数学奥林匹克中的常见重要不等式 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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张艳宗 著

图书标签:

• 数学奥林匹克
• 不等式
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• 奥数
• 数学技巧
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• 重要不等式
• 数学学习
• 竞赛辅导

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560369372

版次：1

商品编码：12285028

包装：平装

开本：16

出版时间：2017-11-01

用纸：胶版纸

内容简介

本书旨在介绍在高中数学奥林匹克竞赛、自主招生考试等中出现的常见重要不等式及其变形、拓展的应用。全书共8章，相互独立，每章精选了国内外数学竞赛中的典型不等式问题为例题，从系统观的视角，深入讲解每个问题，提炼了这些常见重要不等式的使用技巧，帮助读者建立不等式证明的“结构观”方法。

本书集普及性、理论性、实用性于一体，适合中学生、中学数学教师等阅读使用，也是学校开展教师培训与拓展性教学的好素材，同时可供数学爱好者参考。对参加全国高中数学联赛、高校自主招生等考试的考生也会有较大的帮助。

目录

【目 录】

前备知识//1

第1章 均值不等式//5

第2章 Cauchy-Schwarz不等式//57

第3章 Hölder不等式//103

第4章 排序不等式与Chebyshev不等式//122

第5章 Schur不等式//148

第6章 J.Wolstenholen-嵌入不等式//179

第7章 切线不等式//191

第8章 Jensen不等式//216

参考文献//246

数学奥林匹克中的常见重要不等式 图书简介 本书旨在为对数学竞赛，特别是奥林匹克数学怀有浓厚兴趣的读者提供一套全面、深入且实用的不等式知识体系。我们聚焦于在各类数学竞赛中频繁出现、具有高度代表性和应用价值的重要不等式，力求通过详尽的理论阐述、丰富的例题解析和精选的习题设计，帮助读者构建扎实的不等式基础，并有效提升解决复杂数学问题的能力。 本书内容结构严谨，逻辑清晰，从基础概念出发，逐步深入到高级技巧的应用。我们深知，不等式作为数学分析、代数、几何乃至数论中的核心工具，其重要性不言而喻。因此，我们不仅仅罗列公式，更侧重于讲解这些不等式背后的思想、推导方法以及它们在不同场景下的灵活运用。 第一部分：基础不等式与经典工具 本部分奠定了全书的理论基石，重点介绍那些构建更复杂不等式所必需的基本工具和思想。 1. 基础代数不等式 我们首先回顾并深入探讨了绝对值不等式（如三角不等式及其推广形式），以及利用二次函数性质或配方法构造非负表达式的方法。着重分析了平方和、平方差等基本形式在证明中的应用潜力。例如，如何利用 $a^2+b^2 geq 2ab$ 及其变形来简化或证明其他不等式。 2. 均值不等式族（AM-GM-HM） 算术平均数不等式（AM）、几何平均数不等式（GM）、调和平均数不等式（HM）是整个不等式学习的核心。本书不仅详细阐述了它们的形式和等号成立条件，还深入探究了加权算术平均数不等式（WAM），并展示了如何通过变量代换、分离变量或利用对数函数等方法证明这些不等式。大量篇幅用于展示如何将 AM-GM 技巧应用于含有多个变量、约束条件复杂的问题中。 3. 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality） CS 不等式是连接代数、几何和向量空间的重要桥梁。本书将介绍其代数形式、向量形式以及积分形式。重点解析了其在处理求和、内积以及优化问题时的强大威力。我们会通过构造辅助向量或通过柯西不等式与排序不等式相结合的技巧，展示其在竞赛中的高频应用。 4. 排序不等式 (Rearrangement Inequality) 排序不等式是处理变量顺序敏感性问题的利器。本书详细介绍了其基本形式和推论，并通过实例说明了如何根据变量的单调性来确定最优或最差的排列组合，从而解决涉及乘积和或交叉相乘和的问题。 第二部分：凸函数与Jensen不等式 凸性分析是现代数学分析中处理不等式问题的重要视角。 1. 凸函数与凹函数 详细定义了凸函数和凹函数的概念，并介绍了判断函数凸性的充要条件（如二阶导数检验）。 2. Jensen 不等式 Jensen 不等式是 AM-GM 不等式在更一般函数空间中的推广。本书将重点分析凸函数和凹函数下的 Jensen 不等式，并展示其在处理概率、期望以及涉及 $ln, e^x, x^p$ 等函数的复杂不等式中的应用。我们特别关注如何利用 Jensen 不等式来统一证明许多看似不同的不等式结论。 第三部分：重要不等式的推广与变体 在掌握基础工具后，本书深入探讨了更高级和更具挑战性的不等式。 1. 幂平均不等式（Power Mean Inequality） 本书系统地介绍了 $M_p$ 形式的幂平均不等式，揭示了 $M_p$ 随着 $p$ 值变化的趋势，并展示了它如何自然地涵盖了 AM, GM, HM 等基本均值不等式。 2. 均值与积分不等式的联系 探索了将离散的均值不等式推广到连续函数积分形式的联系，为读者建立更宏观的数学视野。 3. Schur 不等式 Schur 不等式及其扩展形式，特别是在处理对称多项式和特定条件下的不等式证明中扮演着关键角色。本书将详述 Schur 不等式的不同次数形式，并展示它如何有效解决许多需要利用对称性或奇偶性来构造非负项的问题。 第四部分：技巧与策略：不等式证明的艺术 本部分是全书实践性的核心，专注于如何将理论知识转化为实际的解题能力。 1. 变量替换与构造技巧 详细介绍了几种常用的变量替换策略，例如： 三角代换（适用于有界区间或涉及平方和/差的形式）。 代换为均值（如 $a=x+y, b=y+z, c=z+x$ 等）。 均值化处理：通过引入辅助量，将不等式转化为关于平均值的形式进行分析。 2. 齐次化与标准化 对于非齐次不等式，讲解如何通过引入条件项（如 $a+b+c=k$ 或 $abc=k$）进行齐次化处理，从而简化表达式结构，便于应用标准不等式。 3. 极端值分析与判别 强调利用“极端情况法”（Equality Case Analysis）来指导证明方向，即分析等号成立的条件来推测不等式结构，并利用该信息构造辅助函数或辅助表达式。 4. 微积分工具在证明中的应用 在需要处理涉及变量趋向于零或无穷大，或涉及复杂函数关系的不等式时，将适当地引入导数、极值点分析以及泰勒展开等微积分工具，以实现对复杂表达式的精确控制。 总结与展望 本书的编写目标是超越简单的公式罗列，致力于培养读者发现问题、分析问题和解决问题的能力。所选例题和习题均为历年各大国际、国内奥赛中的经典或高难度题目，覆盖面广，难度递进合理。通过系统学习，读者将能够熟练掌握不等式证明的多种核心方法，为参加高水平数学竞赛奠定坚实的基础，并为未来在数学及相关领域的学习打下坚实的分析基础。本书适合具有一定微积分和基础代数知识的数学爱好者、高中生以及准备参加数学奥赛的学生和教师使用。

