国外数学名著系列（影印版）74：微分方程数值方法引论 [Introduction to Numerical Methods in Differential Equations] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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Mark，H.Holmes 著

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• 数学
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• 计算机科学
• 数学建模

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030313874

版次：1

商品编码：11902958

包装：精装

丛书名： 国外数学名著系列

外文名称：Introduction to Numerical Methods in Differential Equations

开本：16开

出版时间：2011-06-01

用纸：胶版纸

页数：234

内容简介

　　This book shows how to derive，test and analyze numerical methods for solving differential equations，including both ordinary and partial differential equations.The objective is that students learn to solve differential equations numerically and understand the mathematical and computational issues that arise when this is done. Includes an extensive collection of exercises，which develop both the analytical and computational aspects of the material. In addition to more than 100 illustrations，the book includes a large collection of supplemental material： exercise sets，MATLAB computer codes for both student and instructor，lecture slides and movies.

内页插图

目录

Preface

1 Initial Value Problems
1．1 Introduction
1．1．1 Examples of IVPs
1．2 Methods Obtained from Numerical Differentiation．
1．2．1 The Five Steps
1．2．2 Additional Difference Methods
1．3 Methods Obtained from Numerical Quadrature
1．4 Runge——Kutta Methods
1．5 Extensions and Ghost Points
1．6 Conservative Methods
1．6．1 Velocity Verlet
1．6．2 Symplectic Methods
1．7 Next Steps
Exercises

2 Two-Point Boundary Value Problems
2．1 Introduction
2．1．1 Birds on a Wire
2．1．2 Chemical Kinetics
2．2 Derivative Approximation Methods
2．2．1 Matrix Problem
2．2．2 Tridiagonal Matrices
2．2．3 Matrix Problem Revisited
2．2．4 Error Analysis
2．2．5 Extensions
2．3 Residual Methods
2．3．1 Basis Functions
2．3．2 Residual
2．4 Shooting Methods
2．5 Next Steps
Exercises

3 Diffusion Problems
3．1 Introduction
3．1．1 Heat Equation
3．2 Derivative Approximation Methods
3．2．1 Implicit Method
3．2．2 Theta Method
3．3 Methods Obtained from Numerical Quadrature
3．3．1 Crank-Nicolson Method
3．3．2 L-Stability
3．4 Methods of Lines
3．5 Collocation
3．6 Next Steps
Exercises

4 Advection Equation
4．1 Introduction
4．1．1 Method of Characteristics
4．1．2 Solution Properties
4．1．3 Boundary Conditions
4．2 First-Order Methods
4．2．1 Upwind Scheme
4．2．2 Downwind Scheme
4．2．3 blumericul Domu'm of Dependence
4．2．4 Stability
4．3 Improvements
4．3．1 Lax-Wendroff Method
4．3．2 Monotone Methods
4．3．3 Upwind Revisited
4．4 Implicit Methods
Exercises

5 Numerical Wave Propagation
5．1 Introduction
5．1．1 Solution Methods
5．1．2 Plane Wave Solutions
5．2 Explicit Method
5．2．1 Diagnostics
5．2．2 Numerical Experiments
5．3 Numerical Plane Waves
5．3．1 Numerical Group Velocity
5．4 Next Steps
Exercises

6 Elliptic Problems
6．1 Introduction
6．1．1 Solutions
6．1．2 Properties of the Solution
6．2 Finite Difference Approximation
6．2．1 Building the Matrix
6．2．2 Positive Definite Matrices
6．3 Descent Methods
6．3．1 Steepest Descent Method
6．3．2 Conjugate Gradient Method
6．4 Numerical Solution of Laplace's Equation
6．5 Preconditioned Conjugate Gradient Method
6．6 Next Steps
Exercises

A Appendix
A．1 Order Symbols
A．2 Taylor's Theorem
A．3 Round-Off Error
A．3．1 Fhnction Evaluation
A．3．2 Numerical Differentiation
A．4 Floating-Point Numbers

