高等数学学习指导(上册)/大学数学基础丛书 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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袁学刚，张友 著

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• 高等数学
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• 数学基础
• 学习指导
• 微积分
• 函数
• 极限
• 导数
• 积分

出版社： 清华大学出版社

ISBN：9787302490012

版次：1

商品编码：12301080

包装：平装

开本：16开

出版时间：2018-01-01

用纸：胶版纸

页数：308

字数：485000

正文语种：中文

编辑推荐

与教材配套的高等数学辅导用书

内容简介

本书是与高等学校理工科各专业的大学生学习“高等数学”课程同步的学习指导书，全书分为上、下两册.上册内容包括函数、数列及其极限、函数的极限与连续、导数与微分、微分中值定理及其应用、不定积分、定积分及其应用、常微分方程；下册内容包括向量代数与空间解析几何、多元函数的微分法及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数.每节包括知识要点、疑难解析、经典题型详解和课后习题选解四个模块.每章的开始列出了本章的基本要求和知识网络图，最后部分是复习题解答和自测题.编写本书的主要目的是为了帮助学生更好地理解“高等数学”课程的内容，掌握课程的基本理论、解题方法及技巧.
本书可以作为高等学校理科、工科和技术学科等非数学专业的高等数学的学习指导书，也可作为青年教师的教学参考书和考研学生的复习用书.

