几何分析手册（第Ⅰ卷）（英文） [Handbook of Geometric Analysis(Vol.Ⅰ)] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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季理真 等 编

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• 几何分析
• 数学分析
• 偏微分方程
• 调和分析
• 复分析
• 函数空间
• Sobolev空间
• 变分方法
• 几何测度论
• PDE

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040252880

版次：1

商品编码：10962799

包装：精装

外文名称：Handbook of Geometric Analysis(Vol.Ⅰ)

开本：16开

出版时间：2008-08-01

用纸：胶版纸

页数：676

字数：820000

正文语种：英文

内容简介

Geometric Analysis combines differential equations and differential geometry. Animportant aspect is to solve geometric problems by studying differential equations.Besides some known linear differential operators such as the Laplace operator，many differential equations arising from differential geometry are nonlinear. Aparticularly important example is the Monge-Ampere equation.Applications togeometric problems have also motivated new methods and techniques in differen-tial equations.The field of geometric analysis is broad and has had many strikingapplications.This handbook of geometric analysis provides introductions to andsurveys of important topics in geometric analysis and their applications to relatedfields which is intend to be referred by graduate students and researchers in relatedareas.

内页插图

目录

Numerical Approximations to Extremal Metrics on Toric Surfaces
1 Introduction
2 The set-up
2.1 Algebraic metrics
2.2 Decomposition of the curvature tensor
2.3 Integration
3 Numerical algorithms：balanced metrics and refined approximations
4 Numerical results
4.1 The hexagon
4.2 The pentagon
4.3 The octagon
4.4 The heptagon
5 Conclusions
References

Kahler Geometry on Toric Manifolds, and some other Manifolds with Large Symmetry
Introduction
1 Background
1.1 Gauge theory and holomorphic bundles
1.2 Symplectic and complex structures
1.3 The equations
2 Toric manifolds
2.1 Local differential geometry
2.2 The global structure
2.3 Algebraic metrics and asymptotics
2.4 Extremal metrics on toric varieties
3 Toric Fano manifolds
3.1 The Kahler-Ricci soliton equation
3.2 Continuity method, convexity and a fundamentalinequality
3.3 A priori estimate
3.4 The method of Wang and Zhu
4 Variants of toric differential geometry
4.1 Multiplicity-free manifolds
4.2 Manifolds with a dense orbit
5 The Mukai-Umemura manifold and its deformations
5.1 Mukai's construction
5.2 Topological and symplectic picture
5.3 Deformations
5.4 The a-invariant
References

Gluing Constructions of Special Lagrangian Cones
1Introduction
2 Special Lagrangian cones and special Legendrian submanifolds of S2n-1
3 Cohomogeneity one special Legendrian submanifolds of S2n-1
4 Construction of the initial almost special Legendrian submanifolds
5 The symmetry group and the general framework for correcting the initial surfaces
6 The linearized equation
7 Using the Geometric Principle to prescribe the extended substitute kernel
8 The main results
A Symmetries and quadratics
References

Harmonic Mappings
1 Introduction
2 Harmonic mappings from the perspective of Riemannian geometry
2.1 Harmonic mappings between Riemannian manifolds：definitions and properties
2.2 The heat flow and harmonic mappings into nonpositively curved manifolds
2.3 Harmonic mappings into convex regions and applications to the Bernstein problem
3 Harmonic mappings from the perspective of abstract analysis and convexity theory
3.1 Existence
3.2 Regularity
3.3 Uniqueness and some applications
4 Harmonic mappings in Kahler and algebraic geometry
4.1 Rigidity and superrigidity
4.2 Harmonic maps and group representations
4.3 Kahler groups
4.4 Quasiprojective varieties and harmonic mappings of infinite energy
5 Harmonic mappings and Riemann surfaces
5.1 Families of Riemann surfaces
……
Harmonic Functions on Complete Riemannian Manifolds
Complexity of Solutions of Partial Differential Equations
Variational Principles on Triangulated Surfaces
Asymptotic Structures in the Geometry of Stability and Extremal Metrics
Stable Constant Mean Curvature Surfaces
A General Asymptotic Decay Lemma for Elliptic Problems
Uniformization of Open Nonnegatively Curved K／ihler Manifolds in Higher Dimensions
Geometry of Measures：Harmonic Analysis Meets Geometric Measure Theory
The Monge Ampere Eequation and its Geometric Aapplications
Lectures on Mean Curvature Flows in Higher Codimensions
Local and Global Analysis of Eigenfunctions on Riemannian Manifolds
Yau’S Form of Schwarz Lemma and Arakelov Inequality On Moduli Spaces of Projective Manifolds

