多维实分析（第1卷） [Multidimensional Real Analysis I Differentiation] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[荷] 杜斯特马特 著

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• 实分析
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• 高等数学
• 测度论
• 积分
• 函数分析
• 拓扑学
• 泛函分析

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510004520

版次：1

商品编码：10762373

包装：平装

外文名称：Multidimensional Real Analysis I Differentiation

开本：24开

出版时间：2009-08-01

用纸：胶版纸

页数：422

正文语种：英文

内容简介

This book， which is in two parts， provides an introduction to the theory of vector- valued functions on Euclidean space. We focus on four main objects of study and in addition consider the interactions between these. Volume I is devoted to differentiation. Differentiable functions on Rn come first， in Chapters 1 through 3. Next， differentiable manifolds embedded in R are discussed， in Chapters 4 and 5. In Volume 11 we take up integration. Chapter 6 deals with the theory of n-dimensional integration over R. Finally， in Chapters 7 and 8 lower-dimensional integration over submanifolds of Rn is developed; particular attention is paid to vector analysis and the theory of differential forms， which are treated independently from each other. Generally speaking， the emphasis is on geometric aspects of analysis rather than on matters belonging to functional analysis.

内页插图

目录

Volume Ⅰ
Preface
Acknowledgments
Introduction
1 Continuity
1.1 Inner product and norm
1.2 Open and closed sets
1.3 Limits and continuous mappings
1.4 Composition of mappings
1.5 Homeomorphisms
1.6 Completeness
1.7 Contractions
1.8 Compactness and uniform continuity
1.9 Connectedness

2 Differentiation
2.1 Linear mappings
2.2 Differentiable mappings
2.3 Directional and partial derivatives
2.4 Chain rule
2.5 Mean Value Theorem
2.6 Gradient
2.7 Higher-order derivatives
2.8 Taylor's formula
2.9 Critical points
2.10Commuting limit operations

3 Inverse Function and Implicit Function Theorems
3.1 Diffeomorphisms
3.2 Inverse Function Theorems
3.3 Applications oflnverse Function Theorems
3.4 Implicitly defined mappings
3.5 Implicit Function Theorem
3.6 Applications of the Implicit Function Theorem
3.7 Implicit and Inverse Function Theorems on C

4 Manifolds
4.1 Introductory remarks
4.2 Manifolds
4.3 Immersion Theorem
4.4 Examples of immersions
4.5 Submersion Theorem
4.6 Examples of submersions
4.7 Equivalent definitions of manifold
4.8 Morse's Lemma

5 Tangent Spaces
5.1 Definition of tangent space
5.2 Tangent mapping
5.3 Examples of tangent spaces
5.4 Method of Lagrange multipliers
5.5 Applications of the method of multipliers
5.6 Closer investigation of critical points
5.7 Gaussian curvature of surface
5.8 Curvature and torsion of curve in R3
5.9 One-parameter groups and infinitesimal generators
5.10 Linear Lie groups and their Lie algebras
5.11 Transversality
Exercises
Review Exercises
Exercises for Chapter 1
Exercises for Chapter 2
Exercises for Chapter 3
Exercises for Chapter 4
Exercises for Chapter 5
Notation
Index
Volume Ⅱ
Preface
Acknowledgments
Introduction

6 Integration
6.1 Rectangles
6.2 Riemann integrability
6.3Jordan measurability
6.4 Successive integration
6.5 Examples of successive integration
6.6 Change of Variables Theorem: formulation and examples
6.7 Partitions of unity
6.8 Approximation of Riemann integrable functions
6.9 Proof of Change of Variables Theorem
6.10 Absolute Riemann integrability
6.11 Application of integration: Fourier transformation
6.12 Dominated convergence
6.13 Appendix: two other proofs of Change of Variables Theorem

7 Integration over Submanifolds
7.1 Densities and integration with respect to density
7.2 Absolute Riemann integrability with respect to density
7.3 Euclidean d-dimensional density
7.4 Examples of Euclidean densities
7.5 Open sets at one side of their boundary
7.6 Integration of a total derivative
7.7 Generalizations of the preceding theorem
7.8 Gauss' Divergence Theorem
7.9 Applications of Gauss' Divergence Theorem

8 Oriented Integration
8.1 Line integrals and properties of vector fields
8.2 Antidifferentiation
8.3 Green's and Cauchy's Integral Theorems
8.4 Stokes' Integral Theorem
8.5 Applications of Stokes' Integral Theorem
8.6 Apotheosis: differential forms and Stokes' Theorem .
8.7 Properties of differential forms
8.8 Applications of differential forms
8.9 Homotopy Lemma
8.10 Poincare's Lemma
8.11 Degree of mapping
Exercises
Exercises for Chapter 6
Exercises for Chapter 7
Exercises for Chapter 8
Notation
Index

