现代数学基础丛书·典藏版69：集值分析 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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李雷，吴从炘 著

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• 数学
• 集值分析
• 优化
• 非线性分析
• 泛函分析
• 数学规划
• 现代数学基础
• 典藏版
• 理论基础
• 应用数学

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030111760

版次：1

商品编码：11951990

包装：平装

丛书名： 现代数学基础丛书

开本：16开

出版时间：2003-08-01

用纸：胶版纸

页数：175

字数：208000

正文语种：中文

内容简介

　　《现代数学基础丛书·典藏版69：集值分析》主要介绍了集值映射的连续性、连续选择与连续逼近，樊畿不等式与不动点定理，Ekeland变分原理，切锥与集值映射的导数，集值映射的可测性与积分，集值测度，模糊集值分析等，内容既包括集值分析的基础理论，也包括国内外学者及作者在这一领域的研究成果。
　　《现代数学基础丛书·典藏版69：集值分析》读者对象为数学专业高年级学生、研究生、教师及有关专业科技工作者。

内页插图

目录

第一章 集值映射的连续性
1．1 集的极限
1．1．1 拓扑空间中集网的收敛性
1．1．2 度量空间中集列的收敛性
1．2 集值映射
1．3 集值映射的连续性
1．3．1 连续性的基本概念
1．3．2 连续映射的基本运算性质
1．4 集值映射的几种下半连续性
1．4．1 拟下半连续性
1．4．2 度量空间中的几种下半连续性
1．5 上半连续性与h-上半连续性
1．5．1 上半连续与闭图像
1．5．2 两个重要例子：参数化问题与极大化问题
1．5．3 h-上半连续性
1．6 闭凸过程
1．6．1 闭凸过程的定义
1．6．2 开映射定理与闭图像定理

第二章 集值映射的连续选择与连续逼近
2．1 Michael连续选择定理
2．1．1 Michael连续选择定理的叙述
2．1．2 Michael连续选择定理的证明
2．2 连续选择存在性的特征
2．2．1 强几乎下半连续性与连续选择存在性特征
2．2．2 几乎下半连续映射存在连续选择的特征
2．2．3 弱下半连续映射的连续选择定理
2．3 几种特殊的选择
2．3．1 最小选择
2．3．2 Chebyshev选择
2．3．3 重心选择
2．4 上半连续映射的连续选择与连续逼近
2．4．1 上半连续映射的连续选择
2．4．2 Cellina连续逼近定理

第三章 均衡的存在性与稳定性
3．1 樊畿不等式与不动点定理
3．1．1 樊畿不等式
3．1．2 均衡定理
3．1．3 不动点定理
3．1．4 Leray-Schauder定理
3．2 Ekeland变分原理
3．3 约束反函数定理
3．3．1 单值映射的导数
3．3．2 约束反函数定理
3．3．3 点态稳定性条件
3．4 单调映射与最大单调映射
3．4．1 单调映射
3．4．2 最大单调映射
3．4．3 Yosida逼近

第四章 切锥与集值映射的导数
4．1 切锥
4．1．1 子集的切锥
4．1．2 凸集的切锥
4．2 集值映射的导数
4．2．1 相依导数
4．2．2 相邻导数与约切导数
4．2．3 单调映射的导数
4．3 集值映射的反函数定理
4．4 扩充实函数的上导数
4．4．1 相依上导数
4．4．2 相邻上导数与约切上导数
4．4．3 广义梯度与次微分
4．4．4 凸函数的上导数与次微分

第五章 集值映射的可测性与积分
5．1 集值映射的可测性
5．1．1 可测选择与可测性的特征
5．1．2 可测映射的运算性质
5．1．3 Lebesgue空间中的切锥和可测映射的极限
5．2 集值映射的积分
5．2．1 集值映射积分的定义
5．2．2 积分的凸性
5．2．3 Pettis积分与Debreu积分
5．3 集值测度
5．3．1 集值测度的概念和基本性质
5．3．2 集值测度的测度选择
5．3．3 表示定理与Radon-Nikodym性质

第六章 模糊集值分析初步
6．1 预备知识
6．1．1 模糊集论简介
6．1．2 模糊代数初步
6．2 模糊数
6．2．1 模糊数空间中的运算与拓扑结构
6．2．2 模糊数的嵌入定理
6．3 模糊集值映射
6．3．1 可测模糊集值映射
6．3．2 模糊集值映射的积分
6．3．3 模糊集值映射的微分
参考文献
索引

