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南基洙，王颖 著

图书标签:

• 有限群
• 群表示
• 表示论
• 数学
• 代数
• 抽象代数
• 李群
• 拓扑群
• 群论
• 数学教材

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030399892

版次：01

商品编码：11435810

包装：平装

丛书名： 大学数学科学丛书

开本：16开

出版时间：2014-03-01

页数：275

字数：358000

正文语种：中文

内容简介

在读者熟悉线性代数和抽象代数基本知识的基础之上，《有限群表示论》以尽可能简洁直观的形式，系统地介绍了近现代有限群表示论的基《有限群表示论》对象和研究方法。《有限群表示论》共8章，第1章表示的概念与预备知识Ⅰ；第2章有限群的表示空间；第3章特征标；第4章表示的诱导与限制；第5章不同基础域上的表示；第6章预备知识Ⅱ；第7章有限群模表示；第8章有限群局部表示。

目录

目录
第1章 表示的概念与预备知识Ⅰ 1
1.1 表示的概念与问题 1
1.2 模 7
1.2.1 模的概念与性质 8
1.2.2 直积与直和 12
1.2.3 Hom函子 14
1.2.4 正合列 16
1.2.5 自由模和投射模 19
1.2.6 链条件 21
1.2.7 群代数 26
1.3 张量积 29
1.4 对偶 36
1.5 群表示与FG-模 39
1.5.1 从群表示到FG-模 40
1.5.2 从FG-模到群表示 42
1.5.3 群表示的张量积 43
习题 45
第2章 有限群的表示空间 47
2.1 完全可约模 47
2.1.1 不可约模 47
2.1.2 不可分解模 51
2.1.3 完全可约模 54
2.1.4 完全可约模的自同态 56
2.1.5 群代数的完全可约性 58
2.2 半单环 60
2.3 单环与单代数 64
2.3.1 单环 64
2.3.2 单代数 68
2.4 环的直和分解与幂等元系 71
2.4.1 幂等元系 71
2.4.2 从直和分解到幂等元系 75
2.4.3 从幂等元系到直和分解 79
2.4.4 幂等元素确定的模 80
习题二 81
第3章 特征标 83
3.1 特征标的概念 83
3.1.1 特征标的概念与性质 84
3.1.2 不可约特征标之间的关系 87
3.1.3 特征标与幂等元 90
3.2 特征标表 91
3.2.1 类函数 92
3.2.2 内积 95
3.2.3 不可约特征标的次数 98
3.3 特征标与有限群结构 101
3.3.1 特征标与交换群 101
3.3.2 特征标与正规子群 102
3.3.3 Burnside定理 106
3.4 二面体群的特征标表 108
习题三 114
第4章 表示的诱导与限制 116
4.1 诱导与限制的概念 116
4.1.1 限制表示 116
4.1.2 诱导表示 118
4.2 Frobenius互反律 123
4.3 表示空间的交结数 126
4.4 表示的张量积 129
4.5 Mackey定理 134
4.6 GL2(Fq)的特征标表 138
习题四 148
第5章 不同基础域上的表示 149
5.1 扩域和子域上的表示 149
5.1.1 扩域上的表示 149
5.1.2 子域上的表示 152
5.2 Brauer可实现定理 157
5.3 在实数域上可实现的表示 162
5.3.1 实特征标 162
5.3.2 实表示与双线性型 164
5.3.3 Frobenius-Schur指数 168
5.3.4 Brauer-Fowler定理 173
习题五 175
第6章 预备知识Ⅱ 176
6.1 Jacobson根 176
6.1.1 Jacobson根的概念与性质 176
6.1.2 Jacobson根的幂零性质 179
6.1.3 Jacobson半单性与半单环 180
6.1.4 Nakayama引理 182
6.1.5 扩环上的Jacobson根 183
6.1.6 多项式环上的Jacobson根 184
6.1.7 纯量扩张环上的Jacobson根 185
6.2 Loewy链 188
6.3 合成列长度有限的模 192
6.3.1 合成列长度的性质 193
6.3.2 Krull-Schmidt分解定理 195
6.3.3 主不可分解子模 196
6.3.4 主不可分解子模与单模 198
6.3.5 主不可分解子模与块理想 200
6.4 有限维代数 203
习题六 206
第7章 有限群模表示 208
7.1 模表示的表示空间 208
7.2 Brauer特征标 215
7.3 Green对应 221
7.3.1 相对投射模 221
7.3.2 顶点与源头 230
7.3.3 Green对应定理 234
7.3.4 亏群 238
习题七 242
第8章 有限群局部表示 244
8.1 幂等元的相伴性 244
8.2 点与极大理想和不可约模 252
8.3 Tr映射与Brauer同态 254
8.4 点群 258
8.4.1 点群与点子群 258
8.4.2 点群上的Sylow定理 262
8.5 块的结构 265
习题八 268
参考文献 270
索引 272

