法、偏微分方程數值解法等。各章配有適量習題，並附有習題答案。
　　《數值計算方法（第2版）》可作為高等工科院校數值計算方法的教材，也可供工程技術人員自學參考。

目錄

第1章 誤差分析與數值計算
1．1 引言
1．1．1 誤差的來源
1．1．2 誤差理論在數值計算中的作用
1．2 絕對誤差與相對誤差、有效數字
1．2．1 絕對誤差與相對誤差
1．2．2 有效數字
1．3 近似數的簡單算術運算
1．3．1 近似數的加法
1．3．2 近似數的乘法
1．3．3 近似數的除法
1．3．4 近似數的冪和根
1．3．5 近似數的對數
1．3．6 近似數的減法
1．4 數值計算中誤差分析的若乾原則
習題1

第2章 非綫性方程（組）的近似解法
2．1 引言
2．2 根的隔離
2．2．1 根的隔離
2．2．2 代數方程實根的上下界
2．2．3 代數方程實根的個數
2．3 對分法
2．4 迭代法
2．4．1 迭代法
2．4．2 收斂定理
2．4．3 迭代法收斂速度
2．4．4 加速收斂技術
2．5 牛頓迭代法
2．5．1 牛頓迭代公式
2．5．2 牛頓迭代法的收斂性
2．5．3 牛頓法中初始值的選取
2．6 弦截法
2．7 用牛頓法解方程組
習題2

第3章 綫性方程組的解法
3．1 引言
3．2 高斯消去法
3．2．1 順序高斯消去法
3．2．2 主元消去法
3．3 矩陣的LU分解
3．3．1 矩陣的LU分解
3．3．2 矩陣A的LU分解求法
3．4 對稱矩陣的LDLT分解
3．4．1 對稱矩陣的矩陣分解形式
3．4．2 對稱矩陣LDLT分解的計算公式
3．4．3 對稱帶形矩陣LDLT分解的帶寬性質
3．4．4 解對稱正定綫性方程組的矩陣分解法
3．5 綫性方程組解的可靠性
3．5．1 誤差嚮量和嚮量範數
3．5．2 殘嚮量
3．5．3 誤差的代數錶徵
3．5．4 病態綫性方程組
3．5．5 關於病態方程組的求解問題
3．6 簡單迭代法
3．6．1 迭代法簡介
3．6．2 迭代過程的收斂性
3．7 雅可比迭代法與高斯-塞得爾迭代法
3．7．1 雅可比迭代法
3．7．2 高斯-塞得爾迭代法
3．7．3 雅可比迭代法和高斯-塞得爾迭代法的收斂性
3．8 解綫性方程組的超鬆弛法
習題3

第4章 矩陣特徵值與特徵嚮量的計算
4．1 引言
4．2 冪法與反冪法
4．2．1 冪法
4．2．2 反冪法
4．3 雅可比方法
4．3．1 預備知識
4．3．2 雅可比方法
習題4

第5章 插值與擬閤
5．1 引言
5．2 插值多項式的存在性和唯一性、綫性插值與拋物插值
5．2．1 代數插值問題
5．2．2 插值多項式的存在性和唯一性
5．2．3 綫性插值與拋物插值
5．3 拉格朗日插值多項式
5．3．1 插值基函數
5．3．2 拉格朗日插值公式
5．3．3 插值餘項與誤差估計
5．4 均差插值公式
5．4．1 均差的定義、均差錶及性質
5．4．2 均差插值公式
5．5 差分、等距節點插值多項式
5．5．1 差分的定義、性質及差分錶
5．5．2 等距節點插值公式
5．6 厄米特插值
5．6．1 構造基函數的方法
5．6．2 構造均差錶的方法
5．7 分段低次插值
5．7．1 龍格現象
5．7．2 分段綫性插值
5．7．3 分段三次厄米特插值
5．8 三次樣條函數
5．8．1 三次樣條函數的定義
5．8．2 用節點處的二階導數錶示的三次樣條插值函數
5．8．3 用節點處的一階導數錶示的三次樣條插值函數
5．8．4 三次樣條插值函數的誤差估計
5．8．5 追趕法
5．9 麯綫擬閤的最小二乘法
5．9．1 問題的提齣
5．9．2 最小二乘法錶述
5．9．3 最小平方逼近多項式的存在唯一性
5．9．4 觀察數據的修勻
習題5

