幾何分析手冊（第Ⅰ捲）（英文） [Handbook of Geometric Analysis(Vol.Ⅰ)] 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

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季理真 等 編

圖書標籤:

• 幾何分析
• 數學分析
• 偏微分方程
• 調和分析
• 復分析
• 函數空間
• Sobolev空間
• 變分方法
• 幾何測度論
• PDE

齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040252880

版次：1

商品編碼：10962799

包裝：精裝

外文名稱：Handbook of Geometric Analysis(Vol.Ⅰ)

開本：16開

齣版時間：2008-08-01

用紙：膠版紙

頁數：676

字數：820000

正文語種：英文

內容簡介

Geometric Analysis combines differential equations and differential geometry. Animportant aspect is to solve geometric problems by studying differential equations.Besides some known linear differential operators such as the Laplace operator，many differential equations arising from differential geometry are nonlinear. Aparticularly important example is the Monge-Ampere equation.Applications togeometric problems have also motivated new methods and techniques in differen-tial equations.The field of geometric analysis is broad and has had many strikingapplications.This handbook of geometric analysis provides introductions to andsurveys of important topics in geometric analysis and their applications to relatedfields which is intend to be referred by graduate students and researchers in relatedareas.

內頁插圖

目錄

Numerical Approximations to Extremal Metrics on Toric Surfaces
1 Introduction
2 The set-up
2.1 Algebraic metrics
2.2 Decomposition of the curvature tensor
2.3 Integration
3 Numerical algorithms：balanced metrics and refined approximations
4 Numerical results
4.1 The hexagon
4.2 The pentagon
4.3 The octagon
4.4 The heptagon
5 Conclusions
References

Kahler Geometry on Toric Manifolds, and some other Manifolds with Large Symmetry
Introduction
1 Background
1.1 Gauge theory and holomorphic bundles
1.2 Symplectic and complex structures
1.3 The equations
2 Toric manifolds
2.1 Local differential geometry
2.2 The global structure
2.3 Algebraic metrics and asymptotics
2.4 Extremal metrics on toric varieties
3 Toric Fano manifolds
3.1 The Kahler-Ricci soliton equation
3.2 Continuity method, convexity and a fundamentalinequality
3.3 A priori estimate
3.4 The method of Wang and Zhu
4 Variants of toric differential geometry
4.1 Multiplicity-free manifolds
4.2 Manifolds with a dense orbit
5 The Mukai-Umemura manifold and its deformations
5.1 Mukai's construction
5.2 Topological and symplectic picture
5.3 Deformations
5.4 The a-invariant
References

Gluing Constructions of Special Lagrangian Cones
1Introduction
2 Special Lagrangian cones and special Legendrian submanifolds of S2n-1
3 Cohomogeneity one special Legendrian submanifolds of S2n-1
4 Construction of the initial almost special Legendrian submanifolds
5 The symmetry group and the general framework for correcting the initial surfaces
6 The linearized equation
7 Using the Geometric Principle to prescribe the extended substitute kernel
8 The main results
A Symmetries and quadratics
References

Harmonic Mappings
1 Introduction
2 Harmonic mappings from the perspective of Riemannian geometry
2.1 Harmonic mappings between Riemannian manifolds：definitions and properties
2.2 The heat flow and harmonic mappings into nonpositively curved manifolds
2.3 Harmonic mappings into convex regions and applications to the Bernstein problem
3 Harmonic mappings from the perspective of abstract analysis and convexity theory
3.1 Existence
3.2 Regularity
3.3 Uniqueness and some applications
4 Harmonic mappings in Kahler and algebraic geometry
4.1 Rigidity and superrigidity
4.2 Harmonic maps and group representations
4.3 Kahler groups
4.4 Quasiprojective varieties and harmonic mappings of infinite energy
5 Harmonic mappings and Riemann surfaces
5.1 Families of Riemann surfaces
……
Harmonic Functions on Complete Riemannian Manifolds
Complexity of Solutions of Partial Differential Equations
Variational Principles on Triangulated Surfaces
Asymptotic Structures in the Geometry of Stability and Extremal Metrics
Stable Constant Mean Curvature Surfaces
A General Asymptotic Decay Lemma for Elliptic Problems
Uniformization of Open Nonnegatively Curved K／ihler Manifolds in Higher Dimensions
Geometry of Measures：Harmonic Analysis Meets Geometric Measure Theory
The Monge Ampere Eequation and its Geometric Aapplications
Lectures on Mean Curvature Flows in Higher Codimensions
Local and Global Analysis of Eigenfunctions on Riemannian Manifolds
Yau’S Form of Schwarz Lemma and Arakelov Inequality On Moduli Spaces of Projective Manifolds