目录

目录
预备知识1
一、 集合及其相关概念1
二、 区间、绝对值与邻域2
三、 常用的数学符号3
第1章函数6
一、 基本要求6
二、 知识网络图6
1.1基本概念7
一、 知识要点7
二、 疑难解析9
三、 经典题型详解10
四、 课后习题选解（习题1.1）11
1.2初等函数14
一、 知识要点14
二、 疑难解析18
三、 经典题型详解18
四、 课后习题选解（习题1.2）20
1.3函数关系的几种表示方法23
一、 知识要点23
二、 疑难解析25
三、 经典题型详解26
四、 课后习题选解（习题1.3）28
复习题1解答31
自测题133
第2章数列及其极限35
一、 基本要求35
二、 知识网络图35目录目录2.1数列的极限35
一、 知识要点35
二、 疑难解析38
三、 经典题型详解39
四、 课后习题选解（习题2.1）42
2.2数列极限的运算法则44
一、 知识要点44
二、 疑难解析45
三、 经典题型详解46
四、 课后习题选解（习题2.2）49
复习题2解答53
自测题256
第3章函数的极限与连续57
一、 基本要求57
二、 知识网络图57
3.1函数的极限58
一、 知识要点58
二、 疑难解析60
三、 经典题型详解61
四、 课后习题选解（习题3.1）63
3.2函数极限的性质和运算法则65
一、 知识要点65
二、 疑难解析67
三、 经典题型详解67
四、 课后习题选解（习题3.2）69
3.3无穷小量的比较73
一、 知识要点73
二、 疑难解析74
三、 经典题型详解75
四、 课后习题选解（习题3.3）76
3.4连续函数78
一、 知识要点78
二、 经典题型详解79
三、 课后习题选解（习题3.4）81
3.5连续函数的运算和性质83
一、 知识要点83
二、 疑难解析84
三、 经典题型详解85
四、 课后习题选解（习题3.5）88
复习题3解答90
自测题395
第4章导数与微分96
一、 基本要求96
二、 知识网络图96
4.1基本概念97
一、 知识要点97
二、 疑难解析98
三、 经典题型详解99
四、 课后习题选解(习题4.1)102
4.2导数的运算法则105
一、 知识要点105
二、 疑难解析 106
三、 经典题型详解106
四、 课后习题选解(习题4.2)108
4.3高阶导数110
一、 知识要点110
二、 经典题型详解111
三、 课后习题选解(习题4.3)112
4.4隐函数的导数114
一、 知识要点114
二、 疑难解析115
三、 经典题型详解115
四、 课后习题选解(习题4.4)117
4.5函数的微分 119
一、 知识要点119
二、 疑难解析122
三、 经典题型详解122
四、 课后习题选解(习题4.5)123
复习题4解答125
自测题4128
第5章微分中值定理及其应用130
一、 基本要求130
二、 知识网络图130
5.1微分中值定理131
一、 知识要点131
二、 疑难解析133
三、 经典题型详解134
四、 课后习题选解(习题 5.1)137
5.2洛必达法则140
一、 知识要点140
二、 疑难解析141
三、 经典题型详解142
四、 课后习题选解(习题5.2)143
5.3泰勒公式146
一、 知识要点146
二、 疑难解析146
三、 经典题型详解147
四、 课后习题选解(习题 5.3)149
5.4函数的性态(Ⅰ)——单调性与凸性151