前言/序言

　　集值分析是20世纪40年代以后蓬勃发展起来的一个现代数学分支，作为建立非线性问题数学模型、解决非线性问题的数学理论和有力工具，它已经成为非线性分析的重要组成部分，在控制论和微分对策、数理经济学和决策论、非线性优化、生物数学、物理以及拓扑学、泛函分析、变分学、逼近论、凸分析与非光滑分析、微分方程与微分包含等众多领域内有着广泛应用。它的思想方法也已渗透到许多社会科学、自然科学以及技术领域的研究之中。现在关于集值分析理论和应用的研究方兴未艾、生机勃勃。国外关于集值分析及其应用方面的专著已相继出现，国内在集值分析应用领域的专著中也含有关于集值分析相关内容的介绍，但作为一本既包含集值分析基本内容又反映国内在这一领域某些方面研究成果，同时还适应有意从事集值分析研究和应用的读者需要的集值分析方面的专门著作，国内尚未多见。因此，作者愿作抛砖引玉之尝试。
　　简单地说，集值分析是在拓扑学、泛函分析、抽象代数等现代数学学科基础上研究集值映射的极限、连续、可微、可测、可积等分析性质及其应用的一个现代数学领域。本书力求在一定程度上做到一方面对集值分析知识尽量做较完备的介绍，一方面又使篇幅不大，使读者不耗费太多时间、不花费太大精力、不需要太深的基础知识就可对集值分析有较全面的基本了解和掌握，所以在写作过程中我们的指导思想始终是：一、内容的选取侧重于基本概念、基本理论、基本思想和基本方法，保证重点，削枝强干，同时兼顾新进展；二、内容顺序的安排既参照经典微积分的体裁，又体现集值分析内容的内在联系，同时还顾及到各部分内容可独立自成体系；三、思想方法上不把集值映射作为到值域的幂集上的单值函数和利用超空间拓扑来论述，而直接利用极限和一般拓扑，并将集值映射与其图像视为一体，通过图像讨论映射性质，通过选择将集值问题转化为单值问题；四、内容处理上注意横向之间的联系和纵向的历史与发展的关系，同时尽量做到论述思路简捷、方法简便。