好的，這裏是為您的圖書《幾何分析手冊（第Ⅰ捲）》撰寫的一份詳細簡介，該簡介旨在介紹該領域的核心內容和重要性，但避免提及《幾何分析手冊（第Ⅰ捲）》本身包含的具體章節或技術細節。 --- 幾何分析導論：理論基石與前沿探索 緒論：數學的交匯點 幾何分析是現代數學中一個極具活力且影響深遠的領域，它架起瞭看似迥異的兩個數學分支——微分幾何與分析學——之間的橋梁。傳統上，幾何關注形狀、結構和空間，而分析則專注於變化、極限和函數。幾何分析的精髓，在於運用強大的分析工具（如偏微分方程、變分法、測度論）來研究和解決幾何問題，同時也利用幾何直覺和結構來指導和發展分析理論。 這一學科的魅力在於其跨學科的性質。它不僅為純粹的幾何學傢提供瞭研究復雜空間的強大武器，也為應用領域的科學傢（如理論物理學傢、工程師）提供瞭理解和描述現實世界中各種現象（如時空結構、晶體缺陷、流體動力學）的數學框架。 本捲導論旨在為讀者勾勒齣幾何分析這一宏大領域的知識版圖，探討其賴以建立的核心概念、關鍵工具和一些具有深遠影響的經典問題。 幾何基礎：流形的概念與結構 理解幾何分析，首先必須掌握微分流形這一核心概念。流形是描述光滑空間的基本數學對象。它在局部看起來像歐幾裏得空間（$mathbb{R}^n$），但整體結構可能復雜得多，例如球麵、環麵，乃至更高維的抽象空間。 1. 局部坐標係與圖冊 流形的定義允許我們在局部使用熟悉的坐標係統進行計算。圖冊（Atlas） 是一組覆蓋整個流形的坐標圖，而轉移映射（Transition Maps） 則描述瞭這些局部坐標係之間的關係。正是這些轉移映射的光滑性，賦予瞭流形“微分”的性質，使得我們可以將微積分的工具移植到彎麯空間之上。 2. 切空間：局部運動的度量 在流形的每一點 $p$，我們可以定義一個切空間 $T_pM$。切空間可以被視為所有穿過點 $p$ 的麯綫的速度嚮量構成的嚮量空間。它是研究在該點附近發生的“運動”和“變化”的基礎。梯度、速度場、嚮量場等概念，都是在切空間中被精確定義的。 3. 張量場與微分形式：幾何的語言 為瞭在不依賴於特定坐標係的情況下描述幾何量，幾何分析引入瞭張量的概念。張量是多重綫性函數，能夠衡量不同方嚮上的物理量或幾何屬性。例如，度量張量（Metric Tensor） 賦予瞭流形長度、角度和體積的概念，從而定義瞭距離和麯率。 與張量相伴的是微分形式（Differential Forms）。微分形式是外微分代數（Exterior Algebra） 的核心工具，它們是積分和微分的自然推廣。通過外導數（Exterior Derivative） 運算，可以將經典的梯度、鏇度和散度統一在一個簡潔的框架之下（即推廣的斯托剋斯定理）。 分析工具：微分方程與變分原理 幾何分析之所以強大，是因為它將幾何結構嵌入到動態或穩態的分析問題中。核心工具在於微分算子和變分法。 1. 黎曼幾何中的核心算子 在具有黎曼度量的流形上，我們構造瞭一係列關鍵的分析算子，它們是微分幾何與分析學結閤的産物： 拉普拉斯-德拉姆算子 ($Delta$)：這是黎曼流形上自然定義的二階橢圓算子，是歐幾裏得空間中標準拉普拉斯算子的推廣。它在研究流形的調和函數、熱傳導和幾何能量最小化中扮演著核心角色。其性質與流形的譜（Spectrum）——即算子的特徵值——緊密相關。 霍奇理論（Hodge Theory）：該理論利用拉普拉斯算子來分解微分形式，將其分離為精確形式、餘精確形式和調和形式。調和形式的數量（即貝蒂數）直接量化瞭流形的拓撲結構（例如洞的數量），展示瞭分析如何揭示拓撲本質。 2. 測地綫與最短路徑 在彎麯空間中，直綫被測地綫（Geodesics） 所取代。測地綫是局部上兩點間“最短”的路徑。測地綫的運動方程本質上是一個二階常微分方程組，是基於黎曼幾何中的聯絡（Connection） 來定義的。對測地綫的分析，是研究空間內在幾何性質的基礎。 3. 幾何變分法與最小麯麵 變分法關注尋找使某一泛函（泛函是函數的函數）取極值的幾何對象。最著名的例子是最小麯麵問題。一個麯麵的能量（或麵積）是一個泛函。最小化這個能量，所得的麯麵必須滿足一組非綫性偏微分方程——極小麯麵方程。研究這些方程的解，不僅是純粹的幾何問題，也與物理學中的肥皂膜、界麵現象等直接相關。 拓撲與分析的深刻聯係 幾何分析的最高成就之一，在於揭示瞭拓撲不變量（本質上是定性的，關於空間整體連接性的描述）如何能被分析算子的譜或解的性質所捕獲。 例如，譜幾何（Spectral Geometry） 探討瞭拉普拉斯算子的特徵值如何“決定”瞭流形的幾何和拓撲。著名的“不能聽到一個鼓的形狀嗎？”（Can one hear the shape of a drum?）的問題，即詢問是否所有具有相同特徵值的流形都必須全等，是該領域一個驅動力極強的研究課題。 總結展望 幾何分析的領域廣闊無垠，它不僅是數學理論深化的需要，也是解決物理世界復雜問題的關鍵鑰匙。從理解愛因斯坦引力場方程的解，到構建更有效的圖像處理算法，再到揭示高維空間的內在結構，幾何分析始終站在數學創新的前沿。掌握其基本工具——流形理論、張量分析和偏微分方程的幾何應用——是進入這一迷人領域的必要前提。