前言/序言

好的，这是一份为一本名为《有限群表示论》的书籍量身定制的、不包含该书具体内容的详细简介。这份简介将侧重于描述相关数学领域的一般性质、重要性，以及读者可以期待探索的广阔图景，旨在吸引对代数结构、对称性理论和应用数学感兴趣的读者。 抽象代数前沿探索：群论、环论与模论的交汇 一部深入探究代数结构本质、揭示对称性背后深刻规律的专题著作 本书并非聚焦于特定的“有限群表示论”，而是作为一部横跨抽象代数核心领域，探讨结构之间相互转化的综合性教材。它旨在为读者构建一个坚实的理论基础，使其能够理解和掌握现代数学中代数结构（如群、环、模）的深层联系与相互作用。 本书的叙事线索围绕着两个核心主题展开：代数结构的内在属性与结构间的映射与转化。我们相信，对代数现象的深刻理解，必须建立在对基本概念的精细剖析之上，并最终指向如何用更高级的结构（如模）来“观察”和“分解”这些基本结构。 第一部分：群论的广阔视野——从基础概念到结构分解 在本书的开篇，我们将重温群论的基础，但会迅速超越初级定义，转向对群结构的精细刻画与分类。 我们首先细致考察有限群的结构定理，例如Sylow定理的推论及其在判断群的可解性、单群分类方向上的深远影响。此部分将强调从具体例子（如二面体群、模 $p$ 群）中提炼出的普遍规律。 接着，本书深入探讨群同态与商群的概念，阐明它们如何帮助我们分解复杂的群为更简单的、不可约的结构片段。这部分内容会为后续引入“分解”思想奠定基础。我们关注幂零群和可解群的性质，这些结构在解决微分方程和几何问题时扮演着关键角色。 一个重要的章节将致力于群作用。群作用不仅是理解几何变换的代数语言，更是连接群论与其他数学分支（如拓扑学和组合学）的桥梁。我们将分析轨道、稳定子以及Burnside引理，这些工具展示了如何利用计数原理来推导关于群结构的深刻结论。 第二部分：环与模——代数结构的新视角 代数研究的核心范式之一，是将群、域等结构嵌入到更丰富的代数环境中进行考察。本书将大部分篇幅投入到对环论和模论的系统性梳理中。 环论部分，我们将超越交换环的范畴，重点考察非交换环的性质。域（Fields）作为特殊的环，其伽罗瓦理论的背景将被引入，用以解释多项式方程根的代数结构。我们详细分析理想（Ideals）的性质，理解它们如何扮演着类似群论中子群的角色，以及如何通过商环来“简化”环的结构。素理想、极大理想的概念，特别是它们在研究环结构中的中心地位，将被深入探讨。 随后，本书引入至关重要的模论（Module Theory）。模被视为“相对于一个环的群”，它提供了一种比向量空间（相对于域）更灵活的结构。我们强调模论是连接群、环与线性代数的关键。 在模论中，我们着重分析自由模、投射模和内射模的性质。这些模的分类，特别是对于特定环（如PID，主理想整环）上的模，是理解代数结构分解的关键。例如，有限生成阿贝尔群的结构定理，本质上是基于对特定环（整数环 $mathbb{Z}$）上的模的分解，其普适性极强。 第三部分：结构的同态与范畴论的初步思维 理论的深度往往体现在对结构间关系的描述上。本书的第三部分致力于介绍如何用同态（Homomorphisms）来建立不同代数对象之间的精确联系，并为更抽象的思维方式做铺垫。 我们讨论了函子（Functors）的概念，它们是“结构保持的映射”，能够将一个代数范畴中的对象和态射“翻译”到另一个范畴中。这是一种强大的视角转换工具，允许我们将难以处理的问题转化为已知范畴中的问题。 特别关注张量积（Tensor Products）的构造及其性质。张量积是构造新模或向量空间的关键操作，它在协调两个或多个独立代数结构时展现出惊人的威力。我们展示了张量积如何自然地从笛卡尔积中提炼出“双线性”信息，并将其与同态联系起来。 面向的读者与本书的价值 本书旨在服务于代数方向的本科高年级学生、研究生，以及希望系统性回顾和深化代数基础的数学研究人员。 阅读本书，你将获得： 1. 结构化的思维框架： 掌握从群、环到模的逻辑递进关系，理解代数研究的层次性。 2. 对分解技术的精通： 深入理解如何将复杂的代数对象分解为不可约或不可再分解的基本单元。 3. 连接现代数学的桥梁： 为后续学习代数几何、代数拓扑、表示论（广义的，非特定的）以及理论物理中的对称性分析打下无可替代的基础。 本书的写作风格力求严谨、清晰，通过大量的定义、定理和精心挑选的例子，引导读者逐步掌握抽象代数的精髓。它提供了一个坚实的数学工具箱，使读者能够独立分析和解决涉及代数对称性和结构的复杂问题。