前言/序言

拓扑学基础：从点集到函数空间 本书旨在为读者建立一套坚实的拓扑学基础，重点在于深入理解点集拓扑（General Topology）的核心概念、定理及其在现代数学分析中的应用。全书以严谨的数学语言和清晰的逻辑结构组织，力求使读者不仅掌握定义和定理，更能洞察其背后的几何直觉与分析意义。 第一部分：度量空间与基础结构 本书的开篇聚焦于度量空间（Metric Spaces），这是分析学中最基本的结构载体。 第一章：度量与拓扑的起源 我们首先引入度量（Metric）的概念，定义距离函数必须满足的四个基本性质：非负性、同一性、对称性与三角不等式。随后，我们探讨如何从一个度量空间自然地导出拓扑结构。开球（Open Ball）作为拓扑的基础元素被详细讨论，并推广至开集（Open Set）的定义。本章将对开集族的性质进行详尽的论证，包括任意并集和有限交集的性质。 紧接着，我们引入闭集（Closed Set）的对偶概念，并阐述闭集是开集的补集的定义。通过对邻域（Neighborhood）概念的细致分析，我们展示了如何用邻域来重新定义拓扑结构，从而建立拓扑空间（Topological Space）的概念。 第二章：基础拓扑概念的深化 本章深入探讨拓扑空间的内在结构。我们定义了内点（Interior Point）、外点（Exterior Point）和边界点（Boundary Point），并引入了闭包（Closure）和开核（Interior）的正式定义。特别强调了闭包 $ar{A} = A cup A'$ 以及 $ ext{Int}(A) = A setminus partial A$ 等恒等式。 随后，本书详细讨论了稠密子集（Dense Subset）的概念，这对于理解函数的逼近性至关重要。我们考察了可数性（Countability）的概念，包括可数集和可数紧集，并初步引入了第一可数公理（First Countability Axiom）和第二可数公理（Second Countability Axiom），解释了它们在利用点列（Sequences）和可数基（Countable Basis）进行拓扑分析时的重要性。 第二部分：连续性、收敛与连接性 在建立了基础的拓扑框架后，我们转向分析学中最为核心的概念：连续性和收敛性，并引入了连接性来描述空间的“整体性”。 第三章：连续函数与拓扑同胚 本章的核心是连续函数的拓扑定义。我们从度量空间中的 $epsilon-delta$ 语言出发，展示了如何在一般拓扑空间中用开集的像来定义连续性，即$f: X o Y$ 是连续的当且仅当对于 $Y$ 中任意开集 $V$，其原像 $f^{-1}(V)$ 是 $X$ 中的开集。 我们随后探讨了更强的概念：开映射（Open Map）和闭映射（Closed Map）。拓扑同胚（Homeomorphism）被定义为既连续又具有连续逆的映射，它衡量的是两个拓扑空间在结构上的等价性。本章通过大量实例说明了拓扑同胚在几何形状识别中的应用。 第四章：收敛性与滤子（Filters） 在度量空间中，点列收敛是主要工具，但在更一般的拓扑空间中，点列的概念可能不足够。我们首先回顾了点列收敛的拓扑定义。 随后，本书引入了更强大的工具——滤子（Filters）和滤子收敛。滤子提供了处理“网”（Nets）的代数框架，使得在非度量化空间中也能完整描述收敛概念。我们论证了拓扑空间中紧致性、点列紧致性与滤子收敛之间的深刻联系。 第五章：连通性与分离公理 连通性（Connectedness）是描述拓扑空间“不被分割”性质的重要概念。我们定义了连通空间，并证明了连续函数的像保持连通性。路径连通性（Path-Connectedness）作为一种更强的连通性概念被提出，并探讨了在 $mathbb{R}^n$ 中两者等价的原因。 本书的后半部分着重于拓扑空间的“光滑度”或“分离程度”，即分离公理（Separation Axioms）。我们系统地定义并区分了 $T_1, T_2$ (豪斯多夫, Hausdorff), $T_3, T_4$ (正则与完全正则) 公理。特别强调了豪斯多夫空间的重要性，它保证了极限点的唯一性，是后续函数分析的必要前提。 第三部分：紧致性与完备性 紧致性（Compactness）和完备性（Completeness）是泛函分析和微分拓扑学的两大支柱。 第六章：紧致性及其等价命题 紧致性被定义为开有限覆盖的性质。我们首先证明了在 $mathbb{R}^n$ 上的 Heine-Borel 定理，这是紧致性的经典体现。随后，本书详细论证了在一般的拓扑空间中，紧致性与点列紧致性、可数紧致性之间的关系，并明确指出在任意豪斯多夫空间中，紧致性等价于点列紧致性。 紧致性在分析中的核心应用是：连续函数在紧集上能达到其最大值和最小值。本章还讨论了紧集的任意子集的紧致性，以及紧集族（Compact Collections）的性质。 第七章：完备性与巴拿赫不动点定理 完备性关注的是空间中柯西序列的收敛性。我们定义了柯西序列（Cauchy Sequence），并引入了完备度量空间的概念。 本章的重点在于巴拿赫不动点定理（Banach Fixed-Point Theorem），也称压缩映射定理。我们详细推导了该定理的条件、结论和唯一性，并展示了它在求解常微分方程初值问题和迭代方法中的直接应用。 最后，我们探讨了完备化的过程（Completion），即如何将任意度量空间嵌入到一个最小的完备度量空间中（如实数轴对有理数的完备化）。 总结与展望 全书在结构上层层递进，从最直观的度量概念出发，逐步抽象到一般拓扑空间，最终聚焦于保证分析工具（如收敛性、连续性、极限存在性）有效性的关键结构属性——紧致性与完备性。本书为学习更高阶的泛函分析、微分几何以及概率论中的测度论奠定了不可或缺的理论基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书在语言风格上展现出一种令人信服的权威感，但这种权威并非高高在上，而是基于绝对的精确性。作者的叙述语言极其凝练，几乎没有冗余的词汇，每一个句子似乎都经过了精密的数学逻辑过滤。虽然篇幅厚重，但翻阅过程中很少感受到拖沓，因为信息密度极高，每一个段落都承载着实质性的知识点。它更像是一份精密的工程蓝图，而非轻松的小说阅读，它要求读者投入全部的专注力，与之进行一场智力上的高强度对话。这本书的价值就在于它提供的这种不打折扣的、纯粹的数学思维训练，它不会为了迎合读者而简化内容的复杂性，而是以最纯粹、最无可辩驳的方式，引领读者直面实分析的本质。