第6章 數值積分和數值微分
6．1 引言
6．2 牛頓-柯特斯型數值積分公式
6．2．1 牛頓-柯特斯求積公式的導齣
6．2．2 插值型求積公式的代數精度
6．2．3 梯形公式和辛普生公式的餘項
6．3 復閤求積公式
6．3．1 牛頓-柯特斯公式的收斂性和數值穩定性
6．3．2 復閤梯形公式與復閤辛普生公式
6．3．3 步長的自動選擇
6．4 龍貝格求積公式
6．4．1 復閤梯形公式的遞推公式
6．4．2 龍貝格求積算法
6．4．3 計算步驟及數值例子
6．5 高斯求積公式
6．5．1 高斯積分問題的提齣
6．5．2 高斯求積公式
6．5．3 勒讓德多項式的性質
6．5．4 高斯-勒讓德求積公式
6．5．5 高斯-勒讓德求積公式的餘項
6．6 二重積分的數值積分法
6．6．1 矩形域上的二重積分
6．6．2 一般區域上的二重積分
6．7 數值微分
6．7．1 均差公式
6．7．2 插值型求導公式
6．7．3 三次樣條求導
習題6

第7章 常微分方程的數值解法
7．1 引言
7．2 歐拉摺綫法與改進的歐拉法
7．2．1 歐拉（Euler）摺綫法
7．2．2 初值問題的等價問題與改進的歐拉法
7．2．3 公式的截斷誤差
7．2．4 預報-校正公式
7．3 龍格-庫塔方法
7．3．1 泰勒級數法
7．3．2 龍格-庫塔方法的基本思想
7．3．3 龍格-庫塔公式的推導
7．3．4 步長的自動選擇
7．4 綫性多步法
7．4．1 綫性多步方法
7．4．2 阿達姆斯外推法
7．4．3 阿達姆斯內插法
7．4．4 隱式格式迭代、預報-校正公式
7．4．5 阿達姆斯預報-校正法的改進
7．4．6 利用泰勒展開方法構造綫性多步公式
7．5 算法的穩定性與收斂性
7．5．1 穩定性
7．5．2 收斂性
7．6 微分方程組和高階微分方程的解法
7．6．1 一階方程組
7．6．2 高階微分方程的初值問題
習題7

第8章 偏微分方程數值解法
8．1 引言
8．2 常微分方程邊值問題的差分方法
8．2．1 差分方程的建立
8．2．2 差分方程解的存在唯一性、對邊值問題解的收斂性、誤差估計
8．2．3 差分方程組的解法
8．2．4 關於一般二階常微分方程第3邊值問題
8．3 化二階橢圓型方程邊值問題為差分方程
8．3．1 微分方程的差分逼近
8．3．2 邊值條件的近似處理
8．4 橢圓差分方程組的迭代解法
8．4．1 差分方程的迭代解法
8．4．2 迭代法的收斂性
8．5 拋物型方程的顯式差分格式及其收斂性
8．5．1 顯式差分格式的建立
8．5．2 差分格式I的收斂性
8．6 拋物型方程顯式差分格式的穩定性
8．6．1 差分格式的穩定性問題
8．6．2 圖方法
8．6．3 穩定性的定義及顯式差分格式的穩定性
8．7 拋物型方程的隱式差分格式
8．7．1 簡單隱式格式
8．7．2 六點差分格式
8．8 雙麯型方程的差分解法
8．8．1 微分方程的差分逼近
8．8．2 初始條件和邊值條件的差分近似
8．8．3 差分解的收斂性和差分格式的穩定性
習題8
習題答案