一、 知识要点151
二、 疑难解析152
三、 经典题型详解153
四、 课后习题选解(习题 5.4)155
5.5函数的性态(Ⅱ)——极值与最值157
一、 知识要点157
二、 疑难解析 159
三、 经典题型详解159
四、 课后习题选解(习题 5.5)163
5.6函数图形的描绘166
一、 知识要点166
二、 疑难解析 167
三、 经典题型详解168
四、 课后习题选解(习题 5.6)169
5.7曲率174
一、 知识要点174
二、 课后习题选解(习题5.7)175
复习题5解答176
自测题5182
第6章不定积分184
一、 基本要求184
二、 知识网络图184
6.1基本概念及性质184
一、 知识要点184
二、 疑难解析186
三、 经典题型详解187
四、 课后习题选解(习题6.1)188
6.2换元积分法 191
一、 知识要点191
二、 疑难解析192
三、 经典题型详解193
四、 课后习题选解(习题6.2)195
6.3分部积分法199
一、 知识要点199
二、 疑难解析200
三、 经典题型详解201
四、 课后习题选解(习题6.3)203
6.4有理函数的积分及其应用206
一、 知识要点206
二、 疑难解析207
三、 经典题型详解208
四、 课后习题选解(习题 6.4)210
复习题6解答213
自测题6218
第7章定积分及其应用219
一、 基本要求219
二、 知识网络图219
7.1定积分的概念220
一、 知识要点220
二、 疑难解析221
三、 经典题型详解222
四、 课后习题选解（习题7.1）222
7.2定积分的存在条件及其性质225
一、 知识要点225
二、 疑难解析226
三、 经典题型详解227
四、 课后习题选解（习题7.2）228
7.3微积分基本公式230
一、 知识要点230
二、 疑难解析231
三、 经典题型详解232
四、 课后习题选解（习题7.3）234
7.4换元积分法和分部积分法237
一、 知识要点237
二、 疑难解析238
三、 经典题型详解239
四、 课后习题选解（习题 7.4）242
7.5反常积分246
一、 知识要点246
二、 疑难解析248
三、 课后习题选解（习题7.5）249
7.6定积分在几何中的应用252
一、 知识要点252
二、 疑难解析255
三、 经典题型详解255
四、 课后习题选解（习题7.6）257
复习题7解答262
自测题7267
第8章常微分方程269
一、 基本要求269
二、 知识网络图269
8.1微分方程的基本概念270
一、 知识要点270
二、 课后习题选解（习题8.1）271
8.2常微分方程的初等积分法（Ⅰ）273
一、 知识要点273
二、 疑难解析274
三、 经典题型详解274
四、 课后习题选解（习题8.2）276
8.3常微分方程的初等积分法（Ⅱ）280
一、 知识要点280
二、 疑难解析281
三、 经典题型详解282
四、 课后习题选解（习题8.3）285
8.4高阶线性微分方程289
一、 知识要点289
二、 疑难解析290
三、 经典题型详解290
四、 课后习题选解（习题8.4）291
8.5高阶常系数线性微分方程293
一、 知识要点293
二、 经典题型详解294
三、 课后习题选解（习题8.5）297
复习题8解答302
自测题8307