評分☆☆☆☆☆

當我看到《幾何分析手冊（第Ⅰ捲）》這個書名時，我腦海中立刻浮現齣那些在大學時期讓我著迷的數學課程：微分幾何、拓撲學，以及它們與偏微分方程的交集。我設想這不僅僅是一本教科書，更是一本能夠讓讀者深入理解幾何分析的精髓的參考資料。我推測這本書的寫作風格可能會偏嚮嚴謹和係統，可能會為讀者提供一套完整的理論框架，從基礎的概念一步步構建起復雜的理論體係。我對於書中可能包含的關於“幾何”如何與“分析”相互作用的詳細闡述非常感興趣。例如，空間結構的彎麯是如何影響其上的函數的行為，或者反之，函數的某些性質如何揭示空間的幾何特徵。這本書的名字讓我覺得，它會是一份非常寶貴的資源，為那些希望在數學或相關領域進行深入研究的人提供堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

《幾何分析手冊（第Ⅰ捲）》——這個書名本身就有一種莊重和權威感。它讓我聯想到那些數學傢們畢生鑽研的課題，以及他們如何將幾何的直觀性與分析的嚴謹性融為一體。我猜想這本書會是一本內容極其豐富的參考書，裏麵可能包含瞭關於度量空間、聯絡、麯率張量等一係列重要的概念。我想象它會深入探討在微分流形上定義的各種重要的偏微分方程，比如調和映射、楊-米爾斯方程，以及它們與幾何結構的深刻聯係。對於我這樣對理論物理的數學基礎感興趣的人來說，能夠找到一本如此詳盡的指南，來梳理這些復雜而迷人的理論，將會非常有價值。我期待這本書能夠提供清晰的定義、嚴謹的證明，以及一些能夠幫助我理解這些抽象概念的例子，讓我能夠更深入地探索幾何分析的魅力。

評分☆☆☆☆☆

這本書的名字聽起來就足夠吸引我瞭——《幾何分析手冊（第Ⅰ捲）》。我一直對數學的抽象之美抱有濃厚的興趣，尤其是那些將幾何直覺與嚴謹分析相結閤的領域。書名中的“幾何分析”這幾個字，立刻勾起瞭我對黎曼幾何、微分幾何以及更廣泛的微分流形上分析的聯想。我猜想，這本書很可能是一部為數學傢、物理學傢以及對這些交叉領域有深入研究需求的學者量身打造的參考書。想到可能在這本書中找到關於麯率、測地綫、拉普拉斯算子在各種幾何空間上的性質，以及這些分析工具如何揭示幾何結構的深層聯係，就讓我感到無比興奮。雖然我還沒有翻開書頁，但單是這個書名就已經在我的腦海中構建瞭一個龐大而精妙的數學圖景，充滿瞭待我探索的奧秘。我期待它能提供一種係統性的視角，幫助我理解那些在現代數學和理論物理中至關重要的概念。

評分☆☆☆☆☆

我最近在尋找一些能拓寬我研究視野的讀物，而《幾何分析手冊（第Ⅰ捲）》這個名字，無意中闖入瞭我的視野。它給我一種感覺，這本書不僅僅是一本簡單的教材，更像是一本集大成的參考工具書。我想象它可能會涵蓋一些非常前沿或者說是經典但又深奧的理論。我推測，這本書的內容可能不僅僅局限於基本的幾何概念，而是會深入到更復雜的數學結構，比如可能涉及偏微分方程在幾何問題中的應用，或者是在黎曼流形上的調和分析。對於我這種在理論物理領域摸索的人來說，能夠有一本如此專業的書籍來梳理這些復雜的理論，將會是莫大的幫助。我尤其好奇它在處理一些高維幾何和拓撲問題時，會采用怎樣的方法和工具。希望它能提供一些清晰的講解和豐富的例子，讓我能夠更好地理解那些抽象的數學概念。

評分☆☆☆☆☆

我偶然瞥見瞭《幾何分析手冊（第Ⅰ捲）》這本書的書名，立刻就被它所吸引。對我而言，數學研究中最迷人的地方之一，就是那些看似抽象的概念，卻能在物理世界中找到對應，或者為理解自然規律提供深刻的洞察。《幾何分析手冊》這個名字，讓我聯想到數學傢們如何用分析的工具來“丈量”和“理解”幾何空間，比如空間的麯率、測地綫的行為、以及在這些不規則空間上定義的各種算子。我猜想，這本書可能會深入探討一些復雜的微分幾何概念，並展示分析方法如何被用來解決其中的難題。或許它會介紹一些關於微分形式、流形上的積分，甚至可能是某種形式的“幾何量子力學”的數學基礎。作為一個對數學基礎理論充滿好奇的人，這本書聽起來就像是一扇通往更深層次理解的大門。