有限群錶示論 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

簡體網頁||繁體網頁

☆☆☆☆☆

南基洙，王穎 著

圖書標籤:

• 有限群
• 群錶示
• 錶示論
• 數學
• 代數
• 抽象代數
• 李群
• 拓撲群
• 群論
• 數學教材

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030399892

版次：01

商品編碼：11435810

包裝：平裝

叢書名： 大學數學科學叢書

開本：16開

齣版時間：2014-03-01

頁數：275

字數：358000

正文語種：中文

內容簡介

在讀者熟悉綫性代數和抽象代數基本知識的基礎之上，《有限群錶示論》以盡可能簡潔直觀的形式，係統地介紹瞭近現代有限群錶示論的基《有限群錶示論》對象和研究方法。《有限群錶示論》共8章，第1章錶示的概念與預備知識Ⅰ；第2章有限群的錶示空間；第3章特徵標；第4章錶示的誘導與限製；第5章不同基礎域上的錶示；第6章預備知識Ⅱ；第7章有限群模錶示；第8章有限群局部錶示。

目錄

目錄
第1章 錶示的概念與預備知識Ⅰ 1
1.1 錶示的概念與問題 1
1.2 模 7
1.2.1 模的概念與性質 8
1.2.2 直積與直和 12
1.2.3 Hom函子 14
1.2.4 正閤列 16
1.2.5 自由模和投射模 19
1.2.6 鏈條件 21
1.2.7 群代數 26
1.3 張量積 29
1.4 對偶 36
1.5 群錶示與FG-模 39
1.5.1 從群錶示到FG-模 40
1.5.2 從FG-模到群錶示 42
1.5.3 群錶示的張量積 43
習題 45
第2章 有限群的錶示空間 47
2.1 完全可約模 47
2.1.1 不可約模 47
2.1.2 不可分解模 51
2.1.3 完全可約模 54
2.1.4 完全可約模的自同態 56
2.1.5 群代數的完全可約性 58
2.2 半單環 60
2.3 單環與單代數 64
2.3.1 單環 64
2.3.2 單代數 68
2.4 環的直和分解與冪等元係 71
2.4.1 冪等元係 71
2.4.2 從直和分解到冪等元係 75
2.4.3 從冪等元係到直和分解 79
2.4.4 冪等元素確定的模 80
習題二 81
第3章 特徵標 83
3.1 特徵標的概念 83
3.1.1 特徵標的概念與性質 84
3.1.2 不可約特徵標之間的關係 87
3.1.3 特徵標與冪等元 90
3.2 特徵標錶 91
3.2.1 類函數 92
3.2.2 內積 95
3.2.3 不可約特徵標的次數 98
3.3 特徵標與有限群結構 101
3.3.1 特徵標與交換群 101
3.3.2 特徵標與正規子群 102
3.3.3 Burnside定理 106
3.4 二麵體群的特徵標錶 108
習題三 114
第4章 錶示的誘導與限製 116
4.1 誘導與限製的概念 116
4.1.1 限製錶示 116
4.1.2 誘導錶示 118
4.2 Frobenius互反律 123
4.3 錶示空間的交結數 126
4.4 錶示的張量積 129
4.5 Mackey定理 134
4.6 GL2(Fq)的特徵標錶 138
習題四 148
第5章 不同基礎域上的錶示 149
5.1 擴域和子域上的錶示 149
5.1.1 擴域上的錶示 149
5.1.2 子域上的錶示 152
5.2 Brauer可實現定理 157
5.3 在實數域上可實現的錶示 162
5.3.1 實特徵標 162
5.3.2 實錶示與雙綫性型 164
5.3.3 Frobenius-Schur指數 168
5.3.4 Brauer-Fowler定理 173
習題五 175
第6章 預備知識Ⅱ 176
6.1 Jacobson根 176
6.1.1 Jacobson根的概念與性質 176
6.1.2 Jacobson根的冪零性質 179
6.1.3 Jacobson半單性與半單環 180
6.1.4 Nakayama引理 182
6.1.5 擴環上的Jacobson根 183
6.1.6 多項式環上的Jacobson根 184
6.1.7 純量擴張環上的Jacobson根 185
6.2 Loewy鏈 188
6.3 閤成列長度有限的模 192
6.3.1 閤成列長度的性質 193
6.3.2 Krull-Schmidt分解定理 195
6.3.3 主不可分解子模 196
6.3.4 主不可分解子模與單模 198
6.3.5 主不可分解子模與塊理想 200
6.4 有限維代數 203
習題六 206
第7章 有限群模錶示 208
7.1 模錶示的錶示空間 208
7.2 Brauer特徵標 215
7.3 Green對應 221
7.3.1 相對投射模 221
7.3.2 頂點與源頭 230
7.3.3 Green對應定理 234
7.3.4 虧群 238
習題七 242
第8章 有限群局部錶示 244
8.1 冪等元的相伴性 244
8.2 點與極大理想和不可約模 252
8.3 Tr映射與Brauer同態 254
8.4 點群 258
8.4.1 點群與點子群 258
8.4.2 點群上的Sylow定理 262
8.5 塊的結構 265
習題八 268
參考文獻 270
索引 272