好的，这里是为您的图书《几何分析手册（第Ⅰ卷）》撰写的一份详细简介，该简介旨在介绍该领域的核心内容和重要性，但避免提及《几何分析手册（第Ⅰ卷）》本身包含的具体章节或技术细节。 --- 几何分析导论：理论基石与前沿探索 绪论：数学的交汇点 几何分析是现代数学中一个极具活力且影响深远的领域，它架起了看似迥异的两个数学分支——微分几何与分析学——之间的桥梁。传统上，几何关注形状、结构和空间，而分析则专注于变化、极限和函数。几何分析的精髓，在于运用强大的分析工具（如偏微分方程、变分法、测度论）来研究和解决几何问题，同时也利用几何直觉和结构来指导和发展分析理论。 这一学科的魅力在于其跨学科的性质。它不仅为纯粹的几何学家提供了研究复杂空间的强大武器，也为应用领域的科学家（如理论物理学家、工程师）提供了理解和描述现实世界中各种现象（如时空结构、晶体缺陷、流体动力学）的数学框架。 本卷导论旨在为读者勾勒出几何分析这一宏大领域的知识版图，探讨其赖以建立的核心概念、关键工具和一些具有深远影响的经典问题。 几何基础：流形的概念与结构 理解几何分析，首先必须掌握微分流形这一核心概念。流形是描述光滑空间的基本数学对象。它在局部看起来像欧几里得空间（$mathbb{R}^n$），但整体结构可能复杂得多，例如球面、环面，乃至更高维的抽象空间。 1. 局部坐标系与图册 流形的定义允许我们在局部使用熟悉的坐标系统进行计算。图册（Atlas） 是一组覆盖整个流形的坐标图，而转移映射（Transition Maps） 则描述了这些局部坐标系之间的关系。正是这些转移映射的光滑性，赋予了流形“微分”的性质，使得我们可以将微积分的工具移植到弯曲空间之上。 2. 切空间：局部运动的度量 在流形的每一点 $p$，我们可以定义一个切空间 $T_pM$。切空间可以被视为所有穿过点 $p$ 的曲线的速度向量构成的向量空间。它是研究在该点附近发生的“运动”和“变化”的基础。梯度、速度场、向量场等概念，都是在切空间中被精确定义的。 3. 张量场与微分形式：几何的语言 为了在不依赖于特定坐标系的情况下描述几何量，几何分析引入了张量的概念。张量是多重线性函数，能够衡量不同方向上的物理量或几何属性。例如，度量张量（Metric Tensor） 赋予了流形长度、角度和体积的概念，从而定义了距离和曲率。 与张量相伴的是微分形式（Differential Forms）。微分形式是外微分代数（Exterior Algebra） 的核心工具，它们是积分和微分的自然推广。通过外导数（Exterior Derivative） 运算，可以将经典的梯度、旋度和散度统一在一个简洁的框架之下（即推广的斯托克斯定理）。 分析工具：微分方程与变分原理 几何分析之所以强大，是因为它将几何结构嵌入到动态或稳态的分析问题中。核心工具在于微分算子和变分法。 1. 黎曼几何中的核心算子 在具有黎曼度量的流形上，我们构造了一系列关键的分析算子，它们是微分几何与分析学结合的产物： 拉普拉斯-德拉姆算子 ($Delta$)：这是黎曼流形上自然定义的二阶椭圆算子，是欧几里得空间中标准拉普拉斯算子的推广。它在研究流形的调和函数、热传导和几何能量最小化中扮演着核心角色。其性质与流形的谱（Spectrum）——即算子的特征值——紧密相关。 霍奇理论（Hodge Theory）：该理论利用拉普拉斯算子来分解微分形式，将其分离为精确形式、余精确形式和调和形式。调和形式的数量（即贝蒂数）直接量化了流形的拓扑结构（例如洞的数量），展示了分析如何揭示拓扑本质。 2. 测地线与最短路径 在弯曲空间中，直线被测地线（Geodesics） 所取代。测地线是局部上两点间“最短”的路径。测地线的运动方程本质上是一个二阶常微分方程组，是基于黎曼几何中的联络（Connection） 来定义的。对测地线的分析，是研究空间内在几何性质的基础。 3. 几何变分法与最小曲面 变分法关注寻找使某一泛函（泛函是函数的函数）取极值的几何对象。最著名的例子是最小曲面问题。一个曲面的能量（或面积）是一个泛函。最小化这个能量，所得的曲面必须满足一组非线性偏微分方程——极小曲面方程。研究这些方程的解，不仅是纯粹的几何问题，也与物理学中的肥皂膜、界面现象等直接相关。 拓扑与分析的深刻联系 几何分析的最高成就之一，在于揭示了拓扑不变量（本质上是定性的，关于空间整体连接性的描述）如何能被分析算子的谱或解的性质所捕获。 例如，谱几何（Spectral Geometry） 探讨了拉普拉斯算子的特征值如何“决定”了流形的几何和拓扑。著名的“不能听到一个鼓的形状吗？”（Can one hear the shape of a drum?）的问题，即询问是否所有具有相同特征值的流形都必须全等，是该领域一个驱动力极强的研究课题。 总结展望 几何分析的领域广阔无垠，它不仅是数学理论深化的需要，也是解决物理世界复杂问题的关键钥匙。从理解爱因斯坦引力场方程的解，到构建更有效的图像处理算法，再到揭示高维空间的内在结构，几何分析始终站在数学创新的前沿。掌握其基本工具——流形理论、张量分析和偏微分方程的几何应用——是进入这一迷人领域的必要前提。