精彩书摘

第1章

函数




一、 基本要求
1. 理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值. 会求分段函数的定义域、函数值，并会作出简单的分段函数图像，掌握函数的表示方法.
2. 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性.
3. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.
4. 掌握基本初等函数的性质及其图像. 会建立简单应用问题中的函数关系式.
二、 知识网络图
函数函数的定义、定义域、值域（定义1.1）
具有特性的函数奇函数和偶函数（定义1.2）
周期函数（定义1.3）
有界函数（定义1.4）
单调函数（定义1.5）
函数的四则运算（加、减、乘、除）
复合函数（定义1.6）
反函数（定义1.7）
反函数与单调性的关系（定理1.1）
基本初等函数(常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数)
初等函数的范例（多项式函数、有理函数、双曲函数、反双曲函数）
函数的三种表示方法分段表示绝对值函数
“整数部分”函数
“非负小数部分”函数
符号函数
狄利克雷函数
隐式表示

参数表示椭圆
旋轮线或摆线
星形线第1章函数1.1基本概念1.1基本概念
一、 知识要点〖*2〗1. 函数的定义定义1.1设D是实数集R的一个非空子集. 如果按照对应法则f，对D中的每一个x，均有唯一确定的实数y与之对应，则称f是定义在D上的函数，函数关系记作f:D→R. 数集D称为函数f的定义域；函数值的集合R(f)={f(x)|x∈D}称为函数f的值域. x称为自变量；y称为因变量. 一般地，定义在D上的函数记作y=f(x)，x∈D.
函数y=f(x)的图像是指点集{(x,y)|y=f(x),x∈D}，即当自变量x在函数的定义域内变动，并取遍定义域内所有值时，动点{(x,f(x))|x∈D}的轨迹.

前言/序言

前言
众所周知，初等数学以常量为研究对象，而高等数学则以变量为研究对象，二者在研究内容、解题方法及技巧上存在许多本质上的差异.对于高等学校的理工科大学生，学习高等数学的重要性是不言而喻的，但要完成从初等数学到高等数学的思维跨越需要一个过程，想学好这门课程并不容易.编者认为，学好高等数学的第一要素是学习并用好“规则”，这些“规则”包括： 教材内容涵盖的定义、性质、定理、推论及一些重要的结论等.学习并用好“规则”可分为三个阶段： 初级阶段是规范并合理使用“规则”，即能够使用基本概念和基本结论解决一些较为直观的问题；中级阶段是掌握并灵活运用“规则”，随着学习的深入，“规则”越来越多，需要解决的问题亦是如此，此阶段要求学生能够解决具有一定难度的问题；高级阶段是熟知并综合利用“规则”，通过规范的培养训练，使学生能够解决一些启发性和综合性较强的问题.
编写本部学习指导书源于以下两方面的考虑：
一是加强教材内容的认知.目前已出版并正在使用的《高等数学》教材都有各自的特点和优势，但限于篇幅，不可能完全覆盖并诠释每个知识点的内涵和适用范围.想要达到“以人为本、因材施教、夯实基础、创新应用”的指导思想，任重道远.
二是弥补课堂教学的不足.学生在学习高等数学时，课堂教学只是其中的一部分.由于教学时数的限制，导致课堂教学密度大、速度快，多数大一新生不能适应高等数学教学方式和方法，并且许多解题方法与技巧不可能在课堂上得到完整的讲解与演练，当然更谈不上让学生系统掌握这些方法与技巧.
为此，本书对教材的各个知识要点进行了必要的提炼、释疑、分析、串联，目的是帮助初学者理解、熟悉并规范使用“规则”，掌握必要的解题方法与技巧，使其能够对各知识要点有更好的理解和参悟，达到融会贯通的效果，进而提升综合解题能力和自主学习能力.
本部学习指导书的章节与普通高等教育“十三五”规划教材《高等数学》（清华大学出版社，袁学刚和张友主编）同步，与其他版本《高等数学》教材的内容并行，可以作为大一学生的学习指导书与课堂教学同步使用，也可作为备考硕士研究生的考生进行总结性复习或专题性研究的学习资料.
本书各章节的基本框架如下：
知识要点： 列出本节必须掌握的知识点，包括定义、性质、定理、推论、一些重要的结论，并配以必要的说明.前言前言　　疑难解析： 根据多年的教学经验，选择一些容易出现理解不到位和混淆的知识点进行解答，帮助读者正确理解并合理使用这些“规则”.
经典题型详解： 每节精选了一些基础类、提高类和综合类的经典题型，给出有针对性的分析、归纳和总结，引领读者分析问题的内涵，定位所用的知识点，指出使用的方法和技巧，进而提高读者对相关“规则”的认知能力和综合应用能力.
课后习题选解及复习题解答： 针对配套教材的课后习题和复习题中具有一定难度的题目给出了部分解答，更重要的是体现解题的标准步骤和解题的方法及技巧.
自测题： 在经典题型和课后习题基础上，精选了一些难度适中及较高的题目，其中包括一些考研真题.
本书由大连民族大学理学院组织编写.袁学刚和张友任主编，负责全书的统稿及定稿.参与编写本书的教师有： 谢丛波（第1、9章）、焦佳（第2、3、8章）、董丽（第4、5、11、12章）、张文正（第6、7、10章）、楚振艳（第13章）.
感谢大连民族大学各级领导在编写本书时给予的关心和支持.感谢清华大学出版社的刘颖编审在编写本书时给予的具体指导及宝贵建议.本书在编写过程中，参阅了一些同行专家编写的辅导书，在此一并表示感谢.
由于编者水平有限，成书仓促，书中一定存在某些不足或错误，恳请广大同行和读者批评指正.

