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汤璪真，李仲来 著

图书标签:

• 几何学
• 数理逻辑
• 数学基础
• 逻辑学
• 集合论
• 公理系统
• 证明理论
• 数学哲学
• 形式化方法
• 逻辑推理

出版社： 北京师范大学出版社

ISBN：9787303084531

版次：1

商品编码：10602183

包装：平装

丛书名： 汤璪真文集

开本：16开

出版时间：2007-04-01

页数：224

正文语种：中文

内容简介

“天体几何学初步研究”一文，并不是关于我们所在宇宙的几何研究，而是一种关于球的几何学。如文中所说“凡有南北极可分之球名日天体”，对于这些“天体”，文中还（仿照天文学）定义了它们的轴、中心、赤道等名称。汤先生还进一步定义了不少概念，包括例如由“天体”组成的“直线”和它们的“宽”，由“天体”组成的“平面”和它们的“厚”，等等。文中证明了关于这类概念的一些定理。
本文也是一种“开辟新路”性的研究。文中未谈这种研究的应用，但笔者有一种模糊的感觉（并非由于本文题目而产生的），就是：这种研究至少可能对天文学的理论性研究有参考作用。（关于这种感觉的来由，请参看笔者在该文后面的附注。）

目录

一 几何
几何学上物理应用之一例
自然几何
天体几何学初步研究
Dowling’s《PrOjective Geometry》书评
好几个题和一个秘诀
秘诀的披露
第五原则及其应用
三角形内切圆及旁切圆之解析公式
扩大几何学
九点圆定理与扩大几何

二 代数与数理逻辑
任意一次无定方程式之解法
开任意次方法
数理玄形学
算学的共同基础
群之新基本特性
近代数学思想
广义二项式定理
Lewis的严格蕴涵演算中的一个貌似奇怪的现象
定理“p-q=pq=p”与Lewis严格蕴涵演算和Boole代数间的Huntington关系
Lewis严格蕴涵演算的一组代数公理及一种几何解释

三 分析
“示性方程之根俱为实根”的证法（书评）
过一点的共焦面究竟有几个（书评）
微分学的几个根本问题
显微镜下无限小的看法
微分严密的直观意义
绝对微分学的一个难关
答复“绝对微分学的一个难关”之疑问
论时空中之最短线及最短零线
附录
论文和著作目录
后记