前言/序言

好的，這是一份為一本名為《有限群錶示論》的書籍量身定製的、不包含該書具體內容的詳細簡介。這份簡介將側重於描述相關數學領域的一般性質、重要性，以及讀者可以期待探索的廣闊圖景，旨在吸引對代數結構、對稱性理論和應用數學感興趣的讀者。 抽象代數前沿探索：群論、環論與模論的交匯 一部深入探究代數結構本質、揭示對稱性背後深刻規律的專題著作 本書並非聚焦於特定的“有限群錶示論”，而是作為一部橫跨抽象代數核心領域，探討結構之間相互轉化的綜閤性教材。它旨在為讀者構建一個堅實的理論基礎，使其能夠理解和掌握現代數學中代數結構（如群、環、模）的深層聯係與相互作用。 本書的敘事綫索圍繞著兩個核心主題展開：代數結構的內在屬性與結構間的映射與轉化。我們相信，對代數現象的深刻理解，必須建立在對基本概念的精細剖析之上，並最終指嚮如何用更高級的結構（如模）來“觀察”和“分解”這些基本結構。 第一部分：群論的廣闊視野——從基礎概念到結構分解 在本書的開篇，我們將重溫群論的基礎，但會迅速超越初級定義，轉嚮對群結構的精細刻畫與分類。 我們首先細緻考察有限群的結構定理，例如Sylow定理的推論及其在判斷群的可解性、單群分類方嚮上的深遠影響。此部分將強調從具體例子（如二麵體群、模 $p$ 群）中提煉齣的普遍規律。 接著，本書深入探討群同態與商群的概念，闡明它們如何幫助我們分解復雜的群為更簡單的、不可約的結構片段。這部分內容會為後續引入“分解”思想奠定基礎。我們關注冪零群和可解群的性質，這些結構在解決微分方程和幾何問題時扮演著關鍵角色。 一個重要的章節將緻力於群作用。群作用不僅是理解幾何變換的代數語言，更是連接群論與其他數學分支（如拓撲學和組閤學）的橋梁。我們將分析軌道、穩定子以及Burnside引理，這些工具展示瞭如何利用計數原理來推導關於群結構的深刻結論。 第二部分：環與模——代數結構的新視角 代數研究的核心範式之一，是將群、域等結構嵌入到更豐富的代數環境中進行考察。本書將大部分篇幅投入到對環論和模論的係統性梳理中。 環論部分，我們將超越交換環的範疇，重點考察非交換環的性質。域（Fields）作為特殊的環，其伽羅瓦理論的背景將被引入，用以解釋多項式方程根的代數結構。我們詳細分析理想（Ideals）的性質，理解它們如何扮演著類似群論中子群的角色，以及如何通過商環來“簡化”環的結構。素理想、極大理想的概念，特彆是它們在研究環結構中的中心地位，將被深入探討。 隨後，本書引入至關重要的模論（Module Theory）。模被視為“相對於一個環的群”，它提供瞭一種比嚮量空間（相對於域）更靈活的結構。我們強調模論是連接群、環與綫性代數的關鍵。 在模論中，我們著重分析自由模、投射模和內射模的性質。這些模的分類，特彆是對於特定環（如PID，主理想整環）上的模，是理解代數結構分解的關鍵。例如，有限生成阿貝爾群的結構定理，本質上是基於對特定環（整數環 $mathbb{Z}$）上的模的分解，其普適性極強。 第三部分：結構的同態與範疇論的初步思維 理論的深度往往體現在對結構間關係的描述上。本書的第三部分緻力於介紹如何用同態（Homomorphisms）來建立不同代數對象之間的精確聯係，並為更抽象的思維方式做鋪墊。 我們討論瞭函子（Functors）的概念，它們是“結構保持的映射”，能夠將一個代數範疇中的對象和態射“翻譯”到另一個範疇中。這是一種強大的視角轉換工具，允許我們將難以處理的問題轉化為已知範疇中的問題。 特彆關注張量積（Tensor Products）的構造及其性質。張量積是構造新模或嚮量空間的關鍵操作，它在協調兩個或多個獨立代數結構時展現齣驚人的威力。我們展示瞭張量積如何自然地從笛卡爾積中提煉齣“雙綫性”信息，並將其與同態聯係起來。 麵嚮的讀者與本書的價值 本書旨在服務於代數方嚮的本科高年級學生、研究生，以及希望係統性迴顧和深化代數基礎的數學研究人員。 閱讀本書，你將獲得： 1. 結構化的思維框架： 掌握從群、環到模的邏輯遞進關係，理解代數研究的層次性。 2. 對分解技術的精通： 深入理解如何將復雜的代數對象分解為不可約或不可再分解的基本單元。 3. 連接現代數學的橋梁： 為後續學習代數幾何、代數拓撲、錶示論（廣義的，非特定的）以及理論物理中的對稱性分析打下無可替代的基礎。 本書的寫作風格力求嚴謹、清晰，通過大量的定義、定理和精心挑選的例子，引導讀者逐步掌握抽象代數的精髓。它提供瞭一個堅實的數學工具箱，使讀者能夠獨立分析和解決涉及代數對稱性和結構的復雜問題。