评分☆☆☆☆☆

作为一个热爱数学竞赛的普通高中生，我一直在寻找能够系统性地梳理高中数学竞赛中那些“点石成金”的不等式技巧的宝藏。市面上确实有不少竞赛数学的书籍，有的偏向于代数，有的则侧重几何，但专门深入讲解不等式应用的，我翻阅了不少，总觉得有些意犹未尽。有些书的例子过于简单，讲解不够深入，难以触及到一些更高级或更巧妙的应用；有些书则可能概念过于抽象，对于非数学专业的学生来说，理解起来会有些吃力，需要花费大量的时间去消化。我更倾向于那种能从基本原理出发，层层递进，最终展现出不等式在解决复杂问题时那“四两拨千斤”的力量的书籍。最好能配以丰富的例题，从易到难，并且对每个例题的解题思路和技巧都有详尽的剖析，这样我才能真正地将知识内化，融会贯通，而不是仅仅停留在“看懂”的层面。

评分☆☆☆☆☆

我最近读了一本关于组合数学的书，这本书给我最大的感受就是它的“趣味性”和“启发性”。组合数学听起来可能有些枯燥，但这本书却通过大量生动有趣的例子，比如如何分配物品、如何安排座位、如何计算可能性等等，将抽象的组合原理变得非常直观易懂。书中对于排列、组合、容斥原理、生成函数等基本概念的讲解，都非常清晰，并且提供了多种不同的思考角度。我尤其喜欢它对一些组合恒等式的证明，不仅仅是枯燥的代数推演，还会结合图形或实际情境进行解释，让人茅塞顿开。更重要的是，这本书在讲解了基本概念之后，并没有止步于此，而是引导读者去探索更复杂的组合问题，并介绍了一些解决这些问题的通用策略，这让我对组合数学这门学科产生了浓厚的兴趣。

评分☆☆☆☆☆

最近我尝试阅读了一本关于几何压轴题的书籍，这本书给我留下了深刻的印象。它并非仅仅罗列题目，而是花了很大篇幅去讲解各种几何定理、性质以及它们之间的内在联系。书中对一些经典几何问题的解法进行了非常细致的推导，甚至还会提供多种不同的解题思路，这对于我这样希望在几何方面有所突破的学生来说，简直是雪中送炭。我特别喜欢它分析解题过程的方式，不仅仅是给出答案，而是深入到“为什么这么想”的层面，引导读者去观察图形的特征，发掘隐藏的条件，以及如何巧妙地运用已知定理。有时候，我会对着书中的图形反复揣摩，尝试自己去找出书本之外的其他证明方法，这种思考的过程极大地锻炼了我的几何直觉和逻辑推理能力。

评分☆☆☆☆☆

我最近有幸接触到一本讲解数论专题的书，这本书的叙述风格让我耳目一新。它不像我之前看过的很多数论书籍那样，上来就给出一堆晦涩的概念和定理，而是以一种更贴近思维过程的方式，循序渐进地引导读者进入数论的奇妙世界。书中对于一些基础概念的解释非常到位，常常会用一些生活中的类比或者简单的例子来帮助理解，这让数论不再显得那么高高在上。而且，本书在引入一些稍显复杂的定理时，也并非直接给出证明，而是通过一系列精心设计的思考题，让读者在尝试解决问题的过程中，自然而然地“发现”这些定理，从而加深理解。最让我印象深刻的是，书中对丢番图方程、同余方程等经典数论问题有着非常系统且深入的讲解，并提供了不少巧妙的解题技巧。

评分☆☆☆☆☆

我之前一直在寻找一本能够系统性地提升我数学思维能力的书，最近偶然看到一本关于“数学思想方法”的著作，这正是我所需要的。这本书并非仅仅教授解题技巧，而是着重于培养读者分析问题、解决问题的宏观视角。它深入浅出地讲解了数学中的一些核心思想，比如化归思想、构造思想、对称思想等等，并结合大量经典的数学问题，展示了这些思想如何在实际解题中发挥作用。书中对于每一个思想的阐述都非常透彻，并辅以一系列由浅入深的例题，这些例题的选取非常具有代表性，能够很好地体现特定思想的威力。我从中不仅学到了如何更有效地解决具体问题，更重要的是，我开始学会从更深层次去理解数学，培养了更强的数学敏感度和创新能力。