现代数学基础丛书·典藏版68：拓扑空间论 作者： 经典数学家（此处代指权威学者，具体作者需根据实际丛书情况填写） 译者： 权威翻译团队（此处代指专业翻译机构或知名学者） 丛书背景： “现代数学基础丛书”致力于系统梳理和介绍20世纪以来数学领域最具影响力和基础性的理论体系。本丛书旨在为高等院校师生、科研人员以及对数学前沿感兴趣的读者提供深入、严谨且具有时代价值的经典教材与专著。典藏版系列精选了各分支学科中具有里程碑意义的著作，确保内容的权威性与完整性。 本书聚焦——拓扑空间论（第68卷） 拓扑学是现代数学的三大支柱之一（与代数和分析并列），它研究空间、形状以及连续形变下的基本性质。它提供了一种超越传统几何的、更为抽象和普适的研究方法，被誉为“现代几何的语言”。《拓扑空间论》作为本丛书的基础卷之一，旨在为读者建立起一套完整的、严谨的拓扑学理论框架。 本书内容涵盖了从最基础的概念引入到高级理论的深入探讨，逻辑清晰，论证细密，是理解现代数学，特别是泛函分析、微分几何、代数拓扑等领域不可或缺的先导。 第一部分：基本概念的奠基（第1章至第3章） 第1章：度量空间与拓扑的起源 本章从直观的“距离”概念入手，引入度量空间（Metric Spaces）的定义及其基本性质。通过对开球、闭球、收敛性、完备性的讨论，为读者建立起对“邻近性”的直观理解。随后，本章自然过渡到拓扑空间（Topological Spaces）的公理化定义，即通过开集的家族来刻画邻域结构，从而摆脱对具体度量的依赖，揭示拓扑结构更本质的特征。重点讨论了闭集、邻域、开域的等价描述及其相互关系。 第2章：连续性与拓扑同胚 在建立了拓扑空间的概念之后，本章的核心任务是定义和研究函数在拓扑空间之间的“连续性”。拓扑连续性的定义完全基于开集的像与原像，保持了拓扑结构的本质。本章详细分析了连续函数的性质，特别是紧致性（Compactness）和连通性（Connectedness）在连续映射下的保持性。拓扑同胚（Homeomorphism）作为拓扑学中的核心等价关系被严格定义，它标志着两个空间在拓扑意义上是“相同”的。本章通过大量的例子说明了如何利用拓扑不变量来区分不同的拓扑空间。 第3章：子空间、积空间与商空间 本章探讨了如何从已有的拓扑空间构造出新的拓扑空间。 子空间（Subspaces）： 继承母空间的拓扑结构，是研究局部性质的重要工具。 积空间（Product Spaces）： 通过笛卡尔积构造高维或复杂空间，重点分析了乘积拓扑的性质及其与有限乘积的联系。 商空间（Quotient Spaces）： 这是拓扑学中最为深刻的构造之一，通过等价关系“粘合”点集来构造新的空间，是理解代数拓扑中“商积”和“纤维丛”的基础。本章详细讨论了商映射的连续性条件。 第二部分：关键拓扑性质的深入研究（第4章至第6章） 第4章：分离公理（Separation Axioms） 分离公理是衡量拓扑空间“规整性”程度的标尺。本章系统地介绍了从T1空间到豪斯多夫空间（Hausdorff, T2）的系列定义。豪斯多夫空间是后续许多重要定理（如极限的唯一性、紧致集的闭性等）成立的必要条件。更进一步，本章探讨了正则空间（T3）和完全正则空间（T3½）的性质，并证明了这些性质在某些构造下是如何传递的。 第5章：紧致性理论 紧致性是拓扑学中最强大和最有用的概念之一，它本质上是有限性在无限空间中的推广。本章首先定义了开覆盖紧致性，并证明了在豪斯多夫空间中，紧致性等价于任何开覆盖都存在有限子覆盖。重点讨论了紧致子集的重要定理，如紧集上的连续函数必可取到最大值（推广的极值定理）。随后，引入了更一般的概念——相对紧致性。 第6章：连通性与路径连通性 连通性描述了一个空间是否可以被分成不相交的非空开集。本章区分了拓扑连通性和路径连通性（Path Connectedness），并证明了在豪斯多夫空间中，路径连通性蕴含连通性。本章的重点是探讨连通集的性质，特别是极大连通子集的唯一性，以及它们在分析连通空间结构中的作用。 第三部分：构造性理论与实用工具（第7章至第8章） 第7章：可数性与完备性 本章处理涉及“无限过程”的收敛和密度问题。 可数性概念： 介绍了可数紧致性、可数紧性以及可数紧致性的关系，这些概念对于构建某些现代分析理论至关重要。 完备性（Completeness）： 尽管度量空间的完备性已在第一部分提及，本章从拓扑角度重新审视了完备性，重点介绍了Baire范畴定理（Baire Category Theorem），该定理是泛函分析和测度论中构造反例和证明存在性的核心工具。 第8章：嵌入定理与函数空间初步 本章将理论应用于实际的嵌入问题。著名的Urysohn嵌入定理（Urysohn Embedding Theorem）被详细阐述，它表明任何正常的（T3）空间都可以被嵌入到某个欧几里得空间（或其子空间）中，这在几何分析中具有重要意义。此外，本章对某些重要的函数空间（如连续函数空间 $C(X)$）的拓扑结构进行了初步探讨，展示了拓扑学如何为分析学提供底层结构支持。 本书特点与价值： 1. 严谨性与深度： 全书遵循严格的数学公理化方法，所有关键定理均给出完整证明，确保读者建立起坚实的理论基础。 2. 承上启下： 本书作为“现代数学基础丛书”的核心组成部分，其内容是理解代数拓扑、微分几何、泛函分析以及概率论中空间结构论述的必要前置知识。 3. 丰富例证： 穿插了大量经典的拓扑空间实例（如球面、环面、无限点集等），帮助读者将抽象概念与直观几何联系起来。 4. 典藏品质： 此次典藏版经过精校精炼，版式清晰，适合长期珍藏和反复研习。 掌握了拓扑空间论，即掌握了现代数学中描述“形变不变性”和“邻近关系”的通用语言，是迈向更高级数学研究的必经之路。

评分☆☆☆☆☆

我最近在准备一个关于拓扑学应用的课题，偶然翻到了这本《现代数学基础丛书·典藏版69：集值分析》。我对“集值分析”这个术语感到非常好奇，因为它听起来像是对传统函数概念的一种拓展和深化。在很多实际问题中，我们遇到的映射关系并非总是单一的，比如在一个多目标优化的场景下，可能存在一组非支配解，这就需要用集值映射来刻画。我特别想知道这本书是如何来定义和处理这些集值映射的，例如，它会介绍哪些关于集的拓扑结构，比如Hausdorff距离之类的度量？以及在集值映射的连续性、紧性等方面，有哪些特殊的性质和判定定理？我感觉集值分析在经济学、控制论，甚至是一些人工智能的算法设计中，都可能扮演着至关重要的角色。这本书的“典藏版”定位，让我觉得它应该是一个比较全面且深入的论述，能够从基础概念出发，逐步构建起整个集值分析的理论框架。我希望它能提供一些清晰的例子来阐述抽象的定义，并且在最后能涉及到一些前沿的研究方向，让我对这个领域有一个宏观的认识，也为我后续的研究提供一些理论上的支撑和灵感。