References

Index

前言/序言

国外数学名著系列（影印版）74：微分方程数值方法引论 [Introduction to Numerical Methods in Differential Equations] 简介 本卷精选自享誉国际的“国外数学名著系列（影印版）”的第74册，聚焦于现代数学研究中至关重要的一个分支——常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）和偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）的数值解法。本书并非对已出版的任何现有教材的简单重述，而是一部系统性、深入且注重理论与实践相结合的专著，旨在为读者搭建一座从经典分析理论到高效数值算法的坚实桥梁。 在科学和工程的广阔领域中，从描述行星轨道、流体动力学、热传导到复杂的金融模型，微分方程扮演着核心角色。然而，绝大多数有意义的微分方程模型，尤其是在具有复杂边界条件或非线性特性的情况下，难以通过解析方法求得精确解。数值方法正是在这一背景下应运而生，成为解决这类问题的唯一可行途径。 本书的独特之处在于其对方法的选择、理论基础的阐述以及对收敛性和稳定性的严格论证。它没有仅仅罗列算法公式，而是深入探讨了每种方法背后的数学原理，确保读者不仅知道“如何做”，更理解“为何如此做”。 第一部分：常微分方程的数值逼近 本部分是全书的基石，主要围绕初值问题（Initial Value Problems, IVPs）展开。 我们首先从最基础的欧拉法（Euler's Method）及其改进形式——隐式欧拉法开始，详细分析了它们在时间步长、局部截断误差和全局误差之间的权衡关系。这部分内容为后续更复杂方法奠定了离散化的思想基础。 随后，重点转向高精度单步法。龙格-库塔（Runge-Kutta, RK）族方法是本部分的重头戏。书中不仅覆盖了经典的二阶和四阶RK法，更深入探讨了具有特殊性质的RK方法，例如自适应步长控制的RK方法。在此过程中，我们引入了局部误差估计的概念，这是实现高效、可靠数值求解的关键技术，并详细推导了著名的Dormand-Prince对（RK45）的构造思想，解释了如何利用嵌入式方法来实时监控和调整时间步长，以满足预设的容错标准。 对于涉及刚性（Stiffness）问题的处理，本书给予了特殊的关注。刚性方程组对显式方法的要求极高，可能需要极小的时间步长才能保持稳定性。因此，我们对隐式方法，特别是后向欧拉法（Backward Euler）和二阶后向差分公式（BDF2）进行了详尽的讨论。在刚性问题的背景下，隐式方法的非线性求解（通常需要结合牛顿法）的迭代过程和收敛性分析被置于核心地位，清晰展示了在牺牲计算简便性（需要求解线性或非线性系统）的同时，如何换取全局稳定性的巨大优势。 此外，书中对多步法（Multistep Methods）的系统性介绍也极具价值。从阿达姆斯-福斯特方法（Adams-Bashforth/Adams-Moulton）的构造出发，探讨了如何通过线性多步方法的系数设计来优化局部截断误差。针对多步法的固有挑战——启动问题和局部截断误差的累积，书里给出了实际操作中处理这些问题的实用方案。 第二部分：偏微分方程的数值离散 偏微分方程（PDEs）的数值求解复杂度远高于ODEs，因为它们涉及空间和时间的双重离散化。本部分主要聚焦于最主流和最成熟的两大技术框架。 一、有限差分法（Finite Difference Method, FDM）： FDM是处理具有规则几何结构问题的有力工具。书中从泰勒展开式出发，系统推导了用于二阶导数和更高阶导数的中心差分、前向差分和后向差分公式，并清晰展示了这些离散化如何导致截断误差的产生。 对于抛物型方程（如热传导方程），我们详细分析了显式欧拉法（FTCS）、隐式欧拉法和Crank-Nicolson（CN）法的稳定性。特别地，Crank-Nicolson方法作为一种时间和空间上均取中点的半隐式方法，其优越的稳定性和相对较高的精度，被深入剖析了其代数结构和求解过程。 对于椭圆型方程（如泊松方程或拉普拉斯方程），重点放在了离散拉普拉斯算子的矩阵形式表示。书中详细讨论了如何将边界条件纳入离散系统，以及求解由此产生的大型稀疏线性代数系统的有效策略，包括迭代法的收敛性分析，如雅可比法和高斯-赛德尔法。 二、有限元法（Finite Element Method, FEM）的引论： 鉴于有限元法在处理复杂几何形状、非均匀材料属性和混合边界条件方面的绝对优势，本书提供了一个严格但易于理解的FEM入门。本书的介绍侧重于变分原理和伽辽金法（Galerkin Method）的核心思想。 我们阐述了如何将强形式的PDE转化为弱形式，这极大地降低了对解的连续性要求。接着，讨论了基函数（形函数）的选择，如分片多项式基函数，以及在简单域上（如一维区间）如何构建和组装全局刚度矩阵和载荷向量。书中强调了FEM在处理边界条件（特别是Dirichlet条件和Neumann条件）时的自然嵌入机制，这被视为其相对于FDM的一大优势。 理论严谨性与实践指导 贯穿全书的是对一致性（Consistency）、收敛性（Convergence）和稳定性（Stability）这三大核心概念的严格证明。作者运用成熟的数学工具，如离散不等式（如Dahlquist不等式）和Von Neumann稳定性分析，为每种方法提供了坚实的数学保障。 本书的语言严谨，推导清晰，配有适量的图示和数学证明，旨在培养读者对数值方法的设计直觉和批判性评估能力。它不仅仅是一本教科书，更像是一部工具书，为研究生和从事计算科学、物理建模的专业人员提供了深厚的理论基础和解决实际问题的能力。掌握本书内容，意味着能够独立分析一个物理模型，选择最合适的数值方法，并对所得结果的精度和可靠性做出科学判断。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是一场数学的盛宴，即使我还没来得及深入消化每一个章节，但它所散发出的学术魅力就已经让我迫不及待想要投入其中。影印版的质感非常棒，捧在手里有一种沉甸甸的实在感，仿佛握住了知识的重量。我一直对“微分方程的数值方法”这个领域充满着敬畏和好奇，感觉它像是一座隐藏在抽象数学理论背后的宝藏，等待着我去发掘。我最看重的是这本书的“引论”二字，这意味着它应该能为我这样的初学者提供一个清晰的学习路径，从最基础的概念讲起，逐步深入到更复杂的技术。我非常期待书中能够详细讲解不同数值方法的优缺点、适用范围以及在实际应用中需要注意的细节。如果书中能够提供一些伪代码或者示例程序，那将是极大的帮助，让我能够将理论知识转化为实践能力。这本书的出现，无疑为我打开了一扇通往更深层次数学世界的大门，我迫不及待地想要开始这段激动人心的探索之旅。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本书，我仿佛触摸到了数学智慧的精华。这本《微分方程数值方法引论》的影印版，不仅在内容上具有极高的学术价值，其精美的装帧和印刷质量也令人赞叹，是一种赏心悦目的阅读体验。虽然我还没有时间逐章逐节地研读，但我对书中将要展现的关于微分方程数值求解的奥秘充满了无限遐想。我迫切希望书中能够为我揭示那些将连续的数学方程转化为离散的数值计算的巧妙之处，并深入讲解各种数值方法的内在机理。我尤其关注书中是否能够提供关于这些方法在不同应用场景下的具体表现，以及它们在精度、效率和稳定性等方面的权衡。这本书不仅仅是一本教科书，更像是一扇窗户，让我得以窥探数学家们如何用智慧和毅力征服那些难以解析的复杂问题。它的到来，无疑将极大地丰富我的知识储备，并激发我探索数学更深层次魅力的热情。