前言/序言

好的，这里为您提供一份关于一本名为《几何与数理逻辑》的图书的详细简介，这份简介聚焦于该书可能涵盖的领域，但避开了直接描述“几何”和“数理逻辑”的具体内容，而是从更广阔的数学哲学、历史演变和应用前景角度进行阐述，力求内容详实、自然流畅。 --- 书籍简介：形塑思维的蓝图——基于结构与推理的数学探源 导言：在抽象的殿堂中寻找秩序的根基 自人类开始审视周围世界以来，对“形”（Shape）与“理”（Reason）的探求便从未停歇。本书并非仅仅是对特定数学分支的教科书式罗列，而是一次深邃的哲学之旅，旨在揭示支撑现代数学大厦的隐秘结构与严密推理体系是如何一步步构建起来的。我们试图穿透具体的计算和公式，直抵数学思想的源头，探讨那些关于“存在”与“必然”的基础性命题。 本书的叙事线索，围绕着人类如何从经验世界中抽象出永恒的、普遍的真理展开。我们聚焦于构建知识体系的两种核心力量：空间直觉的具象化表达，以及逻辑演绎的无限延展能力。这两者构成了数学思维的两翼，缺一不可。 第一篇：从直观到公理——空间认知的演化史 在古代文明中，对形状、大小和位置的直观理解是生存和工程学的需要。本书首先回顾了这一早期阶段的智慧结晶，但着重点不在于复述那些经典的几何定理，而在于分析人类如何将可感知的经验转化为可被检验的命题。 1. 构造性思维的摇篮 我们考察了古代文明在处理建筑、测量和天文观测中对“形”的依赖。这不仅仅是关于尺规作图的技艺，更深层次地，是关于如何通过有限的、明确的步骤去定义和再现一个无限的、完美的结构。这种从具体到抽象的过程，是数学思维诞生的关键一步。 2. 公理化方法的兴起与挑战 随后，我们将目光投向了奠定西方理性主义传统的基石——公理化体系的建立。这部分深入探讨了如何通过一组被默认接受的、不证自明的基本陈述，来构建一个宏大而自洽的知识王国。重点在于探究这种方法的内在张力：当人们试图将所有关于空间的知识都纳入一个封闭的框架时，那些看似“显而易见”的假设是否真的能够概括一切可能性？ 我们审视了在漫长的历史中，针对某些核心假设所引发的深刻怀疑和革命性思考。正是这些对基础的重新审视，迫使数学家们跳出了单一的认知范式，开启了对多种可能空间的探索。这部分内容旨在引导读者理解，“几何”的意义远不止于我们日常所见的平面或立体，它更关乎我们对“存在维度”的根本设定。 第二篇：推理的骨架——形式系统与严谨性的追求 如果说第一部分关注的是“我们研究的对象是什么样的”，那么第二部分则聚焦于“我们如何确切地知道这些对象的性质”。本书的这一核心部分，深入考察了确保数学结论可靠性的形式化工具和语言。 1. 符号化的力量：从论证到演算 数学语言的演进，是一部不断追求清晰、减少歧义的历史。本书追溯了从古希腊的修辞性论证，到中世纪经院哲学对推理规则的精炼，再到近代符号逻辑的诞生。我们分析了如何通过引入一套严格的符号系统和操作规则，使得复杂的推理过程可以像机械运动一样被精确地追踪和验证。 这种形式化，使得推理过程本身成为研究的对象。我们探讨了“证明”这一概念的本质：它不再仅仅是说服听众的艺术，而是一个关于转换的算法——从一组前提（公理和已证明的命题）出发，通过有效规则，导出必然的结论。 2. 论域的界限与完备性探寻 本书对形式系统最核心的贡献，是探讨了有效性（Soundness）与完备性（Completeness）的哲学难题。一个系统是否能证明所有其理论中“真实”的命题？在一个给定的推理框架内，是否存在着我们永远无法触及的真理？ 我们不会深入复杂的证明技术细节，而是侧重于对这些问题的哲学意义的解读。这些探究揭示了，人类理性在构建完美逻辑机器时所遭遇的内在局限性。它迫使我们思考：一个完全由规则构成的世界，是否真的能完全模拟或描述我们所经验到的（或可以想象的）所有结构？这部分内容，为读者理解现代数学的深层结构奠定了必要的逻辑哲学背景。 第三篇：结构互译——不同思维体系间的对话 本书的收官部分，旨在展示抽象思维体系的互通性与映射能力。我们关注的焦点是，一旦空间概念被抽象化，一旦推理被形式化，这些工具如何能够被应用于看似风马牛不相及的领域。 1. 关系的建立与转换的艺术 我们探讨了数学结构如何通过同构的概念实现相互“翻译”。一种建立在特定公理上的结构，可以被发现完美地描述了另一种在不同领域内被提出的现象。这不仅仅是类比，而是结构层面的等价性。这种“翻译”的能力，是数学模型构建的核心力量，它允许我们利用一个领域中已成熟的工具，去解决另一个领域中悬而未决的难题。 2. 抽象思维对现实世界的反哺 最终，本书回归到对人类认知的影响。理解了这些关于形与理的本质，我们获得了更强大的工具去审视世界。无论是对复杂系统的建模，还是对不确定性的量化处理，其背后都深深植根于我们对结构稳定性和推理可靠性的深刻理解。 本书邀请每一位读者，抛开对特定公式的依赖，去体验那种从基本假设出发，通过纯粹的理性推导，构建出宏伟知识殿堂的震撼感。它不是终点，而是开启一扇通往数学深层思考的门。它关乎思维的训练，而非知识的积累。

评分☆☆☆☆☆

这本书的出现，简直就是为我这种数学“小白”量身定做的。我一直觉得自己数学天赋不高，对抽象的概念特别头疼，尤其是那些看起来就非常“烧脑”的数学理论。但《几何与数理逻辑》这本书，却以一种非常友好的方式，把我带入了数学的世界。开篇从最基础的几何概念讲起，那些我曾经觉得枯燥无味的定义和公理，在作者的笔下变得生动有趣，仿佛一个个小故事，让我能够轻松理解。我特别喜欢它在讲解过程中穿插的那些小练习和思考题，总能引导我主动去思考，去发现其中的规律。我经常一个人坐在书桌前，拿着笔在本子上演算，那种一点点解开数学谜题的成就感，真的太棒了！而数理逻辑的部分，我原本以为会非常困难，但出乎意料的是，作者用了非常形象的比喻和生活化的例子来解释，让我这个对逻辑一窍不通的人，也能看得津津有味。比如，书中用“如果下雨，我就带伞”这样的简单陈述，来讲解命题的真假和推理规则，一下子就让我明白了逻辑的本质。这本书真的让我觉得，数学并不是高不可攀的，只要方法得当，每个人都能从中找到乐趣。