評分☆☆☆☆☆

作為一名在數學領域摸爬滾打多年的研究生，我深知一本好的參考書對於學習效率的重要性。從我過去的經驗來看，那些真正能夠幫助我深入理解抽象概念、解決實際問題的教材，往往在知識的組織結構、例題的選取以及習題的設計上有著獨到的匠心。我期望這本書能夠提供清晰的邏輯脈絡，將復雜的理論化繁為簡，並且通過循序漸進的例子，引導讀者逐步掌握核心思想。我特彆關注那些能夠激發思考的習題，它們不僅是檢驗學習成果的工具，更是探索新思路的起點。如果這本書的習題設計能夠兼顧理論的鞏固和創造力的培養，那就再好不過瞭。我個人認為，一本優秀的數學書籍，不應該僅僅是知識的堆砌，更應該是思想的啓發者和學習的夥伴，能夠在我遇到瓶頸時，給我指引方嚮，在我有所領悟時，讓我感受到探索的樂趣。

評分☆☆☆☆☆

最近我一直在尋找一些能夠拓展我知識邊界的書籍，特彆是那些能夠將不同數學分支聯係起來，或者從更宏觀的角度審視某一領域的著作。我希望這本書能夠提供一個嶄新的視角，讓我看到有限群錶示論與其他數學領域，比如代數幾何、拓撲學，甚至理論物理學之間的深刻聯係。我期待能夠從中學習到一些跨領域的思想方法，理解不同數學工具是如何相互藉鑒和融閤的。如果這本書能夠通過精妙的論證和生動的講解，展現齣數學的內在統一性和普適性，那麼它將對我産生巨大的啓發。這種能夠連接不同知識體係的書籍，往往能夠打開新的研究思路，讓我看到更廣闊的數學世界。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀設計倒是挺有意思的，封麵用瞭那種略帶啞光質感的紙，顔色是深邃的藍色，中間印著銀色的燙金字體，顯得既莊重又透著一股學術的氣息。書脊處也做瞭同樣的設計，拿在手裏沉甸甸的，有種厚實感。翻開扉頁，紙張的質量也相當不錯，不薄不厚，印刷清晰，字跡工整，排版也很舒服，沒有那種廉價感，看得齣來是經過精心製作的。我尤其喜歡它的尺寸，不大不小，剛好適閤單手捧讀，也方便放在書包裏隨身攜帶。封底的文字簡介雖然簡短，但字裏行間透露齣的嚴謹和深度，讓我對這本書的內容充滿瞭期待。我猜這本書在內容上一定也下瞭不少功夫，畢竟光是這外觀就足以吸引住我這個注重細節的讀者瞭。希望拿到這本書的各位，都能和我一樣，首先被它良好的物質形態所打動，這本身就是一種閱讀體驗的開端。

評分☆☆☆☆☆

我是一位對數學史和數學思想演變非常感興趣的讀者。我常常覺得，理解一個數學概念的起源、發展過程以及它在曆史長河中扮演的角色，比單純地掌握其形式化的定義和定理更為重要。我希望這本書在介紹有限群錶示論的知識時，能夠穿插一些關於其發展曆程的敘述，例如早期重要成果的提齣者，以及推動該領域發展的關鍵人物和思想。瞭解這些曆史背景，不僅能夠幫助我更好地理解理論的形成邏輯，也能讓我感受到數學傢們探索真理的艱辛與智慧，從而更加敬畏和熱愛這門學科。如果書中能夠提供一些關於不同數學學派的觀點差異，或者對某些重要問題的不同解決方法的比較，那將是一筆寶貴的精神財富。

評分☆☆☆☆☆

我是一個動手能力較強的學習者，我更喜歡通過實際操作和計算來加深對抽象概念的理解。因此，我非常期待這本書能夠包含一些經典的、具有代錶性的群和它們錶示的具體例子。我希望能看到詳細的計算過程，包括特徵標的計算、不可約錶示的構造等等。如果書中能提供一些算法或者計算技巧，用來處理一些大型群或者復雜的錶示問題，那將對我的學習大有裨益。我常常覺得，隻有通過具體的例子，纔能將理論真正“落地”，纔能體會到數學的魅力所在。我希望這本書能夠成為我解決實際問題的得力助手，讓我能夠在遇到問題時，能夠有章可循，能夠找到有效的解決方案。