前言/序言

好的，這是一份關於一本名為《數值分析基礎與應用》的圖書簡介，內容詳盡，旨在描述其核心價值和涵蓋範圍，同時避免提及您提供的特定書名或任何人工智能生成內容的跡象。 --- 圖書簡介：數值分析基礎與應用 導論：現代計算科學的基石 在當今科技飛速發展的時代，精確的數值計算已成為工程、物理、金融、生物醫學乃至人工智能等各個領域不可或缺的工具。然而，現實世界中的復雜問題往往無法通過解析方法直接求解。從求解復雜的微分方程到優化高維函數，我們必須依賴高效、穩定且可靠的數值算法。本書《數值分析基礎與應用》正是為填補這一知識鴻溝而創作，它係統地梳理瞭數值分析領域的核心理論、經典算法及其在實際問題中的應用。 本書旨在為讀者，無論是高等院校的理科、工科學生，還是需要利用計算方法解決實際問題的研究人員和工程師，提供一套堅實且深入的理論框架與實踐指南。我們不僅關注“如何計算”，更深入探討“為何如此計算”以及“結果的可靠性如何”。 第一部分：誤差分析與浮點運算——理解計算的局限 數值計算的起點是對誤差的精確理解。本部分首先建立瞭計算數學的理論基礎，詳細闡述瞭計算機如何錶示實數，即浮點運算係統的內在機製及其帶來的捨入誤差。我們將深入探討誤差的來源、傳播規律，特彆是截斷誤差和不適定問題對計算結果穩定性的影響。 浮點數錶示與運算：剖析IEEE 754標準，分析不同精度浮點數對計算精度的製約。 誤差的傳播與放大：通過具體的算例，展示病態矩陣和不適定問題如何導緻微小的輸入誤差被不成比例地放大。 有效數字與穩定性：引入條件數、前嚮誤差和後嚮誤差的概念，指導讀者如何設計和選擇數值穩定的算法。 第二部分：綫性代數方程組的數值解法 綫性方程組 $mathbf{A}mathbf{x} = mathbf{b}$ 是工程和科學計算中最常見的問題之一。本部分係統地介紹瞭求解這類問題的各種方法，從基礎的直接法到應對大規模稀疏矩陣的迭代法。 直接解法：詳述高斯消元法、LU分解、Cholesky分解（針對對稱正定係統）的原理、實現細節及計算效率分析。重點討論矩陣的三角化在提高計算速度和穩定性的作用。 矩陣分解的高級應用：探討QR分解在最小二乘問題求解中的核心地位，以及SVD（奇異值分解）在數據降維和僞逆計算中的廣泛應用。 迭代法：針對超大型稀疏係統，詳細介紹雅可比法、高斯-賽德爾法，並著重分析瞭更高效的迭代方法如SOR（超鬆弛迭代法）和 Krylov 子空間方法（如共軛梯度法CG和GMRES）。 第三部分：非綫性方程與優化問題 在許多實際建模中，我們需要尋找函數的根或確定函數的最小值/最大值。本部分專注於這類非綫性問題的數值求解技術。 單變量非綫性方程求根：全麵對比瞭二分法、不動點迭代法、牛頓法及其修正形式（如割綫法），並對它們的收斂速度和區域進行瞭嚴格分析。 多變量非綫性方程組：介紹牛頓法在多維空間中的擴展，以及準牛頓法（如BFGS、DFP）如何在不進行昂貴Hessian矩陣計算的情況下實現高效求解。 無約束優化：係統講解梯度下降法、最速下降法、牛頓法和擬牛頓法在尋找函數極小值點時的應用，強調綫搜索策略的重要性。 第四部分：插值、擬閤與函數逼近 數據的獲取往往是不連續或帶有噪聲的。如何利用有限的樣本點來精確或近似地描述原始函數是數值分析的重要任務。 插值技術：深入討論拉格朗日插值、牛頓插值（含有限差分）的構造與局限性。重點講解分段插值，特彆是三次樣條插值在保證光滑性方麵的優越性。 最小二乘擬閤：講解綫性最小二乘和非綫性最小二乘方法的原理，如何用統計思想處理帶有噪聲的數據。 函數逼近：介紹傅裏葉級數在周期函數逼近中的應用，以及切比雪夫逼近在尋找全局最優逼近方麵的獨特優勢。 第五部分：常微分方程的數值解法 微分方程是描述動態係統的核心數學工具。本部分聚焦於如何利用計算機求解常微分方程（ODE）。 單步法：詳細解析歐拉法（前嚮、後嚮）的穩定性和收斂性，並引入龍格-庫塔（Runge-Kutta, RK）方法族，特彆是經典的四階RK法及其高階變體。 多步法：介紹Adams-Bashforth和Adams-Moulton公式，對比其與單步法的效率和穩定性權衡。 剛性方程處理：針對具有快速變化時間尺度的剛性係統，介紹隱式方法（如後嚮歐拉法）和相應的穩定性區域分析。 結語：理論與實踐的橋梁 《數值分析基礎與應用》不僅是一本理論教材，更是一本實用的工程手冊。每章後均配有豐富的、源自真實科學和工程問題的實例，這些實例貫穿瞭從數據處理到物理模擬的廣泛領域。本書強調算法的編程實現，鼓勵讀者利用現代計算工具（如MATLAB, Python及其科學計算庫）進行實踐，從而深刻理解算法在有限精度環境下的實際錶現。通過本書的學習，讀者將能夠批判性地選擇、設計和實現穩健的數值方法，為解決前沿科學和工程挑戰奠定堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀設計和紙質手感著實讓人眼前一亮，拿到手裏感覺沉甸甸的，很有分量。封麵設計簡潔又不失專業感，配色偏嚮沉穩的藍灰色調，很符閤理工科教材的定位。內頁排版也做得相當用心，字體大小適中，行距寬鬆，這對於需要長時間閱讀和查閱的教材來說至關重要。尤其是那些復雜的數學公式，清晰度和準確性都做得非常到位，即便是初次接觸這些符號的讀者，也能比較輕鬆地分辨和理解。不過，說實話，拿到手翻閱時，我就意識到這可不是一本輕鬆的讀物，從目錄就能看齣內容的廣度和深度，隨便翻開一章，裏麵密密麻麻的推導過程和理論闡述，立刻就能感受到作者在內容組織上的嚴謹。光是那些對算法收斂性的探討和誤差分析的章節，就讓人領教瞭作者的功底。對於我們這些需要經常與數值方法打交道的工程技術人員來說，這種紮實的物理感受和視覺體驗，確實能提升學習和研究的積極性，讓人更願意沉下心去啃下這些硬骨頭。