评分☆☆☆☆☆

当我看到《几何分析手册（第Ⅰ卷）》这个书名时，我脑海中立刻浮现出那些在大学时期让我着迷的数学课程：微分几何、拓扑学，以及它们与偏微分方程的交集。我设想这不仅仅是一本教科书，更是一本能够让读者深入理解几何分析的精髓的参考资料。我推测这本书的写作风格可能会偏向严谨和系统，可能会为读者提供一套完整的理论框架，从基础的概念一步步构建起复杂的理论体系。我对于书中可能包含的关于“几何”如何与“分析”相互作用的详细阐述非常感兴趣。例如，空间结构的弯曲是如何影响其上的函数的行为，或者反之，函数的某些性质如何揭示空间的几何特征。这本书的名字让我觉得，它会是一份非常宝贵的资源，为那些希望在数学或相关领域进行深入研究的人提供坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

我偶然瞥见了《几何分析手册（第Ⅰ卷）》这本书的书名，立刻就被它所吸引。对我而言，数学研究中最迷人的地方之一，就是那些看似抽象的概念，却能在物理世界中找到对应，或者为理解自然规律提供深刻的洞察。《几何分析手册》这个名字，让我联想到数学家们如何用分析的工具来“丈量”和“理解”几何空间，比如空间的曲率、测地线的行为、以及在这些不规则空间上定义的各种算子。我猜想，这本书可能会深入探讨一些复杂的微分几何概念，并展示分析方法如何被用来解决其中的难题。或许它会介绍一些关于微分形式、流形上的积分，甚至可能是某种形式的“几何量子力学”的数学基础。作为一个对数学基础理论充满好奇的人，这本书听起来就像是一扇通往更深层次理解的大门。

评分☆☆☆☆☆

这本书的名字听起来就足够吸引我了——《几何分析手册（第Ⅰ卷）》。我一直对数学的抽象之美抱有浓厚的兴趣，尤其是那些将几何直觉与严谨分析相结合的领域。书名中的“几何分析”这几个字，立刻勾起了我对黎曼几何、微分几何以及更广泛的微分流形上分析的联想。我猜想，这本书很可能是一部为数学家、物理学家以及对这些交叉领域有深入研究需求的学者量身打造的参考书。想到可能在这本书中找到关于曲率、测地线、拉普拉斯算子在各种几何空间上的性质，以及这些分析工具如何揭示几何结构的深层联系，就让我感到无比兴奋。虽然我还没有翻开书页，但单是这个书名就已经在我的脑海中构建了一个庞大而精妙的数学图景，充满了待我探索的奥秘。我期待它能提供一种系统性的视角，帮助我理解那些在现代数学和理论物理中至关重要的概念。

评分☆☆☆☆☆

《几何分析手册（第Ⅰ卷）》——这个书名本身就有一种庄重和权威感。它让我联想到那些数学家们毕生钻研的课题，以及他们如何将几何的直观性与分析的严谨性融为一体。我猜想这本书会是一本内容极其丰富的参考书，里面可能包含了关于度量空间、联络、曲率张量等一系列重要的概念。我想象它会深入探讨在微分流形上定义的各种重要的偏微分方程，比如调和映射、杨-米尔斯方程，以及它们与几何结构的深刻联系。对于我这样对理论物理的数学基础感兴趣的人来说，能够找到一本如此详尽的指南，来梳理这些复杂而迷人的理论，将会非常有价值。我期待这本书能够提供清晰的定义、严谨的证明，以及一些能够帮助我理解这些抽象概念的例子，让我能够更深入地探索几何分析的魅力。

评分☆☆☆☆☆

我最近在寻找一些能拓宽我研究视野的读物，而《几何分析手册（第Ⅰ卷）》这个名字，无意中闯入了我的视野。它给我一种感觉，这本书不仅仅是一本简单的教材，更像是一本集大成的参考工具书。我想象它可能会涵盖一些非常前沿或者说是经典但又深奥的理论。我推测，这本书的内容可能不仅仅局限于基本的几何概念，而是会深入到更复杂的数学结构，比如可能涉及偏微分方程在几何问题中的应用，或者是在黎曼流形上的调和分析。对于我这种在理论物理领域摸索的人来说，能够有一本如此专业的书籍来梳理这些复杂的理论，将会是莫大的帮助。我尤其好奇它在处理一些高维几何和拓扑问题时，会采用怎样的方法和工具。希望它能提供一些清晰的讲解和丰富的例子，让我能够更好地理解那些抽象的数学概念。