评分☆☆☆☆☆

这本书绝对是一份送给数学爱好者的厚礼。作为一名对数学领域有着浓厚兴趣的读者，我一直渴望能够接触到那些具有里程碑意义的经典著作。这本《微分方程数值方法引论》的影印版，以其高品质的印刷和原版呈现，满足了我对学术原汁原味体验的追求。尽管我还没来得及深入研究书中的每一个公式和定理，但光是浏览一下章节的划分和标题，就足以让我感受到其中蕴含的丰富知识。我特别期待书中能够清晰地梳理微分方程数值方法的演进脉络，并介绍各种方法的理论基础。更重要的是，我希望书中能够包含实际的算例和应用，展示这些数值方法在解决科学和工程问题中的强大能力。我相信，通过阅读这本书，我将能够更深入地理解微分方程的数值求解技术，并为我在未来的学习和研究中打下坚实的基础。这本书的出版，无疑为国内数学界注入了新的活力。

评分☆☆☆☆☆

收到这本《微分方程数值方法引论》的影印版，我的心情可以用“惊喜”来形容。一直以来，国外优秀的数学专著往往难以接触到高质量的中文译本，而这种原版影印的方式，最大程度地保留了原著的风貌，这对于追求学术原貌的学习者来说，简直是福音。虽然我还没有时间细读全书，但从它的装帧和纸张的触感，就能感受到这是一本值得珍藏的图书。我对书中关于数值方法的介绍充满期待，尤其是它能否清晰地解释那些抽象的数学模型是如何被转化为计算机可以理解和计算的步骤的。我希望书中能涵盖一些经典的数值方法，比如欧拉法、龙格-库塔法等，并对其收敛性、稳定性和精度进行深入的分析。此外，我也希望能够看到一些关于如何选择合适数值方法的讨论，以及在处理不同类型微分方程时可能遇到的挑战和解决方案。这本书的到来，为我提供了一个绝佳的机会，去系统地学习和理解微分方程数值求解的精髓，我对此深感兴奋。

评分☆☆☆☆☆

这本书绝对是每个对数学有热情的人书架上的必备之选，特别是那些对微分方程的数值求解感到好奇或者正在攻克这一难题的学生和研究人员。我拿到这本书的时候，就被它厚实精美的影印版所震撼，纸张的质感和印刷的清晰度都堪比原版，这种“原汁原味”的阅读体验是电子版无法比拟的。虽然我拿到它的时候，还未深入研究其内容，但我光是翻阅目录和前言，就感受到了作者深厚的学术功底和严谨的逻辑思维。我尤其期待书中对各种数值方法的详尽介绍，比如有限差分法、有限元法等等，希望它们能够清晰地阐述背后的数学原理，并且提供丰富的实例和代码，让我能够融会贯通，真正掌握这些强大的工具。我坚信，通过这本书的学习，我不仅能够理解抽象的数学概念，更能将它们应用于解决实际问题，例如物理、工程、金融等领域中遇到的复杂微分方程。这本书的出版，无疑为国内数学爱好者提供了一个宝贵的学习资源，让我们可以站在巨人的肩膀上，进一步探索数学的奥秘。