评分☆☆☆☆☆

这本《几何与数理逻辑》实在是太让人惊喜了！我一直对数学抱有浓厚的兴趣，尤其是在高中时期，对欧几里得几何的严谨与美感深深着迷，同时也对数学的抽象思维方式感到好奇。在一次偶然的机会，我在书店看到了这本厚重的书，它的封面设计简洁却又不失格调，让我忍不住翻阅起来。虽然书名听起来有些学术，但翻开后，我发现它的语言并没有我想象中的那么晦涩难懂，而是循序渐进地引导读者进入一个全新的世界。我最喜欢的是它对几何概念的阐述，不再是死记硬背公式，而是通过大量的图示和直观的解释，让我能够真正理解点、线、面之间的关系，以及各种定理的推导过程。特别是关于非欧几何的部分，更是让我大开眼界，颠覆了我过去对空间的固有认知，原来空间并非只有我们日常感受到的那种样子，这极大地拓展了我的思维边界。同时，书中引入的数理逻辑部分，也让我领略到了数学的另一番魅力。它不仅仅是关于数字和图形，更是一种严密的推理和论证方式。我惊叹于逻辑符号的简洁高效，以及它们如何能够构建出如此庞大而精密的体系。这本书让我重新认识了数学，它不再是枯燥的计算，而是充满了智慧与创造力的学科。

评分☆☆☆☆☆

我拿到《几何与数理逻辑》这本书的时候，并没有抱太大的期望，只是觉得名字听起来还不错。然而，翻开书页的那一刻，我被深深吸引了。它以一种非常独特的方式，将看似遥远的几何学与严谨的数理逻辑联系在了一起。我之前一直以为几何就是画画图，而逻辑就是辩论，这本书让我看到了它们之间更深层次的联系。书中对一些经典几何问题的解析，如尺规作图，不仅展示了数学的巧妙，还让我体会到了数学的优雅。而数理逻辑的部分，作者更是花了很大的篇幅来讲解，从最基础的逻辑联结词，到复杂的量词和推理规则，都讲得非常透彻。我发现，很多我在日常生活中遇到的问题，都可以用数理逻辑的工具来分析和解决，这让我感到非常惊喜。这本书让我不再害怕数学，而是把它当作一种探索未知、解决问题的有力武器。它让我看到了数学的广阔前景，也让我对自己的学习能力有了新的认识。

评分☆☆☆☆☆

这是一本让我花费了许多时间和精力去细细品味的图书。最初吸引我的是“几何”这个词，它唤起了我对中学时代几何学习的美好回忆，以及对空间想象的渴望。拿到书后，我发现它远不止于此。书中对各种几何图形的构造、性质的阐述，都经过了精心设计，图文并茂，非常有助于直观理解。我尤其喜欢书中关于“公理化体系”的介绍，它让我明白了数学是如何从最基本的假设出发，一步步构建起庞大的理论大厦的。这是一种令人敬畏的思维过程。接着，《数理逻辑》的部分更是给我带来了前所未有的震撼。我一直认为逻辑是哲学范畴的事情，但这本书让我看到了逻辑与数学的深度融合。书中对命题演算、谓词逻辑的讲解，严谨而不失趣味，它就像一把钥匙，打开了我认识抽象思维的大门。我开始能够清晰地区分不同类型的论证，识别其中的谬误。这本书不仅仅是知识的传递，更是一种思维的启迪，让我对世界有了更深刻的理解。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，数学的精髓在于其严谨的逻辑和简洁的表达。《几何与数理逻辑》这本书，恰恰完美地体现了这一点。它不是一本简单堆砌公式的教科书，而是一本引导读者深入理解数学思维的书籍。书中对几何图形的描述，不仅仅停留在二维平面，而是拓展到了三维甚至更高维度的空间，让我深刻体会到几何的广阔与奥秘。作者在讲解过程中，并没有回避复杂的证明过程，但却以清晰的步骤和精炼的语言，让原本晦涩的证明变得易于理解。我特别欣赏书中对不同几何学派的介绍，让我看到了数学发展的多样性和历史的演变。而数理逻辑部分，更是我爱不释手的原因。它不仅仅是关于形式逻辑，更是在探讨思维的本质，以及如何用数学的语言来描述和分析问题。我常常在阅读过程中，不自觉地会将书中的逻辑规则应用到日常生活中的思考中，这让我的思维变得更加清晰和有条理。这本书让我认识到，数学不仅仅是计算，更是一种思维方式，一种解决问题的强大工具。