评分☆☆☆☆☆

对于一本严肃的分析学著作而言，习题设置的质量往往决定了它能否真正发挥教学作用。这本书的习题集设计得相当巧妙，绝非简单的计算练习。它们巧妙地穿插在各个章节的关键点之后，从基础的验证性题目，到需要深刻洞察力的构造性证明题，难度梯度设置得极其自然且富有启发性。有些习题的设置，本身就如同一个微型的定理补充，引导读者去探索教材中未明确提及但至关重要的边界情况或特殊例子。这种“以练代学”的教学设计，迫使读者必须真正动手去操作、去构建数学对象，从而将书本上的抽象知识转化为自己脑海中可以灵活调用的工具，是检验和巩固理解的最佳途径。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计着实抓人眼球，那种深邃的蓝色调搭配简洁的白色字体，散发出一种沉稳而专业的学府气息。我初次拿起它时，就被这种设计语言所吸引，感觉就像是拿到了一把开启高等数学奥秘的钥匙。书页的纸张质量也无可挑剔，手感细腻，油墨印刷清晰，即便是长时间阅读，眼睛也不会感到明显的疲劳。装帧的坚固程度也让人放心，厚实的封皮和紧实的胶装，预示着它能够经受住无数次翻阅的考验，绝对是能陪你度过整个研究生生涯的伙伴。虽然内容本身是严谨的数学论述，但这份外在的精心打磨，无疑为学习过程增添了一份仪式感，让人在翻开第一页时，就充满了对知识的敬畏与期待。

评分☆☆☆☆☆

这本书的章节组织逻辑堪称教科书级别的典范，它没有贸然跳跃到复杂的定理证明，而是非常耐心地从基础概念，比如点集拓扑中的开集、闭集、紧致性的严谨定义开始铺陈。作者似乎深谙初学者的心理困境，总能在关键转折点提供恰到好处的过渡性解释，使得原本晦涩难懂的极限概念，在多维空间中展现出惊人的清晰度。我尤其欣赏它对“收敛性”这一核心概念的多角度阐释，从拓扑视角到度量空间视角，层层递进，构建了一个坚不可摧的认知框架。这种循序渐进、环环相扣的结构，极大地降低了理解难度，让复杂的数学结构变得触手可及，感觉就像是有一位经验丰富的大师在身旁，为你细致地描绘出整个分析学的大厦蓝图。

评分☆☆☆☆☆

排版布局是这本书给我留下最深刻印象的方面之一。它没有采用那种密密麻麻、让人望而生畏的文本堆砌，而是巧妙地运用了大量的留白和分段。每一个定理、每一个引理，都被赋予了足够的视觉空间，使得它们能够像独立的雕塑一样被清晰地呈现出来。更值得称赞的是，符号的使用规范到了极致，所有的希腊字母、上下标以及函数符号，都保持了令人愉悦的清晰度和一致性，这在处理涉及大量指标和嵌套函数的分析证明时，是何等重要的优势啊！这种对细节的极致追求，直接转化为阅读体验上的巨大提升——我发现自己很少因为看不清公式的边缘或混淆了变量的归属而停下来重读，阅读流的顺畅性得到了极大的保障。