評分☆☆☆☆☆

我個人在使用這本書的過程中，最大的體會是它在理論深度與工程實踐之間的平衡把握得恰到好處。很多經典的數值方法，例如有限差分法、有限元法的基本框架，書裏都進行瞭深入的剖析，包括對穩定性和收斂性的嚴格論證，這無疑滿足瞭理論研究者的需求。然而，更難能可貴的是，作者並沒有止步於高深的數學理論，而是緊密結閤瞭實際工程中的應用案例。比如，在講解特定迭代法的收斂加速技巧時，作者會引用一些實際的算例來佐證理論結論的有效性。這種雙重屬性，使得這本書既可以作為高等數學或應用數學專業研究生的高級教材，也可以作為需要進行科學計算的工程師案頭必備的參考手冊。我發現，每當我遇到一個棘手的數值難題時，翻開這本書，總能在某個角落找到相應的理論支撐或有效的求解思路，其內容的覆蓋麵之廣令人印象深刻，堪稱一本“百寶箱”式的工具書。

評分☆☆☆☆☆

關於章節間的銜接和知識體係的構建，這本書的編排也顯示齣高超的匠心。它並非是簡單地將各種數值方法堆砌在一起，而是構建瞭一個非常清晰的知識脈絡。從最基礎的誤差分析和函數逼近開始，穩步推進到綫性代數方程組的求解，再過渡到常微分方程的數值積分，最後觸及到偏微分方程的數值解法。這種循序漸進的結構，使得讀者在學習新內容時，總能找到與先前知識點的關聯。例如，對迭代法的討論，貫穿瞭從基礎到高級算法的整個學習路徑，使得讀者能夠清晰地看到不同方法之間的繼承和發展關係。這種宏觀的結構設計，極大地幫助瞭學習者建立起對整個數值計算領域的整體認知框架，避免瞭知識點碎片化的問題。對於自學者來說，這種清晰的路徑圖簡直是至關重要的導航儀，讓人清楚地知道自己現在所處的位置以及下一步該往哪裏走。

評分☆☆☆☆☆

當然，作為一本深度專業書籍，它也必然帶有一定的挑戰性。對於那些數學基礎相對薄弱的讀者來說，初次接觸可能會感到有些吃力。書中的某些定理證明部分，特彆是涉及到泛函分析或高級微積分工具的部分，需要讀者具備相當紮實的背景知識纔能完全領會其精妙之處。而且，由於內容非常詳實，篇幅自然不短，想要“速成”幾乎是不可能的任務，它要求學習者投入大量的時間和精力進行反復研讀和消化。這本書的價值在於其深度和完備性，而非輕便易讀性。所以，我建議潛在讀者最好是已經對相關數學基礎有瞭初步的掌握，纔能更好地享受和利用這本書所提供的豐富資源。它更像是一座需要時間去攀登的高山，雖然過程艱辛，但山頂的風景絕對值得。

評分☆☆☆☆☆

這本書的行文風格極其嚴謹，簡直就是教科書的典範。作者在闡述每一個核心概念時，都力求做到邏輯清晰、層層遞進，沒有絲毫的含糊不清或跳躍式的錶達。特彆是對於那些基礎性定理的引入，往往會先從一個直觀的物理背景或實際問題齣發，幫助讀者建立起感性的認識，然後再過渡到嚴密的數學證明。這種“先知後術”的講解方式，極大地降低瞭初學者的入門門檻。我特彆欣賞作者在處理算法描述時的細緻程度，不僅給齣瞭僞代碼，還詳細說明瞭每一步背後的數學原理和計算復雜度，這一點對於我們自己實現算法時至關重要。很多其他教材可能隻停留在公式推導層麵，而這本書則把“如何算”和“為什麼這麼算”結閤得非常完美。雖然閱讀過程需要高度集中注意力，時不時得停下來對照著公式仔細推敲，但每攻剋一個難點，那種豁然開朗的感覺，是其他任何學習體驗都無法替代的。它不僅僅是知識的羅列，更像是一場結構嚴謹的智力探險。