评分☆☆☆☆☆

说实话，看到《现代数学基础丛书·典藏版69：集值分析》这个书名，我的第一反应是它可能离我的专业领域有些远，我主要关注的是应用统计和数据挖掘。但是，最近我在处理一些复杂的数据建模问题时，经常会遇到一些“模糊”或者“多值”的关联性，比如在推荐系统中，用户对一个物品的喜好程度可能不是一个具体的数值，而是一个范围，或者是由多个不同维度的偏好组成的集合。这让我开始思考，是不是有一些更基础的数学理论能够帮助我更好地理解和处理这类问题。集值分析这个概念似乎提供了一种可能性，它可能是一种更强大的工具，能够描述和分析那些我们习惯用传统函数难以精确捕捉的数学对象。我希望这本书能够从一个非常基础的数学语言出发，解释什么是集值分析，它和我们熟知的集合论、函数论有什么样的联系与区别。我更关心的是，它里面是否有提到如何度量集值之间的“距离”或者“相似性”，以及如何在这个框架下定义“收敛”或者“积分”的概念。如果它能提供一些算法上的启发，或者能够解释一些看似“反直觉”的数据现象背后的数学原理，那对我来说就非常有价值了。

评分☆☆☆☆☆

这套书的名字听起来就很有分量，《现代数学基础丛书·典藏版69：集值分析》。虽然我还没来得及细读，但仅仅从封面和排版就能感受到它扎实的学术底蕴。我个人一直对数学的抽象理论很感兴趣，尤其是在探索集合与函数之间的微妙联系时，总觉得有一片未知的领域等待我去发掘。集值分析这个概念本身就充满了数学的魅力，它似乎提供了一种更广阔的视角来理解那些“不那么规矩”的映射关系，那些一个输入可能对应多个输出，或者输出本身就是一个集合的场景。在我的认知里，这不像是一些通俗科普类的书籍，更像是一本为真正钻研数学的读者准备的“硬菜”。我期待它能系统地梳理集值分析的发展脉络，介绍其中的核心概念、重要定理以及这些理论是如何在各个分支数学领域中得到应用的。比如，它会不会涉及到不动点理论在集值映射中的推广？或者在最优化问题中，集值映射是如何处理约束条件的？这些都是我非常好奇的地方。而且，“典藏版”这个词也暗示了其内容的重要性与权威性，或许其中包含了一些经典的研究成果和重要的数学家贡献，能让我了解到集值分析领域的发展历史和关键人物。我准备花点时间，静下心来，一点一点地品味这本书，希望能从中获得对这个数学分支更深刻的理解和认识。

评分☆☆☆☆☆

我最近在涉猎一些关于“模糊集合”和“粗糙集”的理论，感觉这些概念在处理信息不确定性和模糊性方面很有前景，但总觉得缺少一个更普适、更系统的数学框架来统一它们。当我看到《现代数学基础丛书·典藏版69：集值分析》这个书名时，我的直觉告诉我，这可能就是我要找的理论基石。我理解集值分析的核心在于研究“集合到集合”的映射，这与模糊集合和粗糙集中的“隶属度”或“可区分关系”等概念有着天然的联系。我希望这本书能够深入地解释集值分析的数学结构，例如如何定义集值映射的“上象”和“下象”，以及如何引入拓扑结构来研究集值映射的连续性、紧性等性质。更重要的是，我希望它能提供一些关于度量集值集合之间距离的方法，比如Hausdorff度量，以及如何在集值分析的框架下进行积分、求导等运算。如果这本书能够展示集值分析如何统一或解释模糊集合、粗糙集等理论，那将对我极具启发性，为我未来的研究方向提供更坚实的理论依据和更广阔的视野。

评分☆☆☆☆☆

我是一名数学系的学生，最近在学习泛函分析，对于一些涉及到非线性映射和不动点定理的内容，觉得有些抽象。偶然看到《现代数学基础丛书·典藏版69：集值分析》这本书，我对“集值分析”这个领域感到非常好奇。我了解到，很多数学中的问题，比如微分包含、变分不等式等，都自然地归结为集值映射的研究。我希望这本书能够系统地介绍集值分析的基本概念，例如集值映射的定义、闭集值映射、紧集值映射等，以及它们在拓扑学和度量空间中的性质。我还特别想了解，在集值分析中，如何推广像Banach不动点定理、Kakutani不动点定理这样的重要理论，以及这些推广后的定理在解决一些实际问题时起到的关键作用。这本书作为“典藏版”，我期待它能包含一些经典的证明思路和重要的定理，甚至是一些尚未完全解决的开放性问题，能够激发我进一步深入研究的兴趣。我希望它能帮助我建立起对集值分析的完整认识，为我理解更深层次的数学理论打下坚实的基础。