编者2017年10月

深入探索：大学微积分的理论与实践 图书名称：大学微积分基础教程 本书特色与定位 《大学微积分基础教程》是一本专为理工科、经济学及相关专业本科生精心编写的教材，旨在系统、深入地阐述微积分学的核心概念、基本理论和重要应用。本书立足于严谨的数学基础，同时注重培养读者的直观理解和解决实际问题的能力，是学生掌握高等数学知识、为后续专业课程学习打下坚实基础的理想选择。 本教程的编写遵循“基础扎实、逻辑清晰、图文并茂、注重应用”的原则，力求在有限的篇幅内，覆盖大学数学基础阶段微积分学习的全部核心内容。我们摒弃了过于繁琐的、偏离主线的理论推导，将重点放在关键定理的准确阐述、严密证明的清晰展示以及典型例题的精妙解析上。 第一部分：极限与连续性——微积分的基石 本书伊始，便以严谨的数学语言定义了极限的概念，这是整个微积分学的逻辑起点。我们细致地讲解了$epsilon-delta$语言的精确含义，并通过大量的直观几何解释和代数运算实例，帮助学生跨越理解极限的初始障碍。 序列与函数的极限： 详述了数列极限的收敛性判据，如夹逼定理、单调有界定理等。重点剖析了函数在某点及无穷远处的极限的定义、性质及其求法，特别是无穷小与无穷大之间的关系。 连续性： 引入函数连续性的概念，从直观的“不间断画图”过渡到基于极限的精确定义。深入探讨了闭区间上连续函数的性质，如介值定理和最值定理，这些定理是后续积分理论和微分中值定理的基础。 第二部分：导数——变化率的度量 导数的引入是微积分的第一个高峰。本书清晰地阐述了导数的几何意义（切线斜率）和物理意义（瞬时变化率）。 导数的定义与基本求导法则： 详细介绍了导数的定义、微分的几何意义，以及幂函数、三角函数、指数函数和对数函数的求导公式。 微分法则的拓展： 集中笔墨讲解了复合函数求导的链式法则，这是高等数学中应用最广泛的工具之一。同时，系统介绍了隐函数求导法和参数方程的求导。 高阶导数与应用： 阐述了二阶及以上导数的概念，并将其在曲率和运动学分析中的应用进行了初步介绍。 第三部分：导数的应用——分析函数的性态 本部分是理论与实践结合最为紧密的部分，展示了导数在分析和解决实际问题中的强大威力。 中值定理的深刻内涵： 深入解析了罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。特别是对拉格朗日中值定理的几何解释，强调了平均变化率与瞬时变化率相等的意义。 洛必达法则的灵活运用： 详细归纳了五种未定式，并结合实例展示了洛必达法则的正确使用步骤和适用条件，强调了必须在极限存在时才能应用此法则。 函数图像的描绘： 系统的将导数工具应用于函数分析，包括单调性、极值（局部最大值和最小值）、凹凸性（拐点）、渐近线等。通过多步骤的分析流程，指导学生完成复杂函数的精确图像绘制。 最优化问题： 讲解了如何建立实际问题的数学模型，并利用导数工具求解经济学、工程学中的最大利润、最小成本等实际优化问题。 第四部分：不定积分——微分的逆运算 不定积分部分专注于求解原函数，是反向运算的逻辑展开。 原函数与不定积分的定义： 明确了原函数的概念，以及不定积分的性质和基本积分公式。 积分技巧的系统训练： 本教程将积分方法进行了结构化的分类和讲解，确保学生能够识别并熟练运用各种技巧： 换元积分法： 分为第一类和第二类换元法，并通过变量替换的策略性选择来简化被积函数。 分部积分法： 详细讲解了选择“积分”和“微分”部分的口诀和经验，特别是对多次使用分部积分法的情况进行了分析。 有理函数积分： 侧重于分解步骤，如因式分解、待定系数法求部分分式，以及如何积分这些分式。 第五部分：定积分及其应用——积累的量度 定积分从物理学中的面积、体积问题中自然导出，本书强调了黎曼和作为定积分定义的严格性。 定积分的定义与性质： 清晰界定了黎曼和的极限形式，阐述了定积分的几何意义（曲线下的面积）。 牛顿-莱布尼茨公式的威力： 详述了微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）的意义和使用方法，它是连接微分和积分的桥梁。 定积分的几何应用： 集中展示定积分在求解几何量方面的应用，包括： 平面图形的面积计算（包括夹在两条曲线之间的面积）。 旋转体的体积（圆盘法、圆环法、壳层法）。 曲线的弧长计算。 本书的教学辅助设计 为强化学习效果，《大学微积分基础教程》在每章末尾都设计了以下模块： 1. 概念回顾与辨析： 提炼本章核心定义、定理和公式，帮助学生快速建立知识框架，并辨析易混淆的概念（如极值点与最值点、导数与微分等）。 2. 例题精讲（解题思维导航）： 选取典型的综合性例题，不仅展示计算过程，更重要的是剖析解题思路、选择方法的依据和步骤控制的技巧。 3. 综合习题与思考题： 习题难度梯度合理，从基础巩固到能力提升，思考题则侧重于对理论的深层次理解和数学建模能力的培养。 目标读者群体 本书适合作为高等数学（微积分部分）的初级教材，特别适用于工科、理科、管理科学、经济学等需要掌握微积分核心知识的专业学生。通过系统学习本书内容，读者将不仅能够熟练运用微积分工具，更能建立起严密的逻辑思维和科学的分析方法。

评分☆☆☆☆☆

这本书在知识点的串联和逻辑链条的构建上，展现了极高的编撰水准。高等数学的难点之一就是各个分支之间的联系，例如微分学如何为积分学提供工具，而级数理论又如何反过来深化对函数的理解。这本书在这方面的处理堪称教科书级别的典范。它不像某些书籍那样将微积分、线性代数（如果涉及）等内容割裂开来，而是通过巧妙的章节过渡和反复的回溯引用，构建了一个统一的知识网络。在我学习到后面复杂的积分技巧时，我惊喜地发现，其中很多步骤的合理性，其实早在第一章的泰勒展开式中就已经埋下了伏笔。这种全局观的构建，极大地提升了我对整个学科架构的理解深度。读完一个章节，我总能清晰地知道这些知识在整个数学体系中的位置和作用，而不是仅仅掌握了一堆孤立的计算公式，这种结构化的学习体验，是高效掌握复杂知识体系的关键所在。