评分☆☆☆☆☆

我是一个动手能力较强的学习者，我更喜欢通过实际操作和计算来加深对抽象概念的理解。因此，我非常期待这本书能够包含一些经典的、具有代表性的群和它们表示的具体例子。我希望能看到详细的计算过程，包括特征标的计算、不可约表示的构造等等。如果书中能提供一些算法或者计算技巧，用来处理一些大型群或者复杂的表示问题，那将对我的学习大有裨益。我常常觉得，只有通过具体的例子，才能将理论真正“落地”，才能体会到数学的魅力所在。我希望这本书能够成为我解决实际问题的得力助手，让我能够在遇到问题时，能够有章可循，能够找到有效的解决方案。

评分☆☆☆☆☆

我是一位对数学史和数学思想演变非常感兴趣的读者。我常常觉得，理解一个数学概念的起源、发展过程以及它在历史长河中扮演的角色，比单纯地掌握其形式化的定义和定理更为重要。我希望这本书在介绍有限群表示论的知识时，能够穿插一些关于其发展历程的叙述，例如早期重要成果的提出者，以及推动该领域发展的关键人物和思想。了解这些历史背景，不仅能够帮助我更好地理解理论的形成逻辑，也能让我感受到数学家们探索真理的艰辛与智慧，从而更加敬畏和热爱这门学科。如果书中能够提供一些关于不同数学学派的观点差异，或者对某些重要问题的不同解决方法的比较，那将是一笔宝贵的精神财富。

评分☆☆☆☆☆

作为一名在数学领域摸爬滚打多年的研究生，我深知一本好的参考书对于学习效率的重要性。从我过去的经验来看，那些真正能够帮助我深入理解抽象概念、解决实际问题的教材，往往在知识的组织结构、例题的选取以及习题的设计上有着独到的匠心。我期望这本书能够提供清晰的逻辑脉络，将复杂的理论化繁为简，并且通过循序渐进的例子，引导读者逐步掌握核心思想。我特别关注那些能够激发思考的习题，它们不仅是检验学习成果的工具，更是探索新思路的起点。如果这本书的习题设计能够兼顾理论的巩固和创造力的培养，那就再好不过了。我个人认为，一本优秀的数学书籍，不应该仅仅是知识的堆砌，更应该是思想的启发者和学习的伙伴，能够在我遇到瓶颈时，给我指引方向，在我有所领悟时，让我感受到探索的乐趣。

评分☆☆☆☆☆

最近我一直在寻找一些能够拓展我知识边界的书籍，特别是那些能够将不同数学分支联系起来，或者从更宏观的角度审视某一领域的著作。我希望这本书能够提供一个崭新的视角，让我看到有限群表示论与其他数学领域，比如代数几何、拓扑学，甚至理论物理学之间的深刻联系。我期待能够从中学习到一些跨领域的思想方法，理解不同数学工具是如何相互借鉴和融合的。如果这本书能够通过精妙的论证和生动的讲解，展现出数学的内在统一性和普适性，那么它将对我产生巨大的启发。这种能够连接不同知识体系的书籍，往往能够打开新的研究思路，让我看到更广阔的数学世界。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计倒是挺有意思的，封面用了那种略带哑光质感的纸，颜色是深邃的蓝色，中间印着银色的烫金字体，显得既庄重又透着一股学术的气息。书脊处也做了同样的设计，拿在手里沉甸甸的，有种厚实感。翻开扉页，纸张的质量也相当不错，不薄不厚，印刷清晰，字迹工整，排版也很舒服，没有那种廉价感，看得出来是经过精心制作的。我尤其喜欢它的尺寸，不大不小，刚好适合单手捧读，也方便放在书包里随身携带。封底的文字简介虽然简短，但字里行间透露出的严谨和深度，让我对这本书的内容充满了期待。我猜这本书在内容上一定也下了不少功夫，毕竟光是这外观就足以吸引住我这个注重细节的读者了。希望拿到这本书的各位，都能和我一样，首先被它良好的物质形态所打动，这本身就是一种阅读体验的开端。