评分☆☆☆☆☆

我对这本书的内容深度感到非常惊喜，它绝非市面上许多“应试导向”的习题集能比拟的。这本书的精彩之处在于它对基础概念的挖掘是深入且透彻的，尤其是在处理极限和连续性这些核心概念时，作者没有止步于满足于公式的套用，而是花费了大量的篇幅去探讨这些概念背后的几何意义和逻辑构造。举个例子，在讲解洛必达法则的应用时，作者不仅列举了大量的典型例题，更重要的是，它穿插了对法则成立条件的严格论证，这一点对于志在未来从事理工科研究的读者来说，简直是如获至宝。我发现自己通过对照书中的讨论，对以往模糊不清的数学原理有了全新的认识。这种由浅入深、层层递进的叙事结构，使得整本书的知识体系非常扎实，读完之后，你会感觉自己不是在“学会了解题”，而是在“理解数学本身的运作规律”。对于那些希望打下坚实基础，而非仅仅应付期末考试的学生，这本书提供了必要的理论深度和严谨性。

评分☆☆☆☆☆

作为一名自学高等数学的非科班出身的爱好者，我最大的困扰一直是“如何有效利用参考资料”。很多辅导书要么过于口语化以至于失了严谨，要么过于晦涩难懂。这本书成功地找到了一个极佳的平衡点。它的语言风格是典雅而精确的，虽然是针对“学习指导”，但它并没有过度“口语化”地去迎合初学者，而是用一种近乎学术的、但又足够清晰的文字来阐述概念。这种精确性保证了信息传递的准确无误，避免了因语言的模糊性而带来的误解。比如，书中在解释某些定理的适用范围时，所用的措辞极为审慎，每一个限定词的使用都有其深刻的数学背景。这种严谨的风格迫使读者必须集中注意力，不能敷衍了事。对于自学者来说，这种“不带拐杖”的引导方式反而更有益于培养独立思考的习惯和对数学语言的敬畏之心。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计相当朴实，封面字体清晰，没有过多花哨的修饰，给人一种专注学习的感觉。内页纸张质量尚可，印刷字迹十分工整，即便是复杂的公式和图表，也标注得非常清晰，这对于需要长时间研读数学书籍的读者来说，无疑是一个加分项。我个人非常看重教材的排版和视觉体验，因为在攻克高等数学这种需要高度集中的学科时，一个清晰、不令人眼花缭乱的版面能极大地减轻阅读疲劳。这本书在这方面做得相当到位，无论是章节的划分还是例题的呈现方式，都遵循了数学教材的经典布局，让人能够迅速定位到自己需要的知识点。 翻开第一部分，就能感受到编者在内容组织上的匠心独运，他们似乎深知初学者在面对微积分概念时的困惑点，因此在引入新概念时，总是先给出一个相对直观的背景铺垫，而不是直接抛出晦涩的定义，这种循序渐进的引导，确实让我在初期建立信心时起到了关键作用。整体来说，这是一本在硬件和基础版式上都非常可靠的工具书，适合对阅读舒适度有一定要求的学习者。

评分☆☆☆☆☆

这本书的习题设计哲学非常值得称道，它完美地平衡了基础巩固与思维拓展的需求。初期的习题设计得极为贴合课本例题的难度，主要目的是检验读者对刚刚学习过的基本定理和运算方法的掌握程度，让你在短时间内形成肌肉记忆，这是学习任何技术性学科的必经之路。然而，随着章节的深入，习题的难度曲线开始平滑地上扬，不再满足于简单的代数运算，而是开始引入需要综合运用多个知识点才能解决的综合题。我尤其欣赏的是书中那些“思考题”或者“拓展探索”部分，它们往往不直接给出明确的解题方向，而是设计成开放性的问题，引导你去探索函数图像的奇特行为，或者证明某些看似不证自明的性质。这些题目常常让我卡住很久，但一旦想通，那种成就感是做几百道重复性计算题都无法比拟的。这种由易到难、螺旋上升的习题结构，真正体现了“教学相长”的理念，让人在实战中磨砺分